Функції багатьох змінних План Означення, область визначення, графік, лінії рівня. Границя функції та неперервність. Частинні прирости, частинні похідні, градієнт. Повний приріст і диференціал. Похідна складної функції. Похідна неявно заданої функції. Приріст в напрямку, похідна в напрямку. Похідні вищих порядків. Дослідження на екстремум. Дослідження на найменше і найбільше значення в закритій області. (Б-Н 325,327,329,330,331,334а, 335,338-350,353,357-365,371,373) Означення: - функція n змінних, яка набору n чисел ставить у відповідність одне число. Приклад. . При n=2 - функція двох змінних. Приклад. . Графік функції двох змінних – це поверхня. z z=f(x,y) Точці М площини Оxy з координатами М(x,y) ставиться у відповідність число z, яке відкладаємо на осі Oz. z y y x x MM Область визначення функції двох змінних – це область допустимих значень для пар (x,y), тобто це деяка частина площини Оxy, при яких можна обчислити значення функції. ОДЗ зображаємо на площині Oxy, заштриховуючи її. Це також проекція графіка функції на площину Oxy. Приклад: 2 коло з центром в початку координат і радіусом 2. ОДЗ -- круг з центром в початку координат і радіусом 2. При n=3 - функція трьох змінних. Приклад. Точці простору з координатами (x,y,z) ставиться у відповідність одне число u. Можна уявляти, що це число u(x,y,z) є температурою, густиною чи іншою характеристикою об`ємного тіла в кожній його точці. Область визначення функції трьох змінних це область допустимих значень x,y,z, тобто частина простору Oxyz. Приклад.
це перший октант простору, де всі змінні додатні, без координатних площин. Лінії рівня функції двох змінних це лінії в площині Oxy з рівняннями z=c, c=const, тобто Це лінії, в точках яких функція набуває однакового значення с. Приклад. Зобразити лінії рівня (ізокванти) виробничої функції . Q=const=c, LK=c, K=c/L – гіперболи K с=1: K=1/L, c=2: K=2/L,… c=3 Границя функції c=2 Надалі розглядатимемо в основному ф-ції двох змінних. c=1 L Окіл точки в площині Oxy – це круг з центром в т. і радіусом без межі. z A z=f(x,y
y x MM
Проколотий окіл – це той самий круг з якого викинули точку. Нехай задана ф-ція двох змінних в деякому проколотому околі точки . Число А наз. границею ф-ції в т. (, якщо для будь-якої послідовності точок площини Оxy , ,…,…, що лежать в проколотому околі точки і відстань відповідні значення ф-ції Позначення:
або Виконується теорема: границя суми, різниці, добутку, частки двох функцій дорівнює сумі, різниці, добутку, частці їх границь (якщо це можна обчислити). Неперервність функції Нехай ф-ція визначена в деякому проколотому околі точки . 01. Якщо границя функції в точці дорівнює значенню функції в цій точці, то функція називається неперервною в точці
(1) В точці графік ф-ції є нерозривною поверхнею. 02. Якщо порушується умова (1), тобто границя або значення ф-ції не існують, або не рівні між собою, то точка називається точкою розриву ф-ції . Тоді й поверхня має розриви. Ф-ція двох змінних чи поверхня може мати точки розриву і лінії розриву. 03. Ф-ція наз. неперервною в деякій області А (А – деяка площадка на площині Оху), якщо неперервна в кожній точці області А. Частинні похідні і градієнт z
z=f(x,y) z
y y x Нехай визначена в деякому околі точки М(х,у). Точка належить цьому околу. називається частковим приростом ф-ції z по змінній х в точці М. Аналогічно можна знайти частковий приріст ф-ції по змінній у: нехай точка належить також області визначення функції ,
Якщо взяти точку із області визначення функції, то
називається повним приростом функції z в точці М. Означення. Частинною похідною ф-ції z в точці M(х,у) по змінній х – наз. границя відношення часткового приросту ф-ції по змінні х до приросту аргументу , коли , якщо ця границя є числом. Позн. , або :
Аналогічно можна шукати частинну похідну по змінній у. Позн. або :
Оскільки означення частинної похідної по х співпадає з означенням похідної ф-ції однієї змінної х при сталому у, то частинну похідну можна шукати за табличкою похідних і правилами диференціювання ф-ції однієї змінної, вважаючи х змінною, а у сталою. Аналогічно шукають , але тоді у – змінна, а х – стала. Приклад.
Домашнє завдання на I практ.заняття. Повторити табличку похідних і правила диференціювання. Написати її в зошит з прак. занять.
Нехай треба знайти частинні похідні в точці М(3;0), то , тобто підставляють координати точки у частинні похідні. Отже, частинні похідні ф-ції двох змінних в точці це два числа. Вектор з такими координатами і наз. повною похідною або градієнтом ф-ції z в точці М. Позн. або
Пр.1. Пр.2. Знайти: в точці М(0;1) Повний приріст функції і диференціал Нехай точки належать області визначення функції z.
повний приріст ф-ції в точці М(x;y). Якщо повний приріст ф-ції в точці М можна ось так виразити через прирости аргументів
, де швидше прямує до нуля ніж при :,а - деякі числа, то функція називається диференційованою в точці М(х,у). Величиною можна знехтувати. Основна частина приросту називається диференціалом функції і позначається dz :
якщо прирости аргументів і малі. Приклад. Знайти приріст і диференціал функції в т.М(1,-2).
р р - нескінченно швидше прямує до нуля ніж відстань ММ при Отже, dz=. В точці М: Теорема. Якщо f диференційована в точці М(х,у), то існують частинні похідні в т.М, які дорівнюють числам та відповідно:
Тоді формула диференціалу має вигляд:
Перевіримо формулу на нашому прикладі
тоді - зійшлося. Якщо , то , і Аналогічно . і формула для диференціалу набуває вигляду:
(1) Ця формула диференціалу має таку властивість інваріантності: вона правильна навіть тоді, коли х та у є внутрішніми функціями від інших змінних. Похідна складної функції 1) Якщо функція двох змінних , де , тобто аргументи u та v є внутрішніми функціями від змінних х та у то її частинні похідні шукаються за формулами:
Mожна показати це, використовуючи властивість інваріантності диференціалу Приклад. , де , 2)Якщо ф-ція , де , тобто u та v є внутрішніми функціями від змінної t, тоді z є складеною функцією від одної змінної t і її похідну шукають аналогічно за формулою.
Приклад. , де Підставивши u та v отримаємо складну ф-цію , з якої важко взяти похідну. Треба логарифмувати. А за нашою формулою (можна тепер підставити u та v) . Похідна неявно заданої функції Нехай функція однієї змінної y = y (x) задана неявно,
тобто рівнянням , де , де F – функція двох змінних. Візьмемо диференціали з обох частин цього рівняння: dF = 0 і, оскільки, формула диференціалу правильна і тоді коли х чи у є внутрішніми функціями, dF = Fx’ dx + Fу’ dy, Fx’dx + Fу’dy = 0. З цього рівняння знайдемо похідну: у’x = тобто в чисельнику береться похідна з F по змінній, а в знаменнику похідна з F по функції 2) Нехай функція двох змінних z(x, y) задана неявно, тобто рівнянням , де F (x, y, z) – функція трьох змінних. Коли ми шукаємо zx’, то х – змінна, z – функція, а у – стала. Тому на рівняння F (x,y,z) = 0 подивимось як в пункті 1) і за попередньою формулою:
Аналогічно, коли ми шукаємо zy’ , то у – змінна, z – функція і тоді: Приклад. z’x = z’у = Похідна в напрямку Задана функція z = f (x, y) в деякому околі точки М (x, y) і напрямок руху в площині Оху вектор = (). Позначимо вектор
Точка M1 така, що приріст-вектор . Тоді , де -деяке число, вектор а точка M1 має такі ж координати як вектор Приріст функції в напрямку це Приріст аргументу буде прямувати до нуля, якщо t > 0. Похідною функції в напрямку називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля, якщо ця границя скінченна. Позначається а бо . Фізичний зміст це швидкість зростання функції в даному напрямку. Частинні похідні z’x та z’y – це похідні в напрямках осей Ох та Оу відповідно, тобто в напрямках . Властивість похідної в напрямку. Похідна залежить тільки від напрямку і не залежить від довжини вектора : (M) = Справедлива теорема: якщо функція диференційована в точці М то похідна в напрямку дорівнює проекції вектора-градієнта функції z в точці М на вектор : Нагадування: Доведення теореми. , = = . Зауваження. Проекція вектора на вектор також не залежить від довжини вектора, на який проектують. Приклад. z = x4 + y4 + 2x3y , =(3,4) . Знайти в точці M (1; 2).
(M) = (16; 34) = пр= = = . Похідні вищих порядків Нехай задана функція двох змінних z = f (x, y). Її частинні похідні z’x та z’y є також функціями двох змінних х, у. З них також можна брати частинні похідні. (z’x)’х позначається z’’xx або , ((z’у)’у позначається z’’xу або . (zу)’х позначається z’’уx або . (z’у)’у позначається z’’у2 або . Це будуть частинні похідні другого порядку для початкової функції. Їх є чотири і їх складають у матрицю – повну похідну другого порядку: Приклад. z = x2 sin y. Знайти похідні другого порядку і z’’ в точці М (1; ). z‘х = 2x sin y z’у = х2 cos y z‘’х2 = 2 sin y = 2 sin = 2 z ‘’хy = 2x cos y = 2 cos = 0 z‘’yx = 2x cos y = 2 cos = 0 z‘’y2 = x2 (-sin y) = 1 (-sin ) = - 1. Похідні z‘’yx і z‘’хy називають змішаними похідними другого порядку. Теорема. Якщо змішані похідні z‘’yx, z‘’хy існують і неперервні в деякому околі точки М, то вони рівні: z‘’yx =z‘’хy. (Можна переконатись в справедливості теореми на попередньому прикладі.) Дослідження на екстремум Означення. Точка Мо (хо, уо) називається точкою максимуму (мінімуму) функції z = f (x, y) в області D, якщо для всіх точок М (х, у) із області D f (х, у) f (xo, yo) (f (х, у) f (xo, yo)). Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму. Якщо точка є екстремумом в деякому околі точки Мо то вона називається точкою локального екстремуму функції. Теорема 1(необхідна умова локального екстремуму). Якщо Мо (хо, уо) є точкою локального екстремуму функції f (х, у) і існують z‘х і z’у то вони рівні нулю, тобто виконується система рівнянь:
Доводиться аналогічно як для функції однієї змінної. Теорема 2 (достатня умова локального екстремуму). Якщо в точці Мо (хо, уо) частинні похідні І-го порядку рівні нулю: , то шукають повну похідну другого порядку матрицю z’’ (Mo) і її визначник det z’’(Мо) і можливі три випадки: det z’’ (Мо) < 0, то немає екстремуму в цій точці. det z’’ (Мо) > 0, то Мо є точкою екстремуму: мінімум, якщо z‘’х2 (Мо) > 0 і максимум, якщо z‘’х2 (Мо) < 0. det z’’(Мо) = 0, то екстремум може бути або не бути, потрібні додаткові дослідження. Приклад. z = (x – 1)2 + 2y2. Дослідити на екстремум. х = 1, у = 0 Мо (1, 0) – критична точка. z‘’х2 = 2 z‘’хy = 2 z‘’хy = 0 z‘’хy = 0 z’’ = z‘’у2 = 4 det z’’ = 8 – 0 = 8 > 0. Отже, є екстремум в точці (1; 0). z‘’х2 = 2 > 0, тобто є min, zmin = z (1; 0) = 0 + 0= 0.
Дослідження функції двох змінних на найбільше і найменше значення в закритій області а) Шукають критичні точки, які входять в область і, в яких z‘х і z’у дорівнюють нулю або не існують. б) Шукають критичні точки на межі області. Якщо треба, розбивають її на різні криві. На кожній кривій функція z стає функцією однієї змінної (якщо з рівняння кривої виразити одну змінну через іншу і підставити знайдений вираз у формулу функції z). в) Обчислюють значення функції z в усіх знайдених критичних точках і в точках, де з’єднуються криві і вибирають з них найбільше та найменше значення. Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції z = x2 + y2 - xy +x+ y в області D, обмеженій лініями x=0, y=0, x+y+3=0. Зобразимо область D. Це трикутник у третій координатній чверті. М(-1;-1) є D. , ,
. Добавимо ще точки А(-3;0), В(0;0), С(0;-3). z(M)=z(-1;-1)=1+1-1-1-1=-1 -- найменше значення z z(M1)=z(-1/2;0)=1/4-1/2=-1/4 z(M2)=-1/4 z(M3)=9/4+9/4-9/4-3/2-3/2=-3/4 z(A)=z(C)=z(-3;0)=9-3=6 -- найбільше значення z z(B)=z(0;0)=0.
