§6.Закон великих чисел.
Як відомо, теорія ймовірностей вивчає закономірності, властиві масовим випадковим явищам. Коли проводиться велика кількість спроб, то характеристики випадкових подій і випадкових величин стають майже невипадковими. Наприклад, частота події при великій кількості спроб стає стійкою, те ж саме стосується і середнього значення випадкових величин. Ця обставина дозволяє використати результати спостережень над випадковими явищами для передбачення результатів майбутніх спроб.
Група теорем, які встановлюють відповідність між теоретичними і експериментальними характеристиками випадкових величин і випадкових подій при великій кількості спроб, об’єднуються під назвою закону великих чисел, а тих теорем, що стосуються граничних законів розподілу – під назвою центральна гранична теорема.
Закон великих чисел займає чільне місце в теорії ймовірностей: він є зв’язуючою ланкою між теорією ймовірностей як математичною наукою і закономірностями випадкових явищ при масових спостереженнях за ними. Закон великих чисел відіграє велику роль в практичних застосуваннях теорії ймовірностей до технічних процесів, пов’язаних з масовим виробництвом.
1. Нерівності Чебишова.
При доведенні теорем, які відносяться до закону великих чисел, користуються нерівностями Чебишова.
Нехай Х - невід’ємна випадкова величина, яка має скінченне математичне сподівання EMBED Equation.3 , тоді для EMBED Equation.3 виконується перша нерівність Чебишова
EMBED Equation.3 . (1)
Дійсно, нехай EMBED Equation.3 - функція розподілу неперервної випадкової величини EMBED Equation.3 . Тоді
EMBED Equation.3 .
Оскільки в області інтегрування EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 .
Остання нерівність тільки підсилиться, якщо інтегрування розповсюдити на всі значення х, але
EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 , отже і EMBED Equation.3 .
Нехай Х - довільна випадкова величина, для якої існує EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3 має місце друга нерівність Чебишова:
EMBED Equation.3 ; (2)
Дійсно, нехай Х – неперервна випадкова величина, тоді EMBED Equation.3 .
Оскільки в області інтегрування EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 але EMBED Equation.3 . Звідси EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 .
Перейшовши до центрованої випадкової величини EMBED Equation.3 , отримаємо таку форму другої нерівності Чебишова
EMBED Equation.3 . (3)
де EMBED Equation.3 - скінченна дисперсія.
Стосовно до протилежної події – відхилення випадкової величини від її математичного сподівання менше ніж EMBED Equation.3 , друга нерівність Чебишова може бути записана у формі
EMBED Equation.3 (4)
Для практики нерівність Чебишова має обмежене значення, оскільки вона корисна лише для відносно великих значень EMBED Equation.3 . Більш важливим є теоретичне значення цієї нерівності, оскільки вона використовується при доведенні теорем закону великих чисел .
2. Теорема Чебишова.
Введемо поняття збіжності за ймовірністю:
Кажуть, що послідовність незалежних випадкових величин EMBED Equation.3 збігається за ймовірністю до деякої випадкової величини EMBED Equation.3 , якщо для EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (5)
Теорема Чебишова: Якщо EMBED Equation.3 - послідовність попарно незалежних випадкових величин з однаковим математичним сподіванням EMBED Equation.3 , дисперсії яких рівномірно обмежені, тобто EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 - стала величина, то EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (6)
Для доведення розглянемо випадкову величину EMBED Equation.3 .В силу властивостей математичного сподівання EMBED Equation.3 .
Оскільки EMBED Equation.3 незалежні, і EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 .
Застосувавши до випадкової величини EMBED Equation.3 нерівність Чебишова у формі (4):
EMBED Equation.3
будемо мати EMBED Equation.3 ,
або перейшовши до границі, отримаємо
EMBED Equation.3 , оскільки ймовірність не може бути більше 1.
Теорема Чебишова показує, що при необмеженому збільшенні числа незалежних спроб середнє арифметичне спостережуваних значень випадкової величини, яка має скінченну дисперсію , збігається за ймовірністтю до математичного сподівання цієї випадкової величини. Ця теорема є основою правила середнього арифметичного.
3. Узагальнена теорема Чебишова
Коли характеристики випадкової величини змінюються від досліду до досліду, то має місце
узагальнена теорема Чебишова: Якщо EMBED Equation.3 - послідовність попарно незалежних випадкових величин, дисперсії яких рівномірно обмежені, тобто EMBED Equation.3 а математичні сподівання EMBED Equation.3 - різні, то EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (7)
Для доведення знову використаємо випадкову ведичину EMBED Equation.3 .
Тоді EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Застосувавши до випадкової величини EMBED Equation.3 нерівність Чебишова у формі (4)
EMBED Equation.3
отримаємо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Звідки при EMBED Equation.3 отримаємо формулу (7).
Частковими випадками теорем Чебишова є наступні теореми.
4. Теорема Бернуллі.
Нехай проводиться EMBED Equation.3 незалежних спроб, в кожній з яких з ймовірністю EMBED Equation.3 може наступити деяка подія EMBED Equation.3 . Якщо EMBED Equation.3 - число появ події EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 спробах, то EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (8)
Іншими словами, із збільшенням числа незалежних спроб частота EMBED Equation.3 появи події EMBED Equation.3 відрізняється від ймовірності появи цієї події менше ніж на EMBED Equation.3 , яким би малим не було EMBED Equation.3 .
Дійсно, ввівши випадкові величини EMBED Equation.3 маємо EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 - число появ події EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 -й спробі EMBED Equation.3 .
Випадкові величини EMBED Equation.3 мають однаковий ряд розподілу


Звідки EMBED Equation.3 Відносну частоту EMBED Equation.3 можна розглядати як випадкову величину EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Нерівність
Чебишова (4) для випадкової величини EMBED Equation.3 має вигляд EMBED Equation.3 (9)
Умови теореми Чебишова виконуються, і для середнього арифметичного значень величин EMBED Equation.3 тобто для EMBED Equation.3 , маємо
EMBED Equation.3 .
Теорема Бернуллі є історично першою теоремою закону великих чисел. Вона була доведена Я.Бернуллі і опублікована в 1713 р.
Англійський статистик К.Пірсон підкинув монету 12000 разів і при цьому герб випав 6019 разів, тобто частота випадання герба 0,5016. Іншого разу він підкинув монету 24000 разів і 12012 разів спостерігав випадіння герба. Частота випадання герба 0,5005.
Узагальненням теореми Бернуллі на випадок, коли досліди проводяться в неоднакових умовах, є теорема Пуассона.
5. Теорема Пуассона.
Якщо в послідовності незалежних спроб ймовірність появи події А в EMBED Equation.3 -й спробі дорівнює
EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (10)
де EMBED Equation.3 - число появ події А в EMBED Equation.3 спробах.
Аналогічно, як при доведенні теореми Бернуллі, маємо EMBED Equation.3 .
Випадкові величини EMBED Equation.3 мають однаковий ряд розподілу
Отже , EMBED Equation.3 Відносну частоту EMBED Equation.3 можна розглядати як випадкову величину EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Нерівність
Чебишова (4) для випадкової величини EMBED Equation.3 має вигляд EMBED Equation.3 (11) Умови узагальненої теореми Чебишова виконуються, і, перейшовши до границі при EMBED Equation.3 ,
отримаємо EMBED Equation.3
Приклад 1. У даній місцевості середня річна кількість сонячних днів дорівнює 100. Оцінити
ймовірність того, що протягом року в цій місцевості буде не більше ніж 125 сонячних днів.
Розв’язання. Нехай випадкова величина EMBED Equation.3 - кількість сонячних днів протягом року. За умовою EMBED Equation.3 =100. Потрібно оцінити ймовірність EMBED Equation.3 . Події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 є протилежними, тому EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Але EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , тому за першою нерівністю Чебишова (1) при EMBED Equation.3 маємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Отже, EMBED Equation.3 =1-0,8=0,2.
Приклад 2. В деякій місцевості середня швидкість вітру на даній висоті дорівнює 20 км/год, а сере.днє квадратичне відхилення 4 км/год. Оцінити швидкість вітру на цій висоті з ймовірністю не меншою, ніж 0,9.
Розв’язання. Нехай випадкова величина EMBED Equation.3 - швидкість вітру на даній висоті. За умовою EMBED Equation.3 =20, EMBED Equation.3 За другою нерівністю Чебишова (4) EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 Звідки EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Але EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =16, отже EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Таким чином, EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Приклад 3. Скільки потрібно провести незалежних випробувань, щоб ймовірність нерівності EMBED Equation.3 перевищувала б 0,78, якщо ймовірність появи події в окремому випробуванні EMBED Equation.3
Розв’язання. За умовою задачі EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Виконуються умови теореми Бернуллі. Якшо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , і нерівність Чебишова для випадкової величини EMBED Equation.3 (формула (9)) EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3
6. Центральна гранична теорема.
Під центральною граничною теоремою розуміється група теорем, в яких розглядаються умови про вигляд граничного закону розподілу суми EMBED Equation.3 , коли EMBED Equation.3 .
Найпростіша форма центральної граничної теореми - теорема Ляпунова - встановлює умови, за яких вказаний граничний закон є нормальним.
Теорема Ляпунова.
Якщо випадкові величини EMBED Equation.3 взаємно незалежні, однаково розподілені, мають скінченні математичні сподівання EMBED Equation.3 , дисперсії EMBED Equation.3 і абсолютний центральний момент
3-го порядку EMBED Equation.3 , то при EMBED Equation.3 закон розподілу суми EMBED Equation.3 необмежено наближається до нормального
EMBED Equation.3 . (12)
або EMBED Equation.3 (13)
Якщо перейти до нормованої центрованої величини EMBED Equation.3
для якої EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , (14)
то для великих значень EMBED Equation.3 ймовірність того, що сума EMBED Equation.3 прийме значення з деякого інтервалу EMBED Equation.3 , наближено дорівнює
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (15)
Дійсно, із формул (11) або (12) за умов (13) маємо EMBED Equation.3 .
Найпростішим частковим випадком цієї теореми є інтегральна теорема Муавра-Лапласа.
Нехай випадкові величини EMBED Equation.3 однаково розподілені, дискретні, і такі, що приймають значення 0 і 1 з ймовірностями EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 відповідно.
Очевидно, що EMBED Equation.3
Тоді для суми EMBED Equation.3 маємо EMBED Equation.3
На основі теореми (формула (13)) EMBED Equation.3
і отримаємо формулу (9) §3.
Приклад 4. Додають 24 незалежні випадкові величини, кожна з яких рівномірно розподілена на EMBED Equation.3
Написати наближений вираз для щільності розподілу суми цих випадкових величин і обчислити ймовірність того, що їх сума лежить в межах від 10 до 14.
Розв’язання. Нехай EMBED Equation.3 Тоді за формулою (13) EMBED Equation.3 .
Обчислимо EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Таким чином EMBED Equation.3
Обчислимо ймовірність того, що сума EMBED Equation.3 лежить в межах від 10 до 14:
EMBED Equation.3 .