§3. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі. Граничні теореми.
В численних застосуваннях теорії ймовірностей часто зустрічається схема незалежних спроб (або схема Бернуллі).
3.1. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі.
Нехай проводиться скінченне число EMBED Equation.3 спроб, в результаті яких може з´явитися подія EMBED Equation.3 з певною ймовірністю EMBED Equation.3 , причому ймовірність EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 не залежить від наслідків інших спроб. Такі спроби назвемо незалежними відносно події EMBED Equation.3 .
Обчислимо ймовірність того, що в результаті проведення EMBED Equation.3 незалежних спроб подія EMBED Equation.3 наступить рівно EMBED Equation.3 разів, якщо в кожній із спроб вона наступає із сталою ймовірністю EMBED Equation.3 або не наступає з ймовірністю EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Позначимо шукану ймовірність EMBED Equation.3 , це означає, що в EMBED Equation.3 спробах подія EMBED Equation.3 з´явиться EMBED Equation.3 разів. Зауважимо, що тут не вимага-ється, щоб подія EMBED Equation.3 повторилася EMBED Equation.3 разів в певній послідовності. Для розв´язання поставленої задачі при великих значеннях EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 безпосереднє застосування теорем додавання і множення ймовірностей приводить до громіздких розрахунків, тому зручніше користуватися формулою Бернуллі, до виведення якої ми приступимо.
Ймовірність того, що подія EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 спробах з´явиться рівно EMBED Equation.3 разів, а в решті EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 спроб з´явиться протилежна подія EMBED Equation.3 , за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює EMBED Equation.3 . При цьому подія EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 спробах може з´явитися рівно EMBED Equation.3 разів в різних комбінаціях, число яких EMBED Equation.3 . Оскільки всі комбінації подій є подіями несумісними і нам байдуже, в якій послідовності з´явиться подія EMBED Equation.3 або подія EMBED Equation.3 , то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей несумісних подій, отримаємо формулу Бернуллі
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (1)
Ймовірності EMBED Equation.3 називаються біномними , оскільки вони мають відношення до формули бінома Ньютона
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 +…+ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 +…+ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 , або
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 +…+ EMBED Equation.3 +…+ EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 =1.
Приклад 1. Гральний кубик підкидають тричі. Яка ймовірність того, що при цьому двічі випаде 6 очок?
Розв’язання. Нехай подія EMBED Equation.3 : при одному кидку випаде 6 очок. Ймовірність EMBED Equation.3 , відповідно EMBED Equation.3 . Тут EMBED Equation.3 Отже, за формулою (1)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Цей результат потрібно трактувати так: якщо такий дослід проводити багато разів, то в середньому в 5 випадках із 72 грань з 6 очками випаде рівно два рази.
3.2. Найімовірніше число появ події.
Найімовірнішим числом EMBED Equation.3 появ події EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 незалежних спробах називається число, для якого ймовірність EMBED Equation.3 перевищує або принаймні не менша ймовірності кожного з решти можливих наслідків спроб.
Нехай цьому числу відповідає ймовірність
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (2)
Тоді, за означенням числа EMBED Equation.3 , ймовірності EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 не повинні перевищувати EMBED Equation.3 , тобто повинні виконуватися умови
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (3)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (4)
Із нерівності (3) маємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
або після спрощення EMBED Equation.3 , звідки
EMBED Equation.3 . (5)
Аналогічно із (4) маємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
або EMBED Equation.3 , звідки
EMBED Equation.3 . (6)
Об’єднавши нерівності (5) і (6), отримаємо подвійну нерівність
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (7)
з якої і визначається найімовірніше число появ події.
Зауважимо, що довжина інтервала (7) дорівнює 1: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Тому, якщо межі цього інтервала - дробові числа, то отримаємо тільки одне значення EMBED Equation.3 , якщо ж межі є цілими числами, то отримаємо два значення найімовірнішого числа
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Приклад 2. Підприємство випускає 85% продукції вищого гатунку. Знайти найімовірніше число виробів вищого гатунку в партії із 150 виробів.
Розв’язання. Тут EMBED Equation.3 Із нерівності (7) маємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
або EMBED Equation.3 . Звідки EMBED Equation.3
Варто відзначити особливу роль числа EMBED Equation.3 - в певному сенсі його можна трактувати як середнє число появ події в EMBED Equation.3 спробах.
Для великих значень EMBED Equation.3 безпосереднє застосування формули Бернуллі є нераціональним, тому для обчислення ймовірності використовують інші, так звані асимптотичні, формули, що базуються на граничних теоремах.
3.3. Локальна теорема Муавра – Лапласа.
Якщо ймовірність EMBED Equation.3 появи події EMBED Equation.3 в кожній спробі стала і така, що EMBED Equation.3 , то ймовірність числа EMBED Equation.3 появ події в EMBED Equation.3 спробах обчислюється за формулою
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (8)
де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Функція EMBED Equation.3 - парна, для неї складені таблиці значень при EMBED Equation.3 .
Приклад 3. Яка ймовірність того, що подія EMBED Equation.3 наступить рівно 80 разів в 400 спробах, якщо ймовірність появи події в кожній спробі EMBED Equation.3
Розв’язання. Тут EMBED Equation.3 Обчислимо EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =8. EMBED Equation.3 За таблицею значень функції EMBED Equation.3 знаходимо EMBED Equation.3 Отже, EMBED Equation.3 Підрахунок за формулою Бернуллі дає EMBED Equation.3
3.4. Інтегральна теорема Муавра – Лапласа.
Якщо ймовірність EMBED Equation.3 появи події EMBED Equation.3 в кожній спробі стала і така, що EMBED Equation.3 , то ймовірність EMBED Equation.3 того, що подія EMBED Equation.3 з’явиться в EMBED Equation.3 спробах від EMBED Equation.3 до EMBED Equation.3 разів, обчислюється за формулою
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (9)
або EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (10)
де EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - функція Лапласа, вона непарна : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , протабульована і для значень EMBED Equation.3 приймають EMBED Equation.3 0,5.
Дійсно, розглянемо нерівність EMBED Equation.3 , або після очевидних перетворень
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Звідки EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Зауважимо, що формули (8)-(10) можна застосовувати , якщо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Приклад 4. На підприємстві ймовірність випуску бракованих виробів дорівнює EMBED Equation.3 Перевіряють 500 виробів. Яка ймовірність того, що серед них бракованих буде від 10 до 20?
Розв’язання. Тут EMBED Equation.3 Обчислимо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Отже, за формулою (10) маємо EMBED Equation.3
3.5. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності.
Нехай провели EMBED Equation.3 незалежних спроб, в результаті яких подія EMBED Equation.3 наступила рівно EMBED Equation.3 разів, тобто відносна частота появ події EMBED Equation.3 . В кожній із спроб подія наступає із сталою ймовірністю EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ). Потрібно обчислити ймовірність того, що відхилення відносної частоти появ події від ймовірності EMBED Equation.3 не перевищить деякого заданого числа EMBED Equation.3 , тобто ймовірність виконання нерівності EMBED Equation.3 . (11) Позначимо шукану ймовірність EMBED Equation.3 .
Перепишемо нерівність (11) EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Домножимо кожну з частин останньої нерівності на EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 .
Тоді за формулою (9)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (12)
3.6. Теорема Пуассона.
Точність формул (8)-(10) знижується, коли EMBED Equation.3 , тому для оцінки ймовірностей масових, але рідкісних ( EMBED Equation.3 ) подій використовують теорему Пуассона.
Якщо в серії незалежних спроб EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , але так, що добуток EMBED Equation.3 залишається сталим, то ймовірність EMBED Equation.3 обчислюється за формулою
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (13)
Формула (13) називається формулою Пуассона.

Дійсно, з формули Бернуллі (1) маємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3
Перейшовши до границі, коли EMBED Equation.3 , отримаємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Для функції EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 існують таблиці значень.
Якщо необхідно за умов теореми Пуассона обчислити ймовірність EMBED Equation.3 , то використовують другу формулу Пуассона
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (14)
Приклад 5. Верстат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь бракована, дорівнює 0,01. Яка ймовірність того, що серед 200 деталей виявиться 4 бракованих?
Розв’язання. Тут EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
За формулою (13) отримаємо EMBED Equation.3
Приклад 6. На телефонну станцію протягом однієї години поступає в середньому 30 викликів. Яка ймовірність того, що протягом хвилини поступить не більше двох викликів?
Розв’язання. Враховуючи, що 1 год=60 хв, EMBED Equation.3 . Шукана ймовірність EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 0,98.