Визначений інтеграл
План
Означення.
Геометричний та фізичний змісти.
Приклади знаходження інтегралів за означенням та за геометричним змістом.
Теореми про інтегрованість функції на відрізку.
Властивості визначеного інтегралу.
Д.з.: 173-190, 194, 198, 200.
Нехай y=f(x), х є [а;b] – функція однієї змінної.
Розіб’ємо інтервал [a;b] на будь-яку кількість відрізків довжини яких позначимо ?х1, ?х2,… ?хn.
Множину відрізків ?х1, ?х2,…, ?хn називатимемо розбиттям EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
На кожному відрізку виберемо по одній точці, які позначимо Е1, Е2,…,Еn – проміжні точки. Утворимо суму S=f(E1)*?x1+f(E2)*?x2+…+f(En)*?xn = EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 -- інтегральна сума.
Геометричний зміст інтегральної суми якщо f(x)?0: це площа ступінчастої фігури що складається з n прямокутників з основами ?хі і висотами f(Ei).
Діаметр розбиття EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 – це довжина найбільшого відрізка, що входить в EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . Позначається | EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 |:
| EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 |=max ?xi, 1?i?n.
Будемо вибирати різні розбиття EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к відрізка [a;b] так, щоб | EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к|>0, k>?, тобто, довжина найбільшого відрізка, що входить в розбиття EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к прямувала до нуля, коли к>?.
Наприклад, розділивши інтервал [a;b] на 1, 2, 3 і так далі рівних відрізків EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 1, EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 2, EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 3,... ми отримаємо саме таку послідовність розбиттів, бо | EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к|= EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 >0, к>?.
Виберемо послідовність розбиттів EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к так, щоб | EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к|>0, k>? і для кожного розбиття EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к складемо відповідну інтегральну суму EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к. Отримаємо послідовність інтегральних сум EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . Ця послідовність буде залежати від вибору проміжних точок Еі.
Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 при к>? і не залежить від вибору розбиттів EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к та проміжних точок Еі, то вона називається визначеним інтегралом функції
f(x) на [a;b] і позначається EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 , а функція f(x) називається інтегрованою на відрізку [a;b]: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
Зауваження 1. Визначений інтеграл – це число, на відміну від невизначеного, який дорівнює первісній, тобто функції. Тому у визначеному інтегралі змінну можна позначати будь-якою буквою: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
Геометричний зміст визначеного інтегралу: якщо | EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к|>0, то площа ступінчастої фігури наближається до площі криволінійної трапеції, обмеженої прямими х=а, х=b, у=0 і кривою у=f(x).
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 S (при f(x)?0, x є [a;b]). Якщо f(x)?0, то EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 -S.
Фізичний зміст: а) якщо f(x)=?(x)?0, x є [a;b] – лінійна густина стержня розміщеного на відрізку [a;b] то EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 , де EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 -- маса частинки стержня на відрізку EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . Отже, визначений інтеграл це маса стержня з лінійною густиною f(x).
б) EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 - це шлях, який пройшло тіло з швидкістю v(t) на проміжку часу [a;b].
Приклад 1. f(x)=c, x є [a;b] – стала функція. EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . Отже, стала функція інтегрована на будь-якому відрізку [a;b].
Приклад 2. f(x)= 1, х є Q,
0, x є R\Q, х є [0;1] – функція Діріхле—не інтегрована на [0;1],
бо для будь-якого розбиття EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 інтегральну суму S можна зробити 1 або 0 в залежності від вибору проміжних точок Еі раціональних чи ірраціональних.
Приклад 3. f(x)=х, x є [0;1]
Знайдемо інтеграл через його геометричний зміст EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . 1
Теорема 1(необхідна умова інтегрованості функції). Інтегрована функція на [a;b] є обмеженою на [a;b].
Приклад 4 (на застосування теореми 1). EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 - необмежена на [0;1], отже, не інтегрована і не існує EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
Наведемо достатні умови інтегрованості функції.
Теорема 2. Якщо функція f(x) неперервна на [a;b] то вона інтегрована на [a;b].
EINBETTEN PBrush
Теорема 3. Якщо функція f(x) неперервна в усіх точках відрізка [a;b], крім, можливо, скінченної кількості точок розривів І-го роду, то f інтегрована на [a;b] і інтеграл не залежить від значень функції в точках розривів.
Приклад 5. EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 інтегрована на [0;3], бо має тільки дві точки розриву – скачки на малюнку графіка.
Вправа. Знайти цей інтеграл за геометричним змістом.
Властивості визначеного інтегралу
1. EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 , якщо обидва інтеграли в правій частині існують.
Доведення. EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 і перейдемо до границі, коли | EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 к|>0 – отримаємо властивість 1.
2. EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 , де с -- стала величина. Доводиться аналогічно.
3. Якщо f(x)?0, х є [a;b] –інтегрована на [a;b], то EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
4. Про перехід до границі в нерівностях. Якщо g(x) ? f(x), х є [a;b], f(x),g(x) -- інтегровані на [a;b], то EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
5. Оцінка визначеного інтегралу. Якщо m?f(x)?M, x є[a;b] і f – інтегрована на [a;b], то EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 , бо площа криволінійної трапеції більша за площу АВDС і менша за площу ABD1С1.
6. Теорема про середнє значення. Якщо f неперервна на [a;b], то існує точка с є [a;b] що EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
Доведення. Нехай m,M – найменше та найбільше значення функції f на [a;b]. Із властивості 5: m(b-a)? EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . Поділимо нерівність на EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 : EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . Позначимо EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . За теоремою Больцано- Вейєрштрасса про проміжне значення існує с є (a,b), що f(с)=L, тобто, EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
Означення. Значення функції в цій точці с називається середнім значенням функції f на відрізку [a;b].
Отже, щоб знайти середнє значенням функції f на відрізку [a;b] можна користуватися формулою EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
7. Адитивність: f – інтегрована на [a;b], с є (a;b), то EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . (Очевидно з геометричного змісту.)
EINBETTEN Рисунок Microsoft Word
Приклад. EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 -- неперервна на [0;2], крім х=1 (розрив - скачок), то інтегрована на ньому. EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
Дамо ще декілька означень для інтегрованої на [a;b] функції f(x):
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 - геометрично: площа відрізка дорівнює 0.
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
Тоді властивість адитивності справедлива для будь-якого розміщення точок а, b, с.