20.5. Приложения операционного исчисления
к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем.
20.5.1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Начальные условия в этой задаче заданы в точке . Если начальные условия задаются в другой точке , то заменой аргумента их сдвигают в точку .
Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала. Предположим, что функция , её производные до -го порядка, правая часть являются функциями-оригиналами, и . Тогда , , …, , и изображение задачи будет иметь вид
, где - изображение правой части уравнения. Это линейное относительно алгебраическое уравнение, решив которое, находим . Оригинал этого изображения и будет решением задачи Коши.
Пример. Найти решение задачи Коши .
Решение. Пусть . Тогда , , , и изображение задачи имеет вид . Находим : . Обращаем это изображение: , . Решение задачи: .
20.5.2. Общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Заметим, что решив задачу Коши с произвольными начальными условиями, мы получим общее решение уравнения. Так, для задачи предыдущего пункта изображение будет иметь вид . Решение задачи зависит от двух произвольных постоянных, представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения , следовательно, является общим решением уравнения.
20.5.3. Краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Если найдено общее решение уравнения, оно может быть использовано для решения краевой задачи. Пусть, например, задана краевая задача . Так как общее решение уже известно: , остаётся найти значения произвольных постоянных, при которых выполняются краевые условия: следовательно, решение краевой задачи равно

20.5.4. Уравнения с импульсной и составной правой частью. Это, возможно, единственный случай, когда операционное исчисление имеет преимущество перед другими методами решения рассматриваемых задач. Теорема запаздывания (20.2.4) позволяет полностью сохранить изложенный порядок действий. В качестве примера рассмотрим задачу , где - изображённая на рисунке периодическая функция периода Т:
Изображение первого периода мы нашли в 20.2.4.1: ; изображение всей правой части, согласно разделу 20.2.4.3. Периодические функции, равно ; изображение уравнения . Оригиналы для первых двух слагаемых выписываются просто; для обращения последнего слагаемого представим произведение в виде , множитель развернем в геометрическую прогрессию , тогда , следовательно, . Оригинал для каждого слагаемого этой суммы обозначим , по теореме запаздывания ; так как . Таким образом, решение всей задачи имеет вид .
20.5.5. Формулы Дюамеля. При решении задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения согласно тому порядку действий, который изложен выше, необходимо находить изображение правой части уравнения, что в некоторых случаях может быть затруднительно или вообще невозможно. Формулы Дюамеля позволяют находить решение, не выписывая в явной форме изображение правой части. Они основаны на интегралах Дюамеля, рассмотренных в пункте 20.2.8.3: ,
.
Рассмотрим, наряду с полной задачей для функции , вспомогательную задачу для функции :

Особенность этой вспомогательной задачи - простая правая часть () и однородные (нулевые) начальные условия. Её изображение имеет вид . Обратить это изображение можно любым методом: с помощью свёртки, по второй теореме разложения (все особые точки - полюса), или разложив дробь на простые слагаемые.
Рассмотрим ещё одну вспомогательную задачу для функции :

которая отличается от общей задачи однородными начальными условиями, а от первой вспомогательной задачи - общим видом правой части. Её изображение имеет вид .
Сравнивая функции и , получаем . В соответствии с интегралами Дюамеля,
, или
(так как ).
Эти формулы, выражающие решение задачи с произвольной функцией и однородными (нулевыми) начальными условиями через решение задачи с и такими же граничными условиями, называются формулами Дюамеля.
Наконец, чтобы учесть общий вид начальных условий, рассмотрим третью вспомогательную задачу (относительно функции ) - с нулевой правой частью:

Её изображение:


. Обращая это изображение, находим функцию - решение третьей задачи. Теперь решение общей задачи равно сумме полученного по одной из формул Дюамеля решения второй вспомогательной задачи (с общей правой частью и однородными (нулевыми) начальными условиями) и решения третьей вспомогательной задачи (с однородным уравнением и общими граничными условиями).
Пример. .
Решение. Функция не является оригиналом (разрывы второго рода), поэтому найти её изображение невозможно. Решаем задачу с и однородными начальными условиями: , по формуле Дюамеля находим решение задачи с и нулевыми начальными условиями: .
Наконец, решаем однородное уравнение с заданными начальными условиями: . Решение исходной задачи - сумма двух последних функций: .
20.5.6. Решение систем линейных уравнений. Системы решаются так же, как и отдельные уравнения, поэтому сразу рассмотрим пример.
Найти решение системы удовлетворяющее условиям: при
Решение. Пусть , . Тогда , и изображение задачи имеет вид
Решаем эту систему относительно : из первого уравнения вычитаем второе, умноженное на р: (после разложения на простые дроби) ;
Если на р умножить первое уравнение и вычесть второе, получим . Итак, решение задачи .