27. Пряме перетворення Лапласа. Якщо є функція незалежної змінної t (найчастіше – часу), то перетворення Лапласа, що виконується над f(t), перетворює її на EMBED Equation.3 .
28. Знаходження лапласівського зображення лінійного диференціального рівняння. Допустимо, що лінійна САК описується диф. рівнянням n-го порядку з постійними коефіцієнтами і має вигляд:
EMBED Equation.3 .
Помножимо і проінтегруємо:
EMBED Equation.3 .
Використовуючи перетворення Лапласа, отримаємо:
EMBED Equation.3 .
Вважаючи, що інтеграл знаходиться при початкових умавах, можна записати:
EMBED Equation.3 .
Остаточно отримуємо:
EMBED Equation.3 .
29. Визначення передавальної функції. Передавальна функція – відношення лапласівських зображень вихідної величини ланки або системи до лапласівського зображення вхідної величини при початкових умовах: EMBED Equation.3 . Для знаходження передавальної функції треба знайти лапласівські зображення вхідної і вихідної величин, і розділити одне на друге:
30. Передавальна функція основних типових з’єднань ланок. Передатна функція послідовно з’єднаних ланок дорівнює добутку передаточних функцій усіх ланок, з’єднаних в ланцюжок:
EMBED Equation.3
Передатна функція паралельно з’єднаних ланок дорівнює сумі передаточних функцій окремих ланок: EMBED Equation.3
EMBED Visio.Drawing.6
Зустрічно-паралельне з’єднання (з’єднання зі зворотним зв’язком) – це таке з’єднання, в якому вихід першої ланки з’єднаний з входом другої ланки, а вихід другої ланки з’єднаний зі входом першої ланки: EMBED Equation.3
31. Передавальна функція розімкнутої і замкнутої САК. Введення зворотного зв’язку в систему перетворює розімкнуту систему керування в замкнуту. Прикладом з’єднання зі зворотним зв’язком є зустрічно паралельне з’єднання, показане на рисунку. Тут ланка W1(p) знаходиться на прямому зв’язку, а ланка W2(p) на зворотному зв’язку. Передаточна функція ланки, яка еквівалентна ланкам зі зворотнім зв’язком: EMBED Equation.3 . Подвійний знак у формулі записано, щоб охопити випадки додатного та від’ємного зворотного зв’язку. Щоб надати формулі більш загального вигляду, передаточну функцію ланок, які знаходяться на прямому зв’язку, позначають Wпр(t), а передаточну функцію всіх ланок ланцюжка – Wрс(t) (функцію Wрс(t) називають передаточною функцією розімкнутої системи). Тоді формула матиме вигляд: EMBED Equation.3 .
32. Передавальні функції основних типових ланок САК. Підсилювальна ланка – це найпростіша динамічна ланка. Вона підсилює сигнал, або перетворює його з однієї фізичної величини в іншу. Рівняння такої ланки можна записати так: EMBED Equation.3 . Передатна функція ланки: W(p) = K.
Аперіодична ланка (інерційна ланка, аперіодична ланка першого порядку). Ланка, яка описується диференційним рівнянням: EMBED Equation.3 . Передатна функція ланки: EMBED Equation.3 . Тут К – коефіцієнт підсилення, T – постійна часу.
Коливальна ланка: Динаміка ланки описується рівнянням: EMBED Equation.3 . Передатна функція: EMBED Equation.3 , де К – коефіцієнт підсилення; T – постійна часу; D – постійна затухання коливань.
Диференційна ланка – ланка, вихідна величина якої дорівнює швидкості зміни вхідної величини. Вона описується диференційним рівняння: EMBED Equation.3 . Передатна функція диференційної ланки: EMBED Equation.3 .
Реальна диференційна ланка описується рівнянням: EMBED Equation.3 . Передатна функція ланки: EMBED Equation.3 . Тут К – коефіцієнт підсилення, T – постійна часу.
Інтегруюча ланка: рівняння динаміки інтегруючої ланки: EMBED Equation.3 . Передатна функція: EMBED Equation.3 . Тут К – коефіцієнт підсилення.
33. Зворотне перетворення Лапласа. Існує зворотне перетворення Лапласа, що дозволяє, знаючи зображення, знайти оригінал: EMBED Equation.3 .
34. Перехідний процес, види перехідних процесів. Перехідним процесом називаємо функцію виду: EMBED Equation.3 . Перехідні процеси поділяються на 3 основні види: монотонні (I похідна не міняє знаку), коливні (або періодичні; I похідна теоретично міняє знак ? число разів) та аперіодичні (проходять без періодичної зміни знаку і мають обмежене число екстремумів. Перехідний процес показує характер зміни вихідної величини. Основні характеристики САК за перехідним процесом: EMBED Equation.3 – час регулювання; EMBED Equation.3 – час перерегулювання.
35. Частотні характеристики ланки. Визначення комплексної частотної функції. Якщо на вхід лінійної ланки або розімкнутої САК подати гармонічний сигнал, то після того, як пройдуть перехідні процеси, на виході встановиться гармонічний сигнал, але амплітуда і фаза вихідного сигналу можуть приймати різні значення в залежності в залежності від частоти вхідного сигналу та характеру ланки або САК. По зміні частоти і фази, а також амплітуди вихідного сигналу, можна судити про динамічні характеристики не тільки окремих елементів, але й САК в цілому. Нехай на вхід ланки або системи подається гармонічне періодичне збурення, яке в символічній формі можна записати так: EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 . Після перехідного процесу на виході ланки встановиться сигнал: EMBED Equation.3 .
Нехай в загальному вигляді розімкнута система описується наступним рівнянням:
EMBED Equation.3 .
Крім того:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;
....................................................; EMBED Equation.3 .
Підставляємо і отримуємо:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
При EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 .
В полярній системі координат:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 – дійсна частотна характеристика; EMBED Equation.3 – уявна частотна характеристика; EMBED Equation.3 – амплітудно-частотна характеристика; EMBED Equation.3 – фазо-частотна характеристика.
36. Види частотних характеристик, побудова частотних характеристик в Декартовій та полярній системі координат. Амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) – це графік залежності від частоти відношення амплітуди вихідного сигналу системи до амплітуди вхідного гармонічного сигналу. Щоб одержати амплітудно-частотну характеристику, потрібно подавати на систему гармонічний вхідний сигнал і змінювати його частоту. Амплітудно-частотна функція – це залежність від частоти відношення амплітуд вихідного сигналу до вхідного. Амплітудно частотна характеристика – це графік амплітудно-частотної функції. По осі ординат відкладають частоту, а по осі абсцис – відношення амплітуд.
Фазово-частотна характеристика (ФЧХ) – це графік залежності від частоти зсуву фаз між вихідним та вхідним сигналами, або це графік залежності фази вихідного сигналу від частоти, якщо фаза вхідного сигналу прийнята нульовою: EMBED Equation.3 . Вихідний сигнал, як правило, відстає від вхідного. Тому для більшості систем чи окремих ланок ФЧХ приймає від’ємні значення.
Як правило, амплітудно-частотну та фазово-частотну характеристики будують одну під одною, так щоб масштаби по осі частот були однаковими, як це показано на рисунку (а – АЧХ, б – АФХ, в – АФЧХ).
Амплітудно-фазова частотна характеристика – являє собою сукупність амплітудно-частотної та фазово-частотної характеристик. ЇЇ будують в полярній системі координат. Для кожної частоти відкладають радіус-вектор, довжина якого дорівнює значенню амплітуди, а кут відхилення від початкового напрямку – величині фазового зсуву між вихідним і вхідним сигналами. У результаті отримують певну криву, яку іноді називають годографом.
37. Логарифмічні частотні характеристики, їх побудова. Як правило, частотні характеристики подають у логарифмічному масштабі. Це пов’язане перш за це з тим, що діапазон частот і значень самих характеристик дуже великий і використання логарифмічного масштабу дозволяє показати характеристику більш повно й наглядно. Крім цього логарифмічні частотні характеристики мають такі переваги: 1) вони можуть зображатись прямолінійними ділянками; 2) логарифмічні характеристики послідовно з’єднаних ланок будують простим сумуванням характеристик окремих ланок. Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) визначається співвідношенням EMBED Equation.3 і вимірюється в децибелах. Величина сигналу в децибелах дорівнює EMBED Equation.3 . Оскільки потужність кратна квадрату амплітуди сигналу, то маємо EMBED Equation.3 . По осі абсцис відкладають логарифм частоти, а по осі ординат – величину амплітуди в децибелах на даній частоті. Що стосується ЛФЧХ, то для неї частота береться в декадах, а фаза або в рад або в град.
38. Безінерційна ланка. Частотні характеристики безінерційної ланки, перехідна характеристика. Ланку прийнято називати безінерційною, якщо зв’язок між вхідною і вихідною величинами визначається відношенням: Хвих=КХвх. Прикладом такої ланки є: електронний підсилювач, редуктор, сельсинні давачі, потенціометричні давачі, важельні з’єднання. Передавальна функція безінерційної ланки: W(p)=K рівна коефіцієнту передачі цієї ланки.
Перехідна характеристика – реакція ланки на одиничну східчасту функцію. [1] – на вхід ланки даємо одиничний стрибок. EMBED Equation.3 -функція – це похідна від одиничної функції. Для безінерційної ланки характер зміни вхідної величини в часі теж буде ступінчатою функцією з встановленою амплітудою Хвих=К[1].
АЧХ – це пряма, паралельна осі частот, яка розміщена на віддалі К від осі частот. ФЧХ – це пряма, яка збігається з віссю частот. АФЧХ зображається точкою на дійсній осі. ЛАЧХ – це пряма, паралельна осі частот, яка розміщена від осі на віддалі 20lgK.
39. Інерційна 1-го порядку ланка. Частотні характеристики інерційної 1-го порядку ланки. Перехідна характеристика інерційної 1-го порядку ланки. Інерційна ланка 1-го порядку – ланка, яка описується диф. рівнянням 1-го порядку такого вигиляду: EMBED Equation.3 , для якого Т – стала часу ланки, що визначається інерційністю цієї ланки; К – коефіцієнт передачі ланки у встановленому режимі. Приклади: асинхронний двигун, якщо за вихідну величину взяти швидкість обертання ротора двигуна; електрична піч, для якої стала часу визначається інерційністю печі; магнітний підсилювач; RC-фільтр. Перехідна характеристика – експонента.
Хвих=К*[1]; EMBED Equation.3 .
Передавальна функція: EMBED Equation.3 . Комплексна частотна функція: EMBED Equation.3 .
40. Інтегруюча ланка. Види інтегруючих ланок. Частотні характеристики інтегруючих ланок, перехідна характеристика. Ланка називається інтегруючою тому, що вихідний сигнал дорівнює інтегралу від вхідного. Диференційне рівняння ланки таке: EMBED Equation.3 . Виконавши інтегрування правої і лівої частини по t, одержимо: EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Передатна функція: EMBED Equation.3 .
Рівняння для визначення перехідної функції: EMBED Equation.3 з початковою умовою h(0) = 0. Розв’язок рівняння: EMBED Equation.3 . З початкової умови C = 0, отже h(t) = Kt. Перехідна характеристика інтегруючої ланки – пряма лінія, нахилена під кутом з кутовим коефіцієнтом К.
Імпульсна перехідна характеристика: EMBED Equation.3 . Це горизонтальна пряма лінія на рівні К.
Амплітудно-частотна функція А(?): EMBED Equation.3 .
Фазово-частотна функція ?(?): EMBED Equation.3 .
Логарифмічна амплітудно-частотна функція: EMBED Equation.3 .
Графік ЛАЧХ матиме вигляд прямої, нахиленої зліва на право з кутовим коефіцієнтом нахилу рівним -20 дБ/дек. Графік ЛФЧХ – горизонтальна пряма, паралельна осі частот, зміщена вниз на ?/4. АФЧХ являє собою нижню частину комплексної осі, причому збільшення частоти відповідає наближенню до початку координат комплексної осі.
41. Диференцююча ланка, види диференцюючих ланок. Частотні характеристики диференцюючих ланок, перехідна характеристика. Ланка називається диференційною тому, що вихідний сигнал дорівнює похідній від вхідного сигналу. Диференційне рівняння ланки таке: EMBED Equation.3 . Передатна функція: EMBED Equation.3 .
Рівняння для визначення перехідної функції: EMBED Equation.3 . Використавши певні співвідношення, можна одержати: EMBED Equation.3 . Тобто перехідна характеристика диференційної ланки має вигляд дельта функції.
Амплітудно частотна функція А(?): EMBED Equation.3 .
Фазово-частотна функція ?(?): EMBED Equation.3 .
Логарифмічна амплітудно-частотна функція: EMBED Equation.3 .
Графік ЛАЧХ матиме вигляд прямої з кутовим коефіцієнтом рівним 20 дБ/дек. Графік ЛФЧХ буде горизонтальна пряма, паралельна осі частот, зміщена вверх на ?/4. АФЧХ являє собою верхню частину комплексної осі, причому збільшення частоти відповідає зростанню значень уздовж комплексної осі.
42. Інерційна 2-го порядку ланка. Частотні характеристики інерційної 2-го порядку ланки. Перехідна характеристика інерційної 2-го порядку ланки. До інерційних ланок 2-го порядку можна віднести аперіодичну ланку 2-го порядку. Це та ж коливальна ланка, але при умові, що затухання в ній велике і коливання не виникають. Коливальна ланка, яка відповідає рівнянню EMBED Equation.3 , стає аперіодичною ланкою 2-го порядку, якщо постійна затухання більша 1. Тобто при умові D > 1 коливальна ланка перетворюється в аперіодичну ланку другого порядку. І навпаки при D < 1 аперіодична ланка 2-го порядку стає коливальною. Коливальні та аперіодичні ланки 2-го порядку описуються одним і тим же рівнянням і можуть бути однаковими за конструкцією, відрізняючись тільки своїми характеристиками. Важливо відмітити, що характеристичне рівняння коливальної ланки має два комплексно спряжені корені, а аперіодичної ланки 2-го порядку – два дійсні корені. Аперіодична ланка 2-го порядку може бути представлена як послідовне з’єднання двох аперіодичних ланок 1-го порядку, що не можна зробити для чисто коливальної ланки. Приклади аперіодичних ланок другого порядку: подвійний RC-ланцюжок; подвійний LR-ланцюжок; електричний двигун; два резервуари стиснутого повітря.
43. Коливна ланка, її перехідна та частотні характеристики. Диференційне рівняння ланки таке: EMBED Equation.3 . Передатна функція: EMBED Equation.3 . Рівняння для визначення перехідної функції: EMBED Equation.3 з нульовими початковими умовами h(0)=0; h’(0)=0.
Комплексна передатна функція: EMBED Equation.3 .
Амплітудно-частотна функція А(?): EMBED Equation.3 .
Фазово-частотна функція ?(?): EMBED Equation.3 .
Логарифмічна амплітудно-частотна функція: EMBED Equation.3 .
Графік ЛАЧХ коливальної ланки має дві асимптоти: горизонтальну і нахилену. Кутовий коефіцієнт нахилу рівний -40 дБ/дек. На частоті спряження ЛАЧХ коливальної ланки проходить вище d<0,5, або нижче d>0,5 точки перетину асимптот залежно від величини постійної загасання d. Основна відмінність ЛАЧХ коливальної ланки від аперіодичної полягає в тому, що кутовий коефіцієнт нахилу асимптоти коливальної ланки дорівнює -40 дБ/дек, тоді як у аперіодичної -20дБ/дек.
Графік ЛФЧХ буде арктангенс. Максимальний зсув фаз дорівнює –? (1800). Частоті спряження відповідає точка на ЛФЧХ -?/2.
АФЧХ являє собою дугу, яка проходить через два квадранти нижньої частини комплексної площини. Починається вона на додатній частині дійсної осі. Проходить через від’ємне значення уявної осі і закінчується в точці початку координат.
44. Логарифмічні частотні характеристики основних типових ланок, побудова асимптотичних логарифмічних характеристик. Якщо в передавальній функції ланки немає інтегруючого елемента, то НЧ асимптота ЛАЧХ – це пряма, паралельна осі частот до 1-ї частоти спряження (нахил – 0 дб/дек).
Нехай задано: EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 .
Якщо в передавальній функції є інтегруюча ланка, тоді НЧ-складова має нахил 20 дб/дек.:
На частоті EMBED Equation.3 =1 відкладаємо значення по осі ординат 20lgK. Через цю точку проводимо пряму з нахилом 20 дб/дек.
54. Визначення стійкості систем керування. Вимоги до коренів характеристичного рівняння, при яких забезпечується стійкість САК. Під стійкістю САК розуміємо її здатність повертатися до початкового стану рівноваги, після припинення дії збурення, або керуючого впливу. Якщо хоч одна пара коренів характеристичного рівняння знаходиться на уявній осі, то тоді САК буде знаходитися на границі стійкості.
57. Критерії стійкості САК, основні види критеріїв стійкості. Ознаки, які дозволяють судити про знаки коренів характеристичного рівняння в теорії керування отримали назву критеріїв стійкості. Є алгебраїчні і частотні критерії стійкості. Для визначення стійкості систем, які описуються рівнянням до 5-го степеня, доцільно використовувати алгебраїчні критерії стійкості. Для систем вищих порядків доцільно використовувати частотні критерії стійкості. Алгебраїчні критерії стійкості – критерій Гурвиця, критерій Рауса. Частотні критерії стійкості – критерій Найквіста, критерій Михайлова.
58. Алгебраїчні критерії стійкості системи керування, критерії стійкості Рауса. Завдання знаходження критерію стійкості для систем, динаміка яких описуються диференційними рівняннями будь-якого порядку, було сформульоване Максвелом в 1868 році. Вперше його вирішив Раус в 1873 р. для рівнянь четвертої і п’ятої степені, а в 1877 р. повністю. Критерій був незручний в користуванні. У 1895 р. математиком А.Гурвіцем був сформульований критерій у більш зручній формі, в якій він використовується і в даний час. Цей критерій часто називають критерієм Рауса-Гурвіца. Він формулюється наступним чином: система є стійкою, якщо при а0>0 всі n визначників Гурвіца більше нуля.
59. Алгебраїчні критерії стійкості систем керування. Критерій стійкості Гурвиця. Для визначення стійкості систем, які описуються рівнянням до 5-го степеня, доцільно використовувати алгебраїчні критерії стійкості. Якщо характеристичне рівняння n-го степеня має вигляд: EMBED Equation.3 , то умова стійкості зводиться до того, щоб при С>0 все n-визначники, які складаються по певній схемі і всі коефіцієнти були додатні. Умова стійкості для систем 1 і 2 порядків: С0>0, С1>0, С2>0.
Для системи 2-го порядку коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути >0. Системи 2-го порядку є абсолютно стійкі. Для того, щоб система була стійка, необхідно, щоб при С0>0 всі n-визначників матриці Гурвиця були додатні.
Складання матриці Гурвиця. По головній діагоналі визначника Гурвиця зліва направо записують всі коефіцієнти характеристичного рівняння, починаючи від С1 члена в порядку зростання. Стовпці вверх від головної діагоналі заповнюють коефіцієнтами характеристичного рівняння зростаючими індексами. На місце коефіцієнта з індексом >n – ставлять 0. Стовпці вниз від головної діагоналі заповнюють коефіцієнтами характеристичного рівняння спадаючими індексами. Для індексів < 0 ставлять 0.
Для систем 3го порядку: EMBED Equation.3
C0>0, C1>0, C2>0, C3>0 – необхідна умова
C1*C2 + C0*C3 >0 – достатня умова.
Для систем 4го порядку: EMBED Equation.3
С0>0, C1>0, C2>0, C3>0, C4>0 – необхідна умова
C1*C2 – C0*C3 >0; C1*C2*C3 – C1*C4 – C0*C32 >0
60. Частотні критерії стійкості систем керуваня. Критерій стійкості Найквітса. Для систем вищих порядків доцільно використовувати частотні критерії стійкості. Частотні критерії стійкості – критерії Найквіста, критерії Михайлова. Критерії Найквіста дозволяють судити про стійкість замкнених САК, шляхом дослідження розімкненої системи. Дослідження розімкненої системи є простіше, ніж дослідження замкненої системи.
Формулювання критерію Найквіста. Є два випадки: 1) якщо система стійка в розімкненому стані, то АФХ K(j?) системи, одержана при зміні ? від 0..? не повинна охоплювати точку з координатами (-1, j=0); 2) якщо система не стійка в розімкненому стані і має k коренів в правій півплощині, то АФХ K(j?) при зміні ? від 0..? повинна охоплювати К/2 число раз в додатному напрямку точку з координатами (-1, j=0).
Порядок застосування: 1) дослідити на стійкість розімкнену систему (отримати характеристичне рівняння системи і за любим рівнянням визначити стійкість); 2) якщо система стійка, то побудувати АФЧХ розімкненої системи. Це можна зробити шляхом сумування окремих ланок, або записати передавальну функцію розімкненої системи. Замінити оператор р на j?. Виділити дійсну і уявну частини на комплексній площині, побудувати АФЧХ розімкненої системи.
61. Критерій стійкості Михайлова. Цей критерій був запропонований в 1938 р. Він дозволяє визначити стійкість системи за годографом Михайлова. Він зручний для дослідження стійкості складних систем, порядок диференційного рівняння яких більше ніж 5.
Для стійкості системи потрібно, щоб годограф Михайлова, починаючись при ? = 0 на додатній частині дійсної осі, при зростанні ? EMBED Equation.3 проходив послідовно через n квадрантів комплексної площини де n – порядок полінома. Квадрантами називають області комплексної площини, що знаходяться обмежені півосями.
Годограф Михайлова будують як годограф характеристичного комплексу. Характеристичний комплекс одержують заміною оператора р в характеристичному поліномі на уявну величину j? EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 .
Після вказаної заміни можна виділити дійсну і уявну частини: EMBED Equation.3 .
Обраховують значення А(?) та В(?) при збільшенні ? від нуля ? = 0 до достатньо великої величини EMBED Equation.3 , і будують годограф в комплексній площині, відкладаючи послідовно обраховані значення.
Умовою знаходження системи на межі стійкості є проходження годографа через початок координат комплексної площини. Запас стійкості системи можна визначити за величиною віддалі від точки перетину дійсної осі до початку координат. Варіантом цього критерію є визначення точок перетину годографом осей комплексної площини. Якщо годограф перетинає перемінно то дійсну, то комплексну площини, то система стійка, якщо в деякому діапазоні частот годограф двічі перетинає комплексну чи дійсну вісь, то система нестійка. Дане формулювання зручне тим, що просте за результатами розрахунку – не будуючи графіка, можна визначити стійкість системи.
62. Визначення стійкості та запасів стійкості за логарифмічними характеристиками розімкнутої САК. Для того щоб система була стійка ЛАЧХ повинна пересікати вісь частот раніше, чим ЛФЧХ значення (-П). Для стійкості САК необхідно і достатньо, щоб годограф Михайлова починався при ? = 0 на дійсній осі. При зростанні частоти 0.. ? - обходив послідовно в додатному напрямку (проти годинникової стрілки) n квадрантів (в декартовій системі) де n - порядок характеристичного рівняння.
63. Побудова перехідного процесу в лінійних САК методом трапецеїдальних частотних характеристик. Частотні критерії оцінки якості перехідних САК базуються на залежності перехідних процесів від частотних характеристик системи. Вони найбільш зручні під час використання частотних методів розрахунку та експериментального дослідження властивостей САК. Особливо вони незамінні, коли характеристики деяких елементів, що входять до складу САК, подаються у вигляді частотних характеристик. Основою частотних методів є логарифмічні амплітудно- та фазово-частотні характеристики, амплітудно-фазова, дійсна та уявна частотні характеристики. Частотні методи оцінки якості САК досить різноманітні, тут ми розглянемо тільки деякі з них.
Перехідний режим – це режим роботи, при якому система переходить з одного встановленого режиму до іншого. Цей режим характеризується швидкою зміною в часі керованої величини і помилок керування. Як правило в перехідних режимах САК працюють досить часто а сумарна тривалість перехідних режимів роботи займає значну частину часу роботи системи.
64. Показники якості систем керування, які визначаються за перехідним процесом. Для забезпечення стійкості, вільна складова перехідного процесу, яка визначається динамічними показниками САК повинна прямувати до 0. Вимушена складова характеризує задаюче значення САК.