§5. Числові характеристики випадкових величин.
Найбільш повна характеристика випадкової величини дається її функцією розподілу (або також і щільністю розподілу для неперервної випадкової величини). Проте досить часто доцільно обмежитися простішою, хоч і неповною інформацією про випадкову величину. Наприклад, досить вказати окремі числові величини, які певним чином визначають істотні риси розподілу випадкової величини: деяке середнє значення випадкової величини; деяке число, що характеризує ступінь розсіювання значень випадкової величини навколо її середнього значення, тощо. Користуючись такими характеристиками, ми в стислій формі можемо отримати інформацію про істотні особливості законів розподілу випадкової величини.
Характеристики, що виражають в стислій формі найістотніші особливості закону розподілу випадкової величини, називаються числовими характеристиками випадкової величини.
До них в першу чергу відносяться математичне сподівання і дисперсія.
5.1. Математичне сподівання.
Випадкова величина може приймати різні числові значення, тому практично важливим є середнє значення випадкової величини. Для оцінки середнього (у ймовірнісному сенсі) значення випадкової величини вводиться поняття математичного сподівання, яке є дійсним середнім значенням випадкової величини і визначається з врахуванням різних ймовірностей її окремих значень.
Математичне сподівання випадкової величини EMBED Equation.3 позначаємо EMBED Equation.3 . Для дискретної випадкової величини EMBED Equation.3 , заданої рядом розподілу
де EMBED Equation.3 , математичне сподівання обчислюється за формулою
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (1)
якщо ряд справа збігається.
Нехай EMBED Equation.3 - неперервна випадкова величина, значення якої EMBED Equation.3 , і EMBED Equation.3 - її щільність розподілу. Розіб’ємо відрізок EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 частин, довжини яких EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,…, EMBED Equation.3 . Візьмемо в кожному частинному відрізку EMBED Equation.3 точку EMBED Equation.3 . Добуток EMBED Equation.3 приблизно дорівнює ймовірності попадання неперервної випадкової величини в інтервал EMBED Equation.3 , а сума EMBED Equation.3 наближено дорівнює математичному сподіванню неперервної випадкової величини. Якщо існує границя EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то вона називається математичним сподіванням неперервної випадкової величини і позначається EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (2)
У випадку, якщо EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , причому інтеграл повинен збігатися абсолютно. Відзначимо найпростіші властивості математичного сподівання:
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ; де EMBED Equation.3 - стала величина,
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; якщо випадкові величини EMBED Equation.3 незалежні.
Дві випадкові величини EMBED Equation.3 називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша випадкова величина.
Математичне сподівання називають центром розподілу ймовірностей випадкової величини EMBED Equation.3 , випадкова величина EMBED Equation.3 називається центрованою.
5.2. Дисперсія.
Для характеристики розсіювання значень випадкової величини відносно її центра розподілу (математичного сподівання) вводять числову характеристику – дисперсію випадкової величини. Позначається EMBED Equation.3 . За означенням, дисперсією випадкової величини EMBED Equation.3 називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (3)
Дисперсія обчислюється за формулами
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (4)
для дискретних випадкових величин, і
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (5)
для неперервних випадкових величин. Тут для простоти позначено EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Найпростіші властивості:
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ; де EMBED Equation.3 - стала величина,
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ; якщо випадкові величини EMBED Equation.3 незалежні.
Практично дисперсію обчислюють за робочою формулою
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (6)
де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 для дискретних випадкових величин і
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 для неперервних випадкових величин.
Дисперсія є кількісною оцінкою відхилення випадкової величини від її математичного сподівання. Проте, оскільки дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини, то для оцінки міри розсіювання використовують характеристику EMBED Equation.3 , яка називається середнім квадратичним або стандартним відхиленням випадкової величини. Оскільки EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то і
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Розмірність середнього квадратичного відхилення співпадає з розмірністю випадкової величини.
Приклад 1. Дискретна випадкова величина EMBED Equation.3 задана рядом розподілу

Знайти EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Розв’язання. За формулою (1) EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
За формулою (6) EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 Звідки EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Приклад 2. Неперервна випадкова величина задана щільністю розподілу
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Знайти EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Розв’язання. За формулою (2) EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
5.3. Моменти.
Більш загальною формою числових характеристик випадкових величин є моменти EMBED Equation.3 го порядку. Моментом EMBED Equation.3 го порядку випадкової величини EMBED Equation.3 називається математичне сподівання EMBED Equation.3 го степеня відхилення випадкової величини від деякої сталої величини EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (7)
Якщо EMBED Equation.3 =0, то момент називається початковим EMBED Equation.3 . (8)
Очевидно, що EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Якщо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , то момент називається центральним EMBED Equation.3 . (9)
Очевидно, що EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Між центральними і початковими моментами існує простий зв’язок, зокрема
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Величина EMBED Equation.3 називається абсолютним моментом EMBED Equation.3 го порядку.
В теорії ймовірностей та її застосуваннях часто використовують інші числові характеристики.
Модою випадкової величини EMBED Equation.3 (позначається EMBED Equation.3 ) називається найімовірнісне значення випадкової величини.
Медіана ( EMBED Equation.3 ) випадкової величини – таке значення випадкової величини, відносно якого рівноймовірно одержання більшого або меншого значення випадкової величини, тобто
EMBED Equation.3 .
Медіана – це абсциса точки, в якій площа під кривою розподілу ділиться навпіл. Медіана визначається як корінь рівняння EMBED Equation.3
Коефіцієнт асиметрії (зкошеності) EMBED Equation.3 характеризує асиметрію графіка функції розподілу.
Коефіцієнт ексцесу EMBED Equation.3 характеризує гостровершинність кривої розподілу.
На практиці використовується відносна характеристика розсіювання, яка називається коефіцієнтом варіації і представляє собою середнє квадратичне відхилення у відсотках до математичного сподівання
EMBED Equation.3 %.
Коефіцієнт варіації показує, наскільки велике розсіювання порівняно із середнім значенням випадкової величини.

5.4. Числові характеристики основних законів розподілу.
Розглянемо, як обчислюються числові характеристики основних законів розподілу дискретних і неперервних випадкових величин.
Біномний розподіл.
Випадкова величина EMBED Equation.3 - число появ деякої події EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 незалежних спробах, причому EMBED Equation.3 . Нехай EMBED Equation.3 - число появ події EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 -й спробі EMBED Equation.3 . Кожна з дискретних випадкових величин EMBED Equation.3 приймає тільки два можливі значення : 0 і 1. Отже, ряд розподілу
Звідки EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Випадкова величина EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 +…+ EMBED Equation.3 . Оскільки випадкові величини EMBED Equation.3 незалежні в сукупності, то EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (10)
5.4.2. Розподіл Пуассона.
Випадкова величина Х називається розподіленою за законом Пуассона з параметром EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 пр), якщо вона приймає значення EMBED Equation.3 ,.. із ймовірностями EMBED Equation.3 , причому EMBED Equation.3 дуже мале, а EMBED Equation.3 дуже велике число. !
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (11) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Отже, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (12)
5.4.3. Геометричний розподіл.
Ряд розподілу випадкової величини Х :

Обчислимо математичне сподівання
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (13)
Для знаходження суми ряду в правій частині (13) використаємо геометричний ряд
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
сума якого EMBED Equation.3 . (14)
Диференціюємо (14) по EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Оскільки EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
то EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (15)
Знайдемо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (16)
Ряд EMBED Equation.3 домножимо на EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 і диференціюємо по EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . Отриманий ряд домножимо на EMBED Equation.3 : звідки EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (17)
Рівномірний розподіл.
Оскільки EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 то EMBED Equation.3 . (18)
EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (19)
Показниковий розподіл.
Оскільки EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 . , то EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (20)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (21)
Нормальний закон.
Щільність розподілу EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Обчислимо математичне сподівання EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Зробивши заміну EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ; отримаємо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 .
Інтеграл EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ( це інтеграл Пуассона), інтеграл EMBED Equation.3 =0, як інтеграл від непарної функції. Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (22)
Обчислимо дисперсію EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Заміна EMBED Equation.3 зводить інтеграл до такого EMBED Equation.3 , який інтегруємо частинами
EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Таким чином, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (23)
Отже, ми вияснили ймовірнісний зміст параметрів нормального розподілу
EMBED Equation.3 - це математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини, а
EMBED Equation.3 - її середнє квадратичне відхилення.
Ймовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного сподівання. Правило трьох сигм.
Нехай EMBED Equation.3 - нормально розподілена випадкова величина з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Ймовірність того, що її значення відхиляться від математичного сподівання EMBED Equation.3 не більше, ніж на деяке число EMBED Equation.3 , обчислюється за формулою
EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 . (24)
Дійсно, переписавши нерівність EMBED Equation.3 у вигляді EMBED Equation.3 і врахувавши формулу для ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини в деякий інтервал EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
отримаємо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 .
Покладемо у формулі (24) EMBED Equation.3 , тоді
EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 =0,9973. (25)
Формула (25) виражає так зване правило трьох сигм, зміст якого такий: у 99,73% випадків значення нормально розподіленої випадкової величини буде відрізнятися від свого середнього (математичного сподівання) не більше, ніж на потроєне значення свого середнього квадратичного.