Лекція з мат. аналізу N10. Властивості границь функцій
Теорема 1(про арифметичні дії з границями). Границя, суми, різниці, добутку частки двох функцій в точці (якщо можна їх ділити в деякому проколотому околі точки) дорівнює сумі, різниці, добутку, частці їх границь в цій точці (якщо їх можна обчислити).
Наслідок. Сталий множник можна виносити з границі EMBED Equation.3 .
Теорема 2. Обернена функція до нескінченно великої в точці є нескінченно малою в цій точці і навпаки: EMBED Equation.3 .
Приклади. 1. EMBED Equation.3 , бо для будь-якої послідовності EMBED Equation.3 відповідна послідовність EMBED Equation.3 .
2. EMBED Equation.3 ; 3. EMBED Equation.3 .
4. EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
Аналогічно якщо EMBED Equation.3 – корінь многочлена Р(х), то його можна розкласти на множники EMBED Equation.3 , де Q(x) – деякий многочлен. Щоб знайти Q(x) ділять многочлен Р(х) на EMBED Equation.3 в стовпчик.
EMBED Equation.3
6. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Теорема 3 (границя складної функції EMBED Equation.3 ). Якщо внутрішня функція
EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 .
Отже, можна проводити заміну змінної EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
Приклад. EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
Теорема 4. Добуток нескінченно малої функції (в точці) на обмежену функцію(в деякому проколотому околі цієї точки) є нескінченно мала функція в даній точці.
Приклад. EMBED Equation.3 .
Теорема 5 (про перехід до границі в нерівностях). Якщо EMBED Equation.3 в деякому проко- лотому околі точки х0 і існують границі EMBED Equation.3 в т.х0 то EMBED Equation.3 .
Теорема 6 (про два міліціонера). Якщо EMBED Equation.3 в деякому проколотому околі т. х0 і EMBED Equation.3 , то також і EMBED Equation.3 .
Перша цікава границя
Теорема. EMBED Equation.3
Зауваження. Якщо шукати границі окремо в чисельнику і знаменнику, то отримаємо невизначеність 0/0.
Доведення. Знайдемо спочатку праву границю, тобто розглянемо випадок коли хє(0; EMBED Equation.3 ). З мал.
EMBED Equation.3 0
С

C В
X

J A
1
O
EMBED Equation.3 SHAPE \* MERGEFORMAT
Перейдемо до границі при EMBED Equation.3 . За теоремою про два міліціонери, оскільки EMBED Equation.3 отримаємо EMBED Equation.3 . Оскільки EMBED Equation.3 парна функція, то ліва границя теж 1.
Наслідки з першої цікавої границі. Нехай число EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Приклад.1) EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Друга цікава границя
Теорема. EMBED Equation.3 (без доведення).
Зауваження 1. Якщо шукати границю окремо в основі та показнику виходить невизначеність EMBED Equation.3 (нова невизначеність).
2. Можна переконатись в правильності теореми, порахувавши EMBED Equation.3 при великих значеннях х. Наприклад, на інженерному калькуляторі порахувати його при х=10, х=100,…, тобто EMBED Equation.3 … .
Наслідки. Нехай число EMBED Equation.3 1) EMBED Equation.3 . 2) EMBED Equation.3 .
Приклад.
EMBED Equation.3 .
Неперевність функції в точці

f(x)
EMBED Equation.3
f(x0)
x0 x
EMBED Equation.3
Нехай функція f визначена в деякому околі т. х0, функція називається неперервною в т. х0, якщо її границя в т. х0 дорівнює значенню в т. х0 EMBED Equation.3 .
Графік неперервної функції є нерозривною лінією в цій точці.
EMBED Equation.3 – приріст аргументу в т. х0, EMBED Equation.3 – відповідний приріст функції в т. х0 .
Функція буде неперервною в в т. х0 тоді і тільки тоді, коли нескінченно малому при-росту аргумента в т. х0 відповідає нескінченно малий приріст функції: EMBED Equation.3 .
Функція непер. в т. х0 EMBED Equation.3 .
Функція називається неперервною зліва в т. х0, якщо вона визначена на проміжку
(х0 – EMBED Equation.3 ; х0] (при деякому EMBED Equation.3 >0) і EMBED Equation.3 . Аналогічно – неперервна справа.
Приклад. Многочлен – неперервна функція в будь-якій точці, бо наприклад,
EMBED Equation.3 .
Зауваження. Із прикладу видно, що сума неперервних в точці функцій є неперервною в цій точці функцією. Аналогічно для різниці, добутку, частки (якщо функція в знаменнику не рівна нулю в деякому околі точки) і для складної функції.
Функція називається неперервною на інтервалі (а;в), якщо вона неперервна в кожній його точці.
Функція називається неперервною на відрізку [а;в], якщо вона неперервна в усіх внутрішніх точках і неперервна справа в т. а та зліва в т. в.
Роздивившись графіки основних елементарних функцій, зауважимо, що вони всі неперервні на своїх областях визначення (лінії не розриваються в точках х є Df). Тоді із означення елементарної функції і зауваження отримуємо важливу теорему.
Теорема. Елементарна функція є неперервною на своїй області визначення.
Приклад. Дослідити на неперервність функцію EMBED Equation.3 .
Це елементарна функція. EMBED Equation.3 . Отже, функція неперервна на (3,+ EMBED Equation.3 ), тобто її графік – нерозривна лінія на цьому проміжку.
Застосування неперервності при обчисленні границь
f(x2)
f(b)
L
f(a)
f(x1)
a c x2 x1 b
Якщо f неперервна (наприклад елементарна), то можна заносити границю в аргумент: EMBED Equation.3 .
Приклад. EMBED Equation.3 .
Властивості функцій неперервних на відрізку EMBED Equation.3 .
Теорема Вейерштраса 1. Неперервна функція на відрізку обмежена на ньому.
Теорема Вейєрштраса 2. Неперервна на відрізку функція набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значень, тобто, існують х1, х2 є EMBED Equation.3 такі, що EMBED Equation.3 , х є EMBED Equation.3 .
Теорема Больцано-Вейєрштраса (про проміжне значення). Неперервна на відрізку функція набуває на інтервалі EMBED Equation.3 всіх проміжних значень між числами f(a) i f(b), тобто для будь-якого числа L із відрізка з кінцями f(a) i f(b) знайдеться точка c є EMBED Equation.3 така що f(c)=L. (На даному малюнку таких точок є аж три.)
Важливий наслідок. Елементарна функція може змінювати свій знак тільки в точках, де вона дорівнює нулю або не існує. На цьому ґрунтується метод інтервалів визначення знаку елементарної функції.
Точки розриву функції
Нехай функція f визначена в деякому проколотому околі т.х0. Якщо порушуються умови неперервності в цій точці, то х0 називається точкою розриву функції.
Нагадування. Неперервна в т.х0, якщо EMBED Equation.3 .
Види розривів
1
Усувний розрив – якщо границя функції в точці х0 є число А, але значення функції в точці не дорівнює А, зокрема f(x0) може взагалі не існувати.
EMBED Equation.3 =А (А - число) , f(x0) EMBED Equation.3 А.
Приклад: f(x) = EMBED Equation.3 , x EMBED Equation.3 0. f(0) – не існує, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = 1 – число. Отже, точка х=0 – усувний розрив.
Скінченний скачок. Якщо існують f(x0-)=A – ліва границя, f(x0+)=B – права границя, А і В – числа, але А EMBED Equation.3 В то точка x0 називається скінченним скачком або просто скачком функції f.
Тоді число В-А називають величиною скачка або скачком в точці x0.
1

1
-1
Приклад. f(x) = EMBED Equation.3
Дослідимо т. х0 = 1. f(1-) = 12 – 2 = -1 –число, f(1+) = 1 – число, -1 EMBED Equation.3 1 – розрив скачок. 1 – (-1) = 2 – величина скачка.(Стрілка на графіку функції означає, що дана точка не належить графіку.)
Розрив першого роду – це усувний розрив або розрив скінченний скачок, тобто якщо і ліва, і права границі скінченні числа.
Всі інші розриви називаються розривами другого роду, тобто коли хоча б одна з границь ліва або права є нескінченністю або не існує.
Приклад. EMBED Equation.3 в точці х=0 має розрив другого роду, бо EMBED Equation.3 .
Дослідити функцію на неперервність і точки розриву – це означає вказати проміжки неперервності, точки розриву і визначити їх рід.
Приклад. У прикладі 2 функція f(x)=x, x>1 – неперервна на даному проміжку, бо вона елементарна на ньому (ОДЗ=R). f(x)= EMBED Equation.3 неперервна на (1,+ EMBED Equation.3 ) по тій ж причині. Отже, функція неперервна на (- EMBED Equation.3 ,1)U(1,+ EMBED Equation.3 ).
В точці х=2 – розрив першого роду, скачок.
ПОХІДНА ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Означення похідної.
Геометричний, практичний (фізичний), економічний змісти похідної.
Таблиця похідних і правил диференціювання.
Знаходження похідної з допомогою логарифмування.
Диференційована функція, диференціал. Зв’язок диференційованості з існуванням похідної. Зв’язок диференційованості з неперервністю.
Геометричний та практичний зміст диференціалу. Застосування до наближених обчислень.
Нова формула для диференціалу. Інваріантність форми диференціалу.
Правила для диференціалів.
Похідні параметрично заданої, оберненої та неявно заданої функцій.
Похідні вищих порядків.
Основні теореми про диференційовані функції: Лагранжа, Лопіталя, Тейлора.
Застосування похідної при дослідженні функції. Асимптоти графіка функції. Побудова графіка функції.
Дослідження на найбільше та найменше значення функції на проміжку. Текстові задачі на екстремум.
Д.з. Б-Н: 62-74,80,81,84,85,89-93а,94-96,98а,100-108,110-112,120.
Нехай функція f визначена в деякому околі точки х0 і існує скінченна границя відношення приросту функції до приросту аргументу в цій точці, коли приріст аргументу прямує до 0, то ця границя називається похідною функції в точці.

f(x) M
EMBED Equation.3
f(x0) M0
x0 x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 —число.
Геометричний зміст
EMBED Equation.3 = tg EMBED Equation.3 = kx – кутовий коефіцієнт січної М0М. Якщо EMBED Equation.3 , то М EMBED Equation.3 М0 і січна М0М наближається до дотичної до графіка функції в т.М0 . Отже, геометричний зміст похідної: похідна функції в точці х0 – це кутовий коефіціент дотичної до графіка функції в т. х0 : f '(х0)=k.
Складемо рівняння дотичної: М0 (х0;у0) – точка на дотичній і на графіку, k= f '(x0). y – y0 = k(x – x0) – рівняння прямої через точку і кутовий коефіцієнт. Отже,
y – y0 = f '(x0)(x – x0) – рівняння дотичної до графіка функції в точці x0.
Нормаль – пряма, що перпендикулярна до дотичної і проходить через точку дотику.
k1 k2 = -1, k1 = f ' (x0), то k2 = EMBED Equation.3 .
y – y0 = EMBED Equation.3 (x – x0) – рівняння нормалі до графіка функції в точці x0.
k = f '(x0) = tg EMBED Equation.3 . tg EMBED Equation.3 існує при EMBED Equation.3 є (- EMBED Equation.3 . Отже, з геометр. точки зору, існування похідної в точці означає існування невертикальної дотичної в цій точці. Дотична існує тоді, коли на графіку немає кутів, кажуть графік є «гладкою» кривою.
З практичної (фізичної) точки зору похідна функції в точці – це миттєва швидкість зміни функції в цій точці, тобто швидкість зміни значення функції по відношенню до зміни аргументу в даній точці EMBED Equation.3 при малих EMBED Equation.3 . Наприклад: EMBED Equation.3 .
Якщо S(t) – закон руху точки, то швидкість при t=t0 : v(t0) = EMBED Equation.3 .
Економічний зміст. С = С(х) – цінова функція, ціна виробництва та маркетингу х одиниць продукції. C '(x)= EMBED Equation.3 , х – дуже великі числа; EMBED Equation.3 х =1– наймен-ше, можна вважати що прямує до нуля порівняно з дуже великими значеннями х.
C '(x) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 – ціна (х+1)-ї одиниці продукції при рівні виробництва х одиниць – називається граничною ціною в економіці.
Аналогічно, якщо R(x) загальний дохід від х одиниць продукції, то R'(x) – граничний дохід – дохід від (х+1)-ї – одиниці продукції, при рівні реалізації х одиниць. П(х) – прибуток, П'(х) – граничний прибуток.
Q=Q(Р)– залежність обсягу попиту Q від роздрібної ціни Р. Q(P) – спадна функція. Еластичність попиту – Е= EMBED Equation.3 .
Таблиця похідних (якщо ліва і права частини мають зміст)
c' = 0
(xn)' = nxn-1, n є R, частк. вип.: (x)'=1, (x2)'=2x, EMBED Equation.3 = - EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
(sin x)' = cos x
4. (cos x)' = - sin x
5. (tg x)' = EMBED Equation.3
(ctg x)' = - EMBED Equation.3
(ax)' = ax ln a частк. вип.: (ex)' = ex
(loga x)' = EMBED Equation.3 частк. вип.: (ln x )' = EMBED Equation.3 , (ln EMBED Equation.3 )' = EMBED Equation.3
(arcsin x)' = EMBED Equation.3
(arcсos x)' = - EMBED Equation.3
(arctg x)' = EMBED Equation.3
(arcctg x)' = - EMBED Equation.3
Основні правила диференціювання
(u EMBED Equation.3 v) ' = u' EMBED Equation.3 v'
(c u) ' = c(u)'
(u v)' = u'v + uv'
EMBED Equation.3
Похідна складної функції : (f (g (x))) ' = f '(g (x)) EMBED Equation.3 g'(x)
Доведення деяких формул з таблиці похідних.
1. c'= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
3. (sin x)'= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Доведення деяких правил диференціювання.
(u+v) '=lim EMBED Equation.3 .
5) (f(g(x)))'=
= EMBED Equation.3 .
Вправа. Подумати над доведенням інших формул.
Роздивившись таблицю похідних основних елементарних функцій та таблицю правил диференціювання отримуємо теорему.
Теорема. Похідна елементарної функції є також елементарною функцією.
Приклади. 1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
3) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
4) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
5) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
6) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
7) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Знаходження похідної з допомогою логарифмування
(логарифмічне диференціювання)
Логарифмічне диференціювання полягає в тому, що перш ніж взяти похідну, функцію логарифмують за основою е: у=f(x), ln EMBED Equation.3 = ln EMBED Equation.3 , тоді, після спрощення правої частини за властивостями логарифмів, беруть похідну з лівої і правої частини та з отриманого рівняння виражають похідну у'.
Цей метод використовують коли функція є складним добутком, часткою чи степенем, бо при логарифмуванні вони спрощуються.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Приклад. y = (sin x)x.
Функція визначена в околі точки х, якщо sin x>0. Тільки в таких точках можна шукати похідну.
ln у=ln(sin x)x=x ln(sin x)
EMBED Equation.3
y' = y ( ln sin x + x ctg x )= (sin x)x ( ln sin x + x ctg x ).
Вправа. Знайти похідну функції EMBED Equation.3 .
Диференціал функції
Приклад. Знайдемо приріст функції EMBED Equation.3 в точці в т.х0=3 при довільному малому приросту аргументу EMBED Equation.3 х. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Отже приріст функції розбився на дві частини: перша – головна частина приросту має вигляд с EMBED Equation.3 , де с – число, друга є функцією від EMBED Equation.3 – набагато меншою від EMBED Equation.3 при малих EMBED Equation.3 , кажуть нескінченно малою вищого порядку ніж EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 . Якщо знайти границю EMBED Equation.3 .
Функція y=f(x) називається диференційованою в т.х0, якщо її приріст в цій точці можна подати у вигляді: EMBED Equation.3 , де с – число, а EMBED Equation.3 – функція від EMBED Equation.3 – нескінченно мала вищого порядку ніж EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 .
Тоді основну частину приросту функції, а саме EMBED Equation.3 називають диференціалом функції в т. х0. Позначення: EMBED Equation.3 .
Теорема (про зв’язок похідної і диференціалу). Функція диференційована в точці тоді і тільки тоді, коли існує похідна в цій точці. Тоді EMBED Equation.3 а тому
EMBED Equation.3 .
Доведення. Нехай f диференційована в т. х0 . Знайдемо похідну функції EMBED Equation.3 , тобто існує похідна рівна с.
Нехай існує EMBED Equation.3 . Доведемо, що f диференційована в точці х0. Позначимо вираз EMBED Equation.3 через EMBED Equation.3 і доведемо, що він є нескінченно малим вищого порядку ніж EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . Теорема доведена.
Операції знаходження похідної або диференціалу називають диференціюванням функції. Функція називається диференційованою на інтервалі, якщо вона диференційована в кожній точці інтервалу.
Теорема (про зв’язок диференціювання і неперервності). Диференційована в точці функція є неперервною в ній.
Доведення. Нехай функція диф. в точці. Тоді EMBED Equation.3 , при EMBED Equation.3 .
Навпаки не завжди правильно.
Приклад. EMBED Equation.3 – неперервна на EMBED Equation.3 , але не існує похідної в точці 0, бо EMBED Equation.3 = = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Аналогічно для лівої границі отримаємо -1. Отже, дана границя не існує.(Можна також побачити на графіку EMBED Equation.3 в точці 0 є кут, тому нема дотичної).
Геометричний і практичний зміст диференціалу
EMBED Equation.3 . Але EMBED Equation.3 , де k – кутовий коефіцієнт дотичної в т. х0.
EMBED Equation.3
f(х0+ EMBED Equation.3 х) K
у=f(х)
dy
М0 EMBED Equation.3 y
f(х0) EMBED Equation.3 x P
х0 х0+ EMBED Equation.3 х
З EMBED Equation.3 M0PK: dy= tg EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 – приріст дотичної. Отже, геометричний зміст диференціалу: диференціал функції в точці це приріст дотичної в даній точці.
Якщо EMBED Equation.3 - мале, то приріст дотичної мало відрізняється від приросту самої функції EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Це ж випливає і з означення диференційованості в точці, бо величиною EMBED Equation.3 , яка є набагато меншою від EMBED Equation.3 можна знехтувати. Отже, практичний зміст диференціалу: EMBED Equation.3 при малих EMBED Equation.3 .
Дану формулу часто використовують в наближених обчисленнях.
Приклад. Обчислити наближено arctg 1,01.
Розглянемо функцію у=arctg x. Відомо, що arctg 1= EMBED Equation.3 . Приріст аргументу
EMBED Equation.3 =1,01-1=0,01 – досить малий. Можна замінити EMBED Equation.3 . Обчислимо EMBED Equation.3 в точці х=1. EMBED Equation.3 Тоді
arctg 1,01=arctg 1+ EMBED Equation.3 arctg 1+ EMBED Equation.3 3,1416/4+0,005=0,7854+0,005 EMBED Equation.3 0,79.
Нова формула для диференціалу
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Приклади. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Отже, формулу для диференціалу можна переписати у вигляді: EMBED Equation.3
Приклади. 1) EMBED Equation.3 2) EMBED Equation.3 .
Нова формула для диференціалу має дуже зручну властивість.
Теорема (про інваріантність форми диференціалу). Формула EMBED Equation.3 є правильною також коли х є внутрішньою функцією х=х(t).
Доведення. Нехай х=х(t). EMBED Equation.3 .
Отже, диференціал можна брати від функції поступово.
Приклад. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Також можна проводити обернену операцію – підведення під знак диференціалу: EMBED Equation.3 (також можна поступово (див. нижче пр.3)).
Приклади. 1) EMBED Equation.3 2) EMBED Equation.3 3) EMBED Equation.3 .
Із формули EMBED Equation.3 виразимо EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 – тобто, похідна дорівнює відношен-ню диференціалів. Це формула для обчислення похідної через диференціали. Вона правильна і тоді коли х незалежна змінна і коли х є внутрішньою функцією. Щоб підкреслити те, що похідна з функції у береться саме по змінній х використовують таке позначення EMBED Equation.3 . Також як позначення похідної з функції у по змінній х часто використовують вираз EMBED Equation.3 .
Правила диференціювання.
(Випливають із відповідних правил знаходження похідної і формули EMBED Equation.3 .)
dc=0 d(uv)=vdu+udv
d(cu)=c du EMBED Equation.3
d(u EMBED Equation.3 v)=du EMBED Equation.3 dv
Похідна параметрично заданої функції
Кажуть функція у від х задана параметрично, якщо EMBED Equation.3 . Тут t – параметр.
Інколи можна з першого рівняння виразити t через х і, підставивши його в друге рівняння, отримати залежність у від х в звичайному, кажуть в явному вигляді.
Приклад. EMBED Equation.3 – параметрично задана функція.
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 – та ж функція але задана явно.
Можна зразу ж шукати похідну EMBED Equation.3 з параметрично заданої функції, використавши формулу для похідної через диференціали.
EMBED Equation.3 . Функція EMBED Equation.3 тут залежить від параметру t як і функція у=у(t). Щоб розглядати її як функцію від змінної х, дописують ще залежність х від t: EMBED Equation.3 . Отже, похідна параметрично заданої функції вийшла також параметрично задана функція.
Приклад. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Похідна оберненої функції.
Нехай функція у=у(х) має обернену х=х(у).
Оскільки EMBED Equation.3 , то аналогічно EMBED Equation.3 .
Приклад. у=arcsin x – обернена функція до х=sin y, y є [- EMBED Equation.3 ] . EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 . (Враховано, що EMBED Equation.3 на даному проміжку.)
Похідна неявно заданої функції
F(x,y)=0 – це рівняння задає залежність у від х неявно. Кажуть неявно задана функція. Тут F - функція двох змінних.
Інколи з нього можна виразити у через х і отримати явну залежність у=у(х). Може вийти кілька функцій.
Приклад. EMBED Equation.3 – неявно задана функція. EMBED Equation.3 – отримали дві явно задані функції.
Можна шукати похідну зразу для неявно заданої функції. Для цього беруть диференціали з обох сторін рівняння, що задає функцію. Тут стають в пригоді правила для диференціалів. Потім з отриманої рівності виражають потрібну похідну EMBED Equation.3 .
Приклад. EMBED Equation.3 . Візьмемо диференціали з обох сторін рівняння:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Зауваження. Похідна виражається не тільки через х, але й через значення у в точці х.
Отже, якщо потрібно знайти похідну в точці х0, то прийдеться також знайти у(х0) з початкового рівняння.
Продовження прикладу. EMBED Equation.3 . Знайти EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 . Щоб знайти у(1/2) підставимо х=1/2 в початкове рівняння: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 . Отже, рівняння EMBED Equation.3 задає дві функції, для однієї з них похідна в точці ½ дорівнює EMBED Equation.3 , а для іншої дорівнює EMBED Equation.3 .
Похідні вищих порядків
Нехай для функції у=f(х) існує похідна в кожній точці деякого проміжку Х. Тоді EMBED Equation.3 є також функцією на Х. Для неї знову можна шукати похідну по змінній х. Вона називається похідною другого порядку для початкової функції. Позначається EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
Аналогічно EMBED Equation.3 -- похідна третього порядку і т. д.
Позначення: EMBED Equation.3 -- четверта, п’ята похідні (римськими цифрами), або EMBED Equation.3 – четверта, п’ята, n-та похідні (арабськими цифрами в дужках).
Також зустрічаються позначення через диференціали: EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 а—формула для знаходження похідної ІІ-го порядку через диференціали і позначення.
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 – третя, n-та похідні функції у по змінній х.
Приклад. EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,…, EMBED Equation.3 .
Похідні вищих порядків параметрично заданої функції
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 – знову параметрично задана функція. Аналогічно знаходимо для неї похідну по змінній х. Позначаємо EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 – функція від t. Добавляємо залежність х(t): EMBED Equation.3 – параметрично задана функція. Можна ще шукати похідну, яка буде вже похідною третього порядку для початкової функції.
Приклад. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Можна шукати EMBED Equation.3 і т.д.
Основні теореми про диференційовані функції
Теорема Лагранжа (про скінченні прирости). Якщо функція f неперервна на відрізку [a,b] і диференційована на (а,b), тоді існує точка с є (a,b) така, що f(b)-f(a)= f '(c)(b-a).
Ліва частина рівності це приріст функції на [a,b], в правій частині є (b-a) – приріст аргументу. Отже, формула точно виражає приріст функції через приріст аргументу: EMBED Equation.3 .
1
f(b) М
f(a) N
EMBED Equation.3
a c b
Геометричний зміст: Якщо поділити на (b-a): EMBED Equation.3 . Зліва у формулі стоїть tg EMBED Equation.3 =k – кутовий коефіцієнт січної MN. Справа – кутовий коефіцієнт дотичної в точці с. їх рівність означає паралельність січної і дотичної. Отже, теорема стверджує, що якщо крива гладка, то існує
т. с є (a,b) така, що дотична в точці c є паралельною до січної, що проходить через точки з абсцисами a, b.
Теорема (правило Лопіталя – розкриття невизначеностей EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 ). Нехай частка функцій EMBED Equation.3 визначена в деякому проколотому околі точки а і потрібно знайти границю EMBED Equation.3 , але за теоремою про арифметичні дії над границями виходить невизначеність EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 . Тоді, якщо існує границя частки похідних EMBED Equation.3 =L (L – число чи нескінченність), то також існує початкова границя рівна L: EMBED Equation.3 .
Коротко: EMBED Equation.3 , якщо остання границя існує.
Зауваження 1. Якщо границя частки похідних не існує, то про початкову границю не можна зробити ніякого висновку. Вправа. EMBED Equation.3 .
2. Правило Лопіталя можна застосовувати і для односторонніх границь і при а= EMBED Equation.3 .
3. Правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів підряд, поки виходять вказані невизначеності.
Доведення. (для неперервних разом з своїми похідними в деякому околі точки а функцій)
EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3 .
Приклади. 1. EMBED Equation.3 . Оскільки остання границя число, то рівність правильна.
2. EMBED Equation.3 .
3. EMBED Equation.3 .
Зауваження. Інші види невизначеностей можна тотожними перетвореннями виразів звести до невизначеностей EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Приклади. 1. EMBED Equation.3 =…
Вправа. Доробити границю за правилом Лопіталя.
2. EMBED Equation.3 .
Для степеневих невизначеностей: EMBED Equation.3 користуються формулою EMBED Equation.3 і неперервністю функції EMBED Equation.3 .
3. EMBED Equation.3 .
Теорема (формула) Тейлора
Якщо функція диференційована в точці в т. х0, то можна записати
EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 – нескінченно мала вищого порядку ніж EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 , тобто при EMBED Equation.3 .
Розпишемо прирости: EMBED Equation.3 , те саме: EMBED Equation.3 – це є формула Тейлора при n=1.
Теорема. Якщо для функції f(x) існують похідні до n-того порядку в деякому околі точки х0, то справедлива формула Тейлора: EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 – нескінченно мала вищого порядку ніж EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 , цей вираз називається ще залишковим членом формули Тейлора. Залишковий член можна виписати точніше (у формі Лагранжа): EMBED Equation.3 , де точка с належить інтервалу з кінцями х0 та х.
Зауваження. Формула Лагранжа у вигляді EMBED Equation.3 , де с є (х0,х) є формулою Тейлора при n=0 із залишковим членом у формі Лагранжа.
Якщо х0=0, то формула Тейлора називається ще формулою Маклорена:
EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 – нескінченно мала вищого порядку ніж EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 . Залишковий член EMBED Equation.3 можна виписати точніше EMBED Equation.3 , де точка с належить інтервалу з кінцями 0 та х.
Формули Тейлора, Маклорена є незамінними для наближених обчислень з наперед заданою точністю. Детальніше з ними познайомимось, вивчаючи тему «Ряди».