20.4. Обращение преобразования Лапласа.
20.4.1. Формула Римана-Меллина. Если функция - изображение функции-оригинала , то может быть найдена по формуле
.
Это равенство имеет место в каждой точке, в которой непрерывна. В точках разрыва функции значение правой части равно . Интеграл в правой части формулы называют интегралом Меллина; интегрирование может вестись по любой вертикальной прямой , и интеграл понимается в смысле главного значения:
.
Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.
20.4.2. Элементарный метод нахождения оригинала. Этот метод основан на непосредственном применении таблицы стандартных изображений 20.3 и свойств преобразования Лапласа.
Примеры. 1. . Представляя изображение в виде и сравнивая эти выражения с формулами 9, 10 таблицы, находим оригинал .
2. . Наличие степеней переменной р в знаменателе позволяет применить теорему 20.2.5 об интегрировании оригинала: , , .
Можно решить этот пример с помощью свёртки: , . Однако проще всего представить в виде суммы простых дробей
.
20.4.3. Первая теорема разложения. Если точка является нулём функции , аналитична в окрестности этой точки и разложение функции по степеням р в окрестности точки имеет вид , то функция есть изображение функции .
Это выражение получается в результате почленного перехода к оригиналам в ряде : так как , то , и .
Примеры. 1 . . Условия теоремы выполнены. Лорановское разложение функции в окрестности точки : .
2. . Здесь .
20.4.4. Вторая теорема разложения. Пусть функция комплексной переменной р аналитична во всей плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек , ,, …, , расположенных в полуплоскости . Если , и абсолютно интегрируема вдоль любой вертикальной прямой , то является изображением, и .
Док-во. Сведём интеграл в формуле Римана-Меллина к интегралу по замкнутому контуру. Контур составим из отрезка прямой , и дуги окружности , расположенной слева от отрезка и содержащей внутри себя все особые точки функции . По основной теореме о вычетах . , поэтому . Устремим . По лемме Жордана ; а для второго интеграла получаем , поэтому в пределе .
Применим эту теорему для обращения изображения . Функция имеет три особых точки: (полюс второго порядка) и (простые полюсы), поэтому . Находим вычеты: ;

;

; .
Если - несократимая дробно-рациональная функция: и - многочлены соответствующих степеней, и точка - полюс порядка , т.е. точка - нуль порядка знаменателя , то . Производную произведения представим по формуле Лейбница: , , поэтому .
Если все особые точки дробно-рациональной функции - простые полюса, т.е простые нули знаменателя , то эта формула существенно упрощается: , и .
Пример: . Здесь знаменатель имеет только простые нули, , поэтому .