EMBED Equation.3 §1. Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття.
Теорія ймовірностей – це математична наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ. Варто відзначити, що математичний підхід до вивчення випадкових явищ намагалися знайти ще в стародавньому Китаї, Римі, Греції. В середні віки намагалися застосувати точні методи в задачах, пов’язаних з азартними іграми. Проте початки теорії ймовірностей як математичної науки були закладені в XVII ст. в працях Б.Паскаля, П.Ферма, Х.Гюйгенса, Я. Бернуллі. Пізніше, у XVIII-XIXст. розвиток теорії ймовірностей був викликаний задачами теорії стрільби, теорії похибок, проблемами демографії, тощо. Значного розвитку теорія ймовірностей досягла в XIX-XX ст .завдяки працям А.Муавра, П.Лапласа, К.Гаусса, С.Пуассона, П.Чебишова, А.Маркова, А.Колмогорова та інших вчених.
В наш час методи теорії ймовірностей широко застосовуються в теорії надійності, теорії масового обслуговування, теорії інформації, статистичній фізиці, математичній статистиці та інших галузях знань.
Основними поняттями теорії ймовірностей є поняття:
стохастичного експерименту,
випадкової події,
ймовірності випадкової події.
Стохастичним називається експеримент, результат якого не можна передбачити наперед.
Стохастичниму експерименту ставиться у відповідність деяка множина EMBED Equation.3 , точки (елементи) якої відображають найбільш повну інформацію про можливі результати цього експерименту.
Множина EMBED Equation.3 називається простором елементарних подій, а її точки (елементи) EMBED Equation.3 - елементарними подіями. Множина EMBED Equation.3 може бути дискретною (скінченною або зчисленною) або неперервною.
Приклад 1. Проводиться стохастичний експеримент – монету підкидають один раз.
Очевидно, результатом цього експерименту будуть дві елементарні події: поява герба “Г”, або поява цифри “Ц”. Отже, тут простір елементарних подій EMBED Equation.3 ={Г, Ц}.
Приклад 2. Проводиться стохастичний експеримент – монету підкидають два рази.
Очевидно, що EMBED Equation.3 ={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}.
Приклад 3. Проводиться стохастичний експеримент – гральний кубик підкидають один раз. Результатом цього експерименту є простір елементарних подій EMBED Equation.3 ={ EMBED Equation.3 },
де EMBED Equation.3 - елементарна подія: “кількість очок на верхній грані кубика”.
У наведених прикладах простір EMBED Equation.3 є скінченною множиною. Проте в багатьох задачах доводиться мати справу з експериментами, які мають нескінченну кількість можливих наслідків.
Проводячи експеримент, нас буде цікавити не те , який конкретно наслідок матиме місце в результаті спроби, а лише те, чи буде належати цей наслідок тій чи іншій множині всіх наслідків, можливих в результаті проведення даного експерименту.
Класифікація подій та дії над ними.
Підмножини EMBED Equation.3 , для яких за умовами експерименту можлива відповідь одного з двох типів: “наслідок EMBED Equation.3 “ або “наслідок EMBED Equation.3 ” називаються випадковими подіями.
Зокрема, в прикладі 2 подія А : “герб з’явиться принаймні один раз”. Підмножина
А={ГГ, ГЦ, ЦГ} містить три елементи з множини EMBED Equation.3 , тобто подія А складається з трьох елементарних подій.
В прикладі 3 подія А: “при підкиданні кубика випаде парне число очок” – А={ EMBED Equation.3 }.
Як бачимо, випадкова подія є підмножиною А простору елементарних подій EMBED Equation.3 .
Множина EMBED Equation.3 , яка трактується як подія, характерна тим, що в результаті експерименту вона обов’язково відбувається при виконанні певної сукупності умов, називається вірогідною подією.
Підмножиною довільної множини EMBED Equation.3 вважається порожня множина Ø, яка не містить жодної точки з EMBED Equation.3 , тобто така подія в експерименті не відбувається , вона називається неможливою подією і позначається Ø.
Подія EMBED Equation.3 (читається “не А”) називається протилежною події А. Якщо в прикладі 1 подія А – поява герба, то подія EMBED Equation.3 - поява цифри.
Нехай А і В – випадкові події. Якщо А EMBED Equation.3 В (тобто кожний елемент А міститься в В), то це означає, що подія А тягне за собою подію В. Іншими словами, якщо подія А відбувається, то подія В теж відбувається, тобто подія В є наслідком події А. Якщо А EMBED Equation.3 В і В EMBED Equation.3 А, то події А і В називаються рівносильними (еквівалентними): А=В.
Об’єднанням (сумою) двох подій А і В називається подія А EMBED Equation.3 В (або А+В), яка полягає в тому, що відбулася принаймні одна з подій А або В.
Перетином (суміщенням або добутком) двох подій називається подія А EMBED Equation.3 (або А·В), яка полягає в тому, що відбулася і подія А і подія В.
Різницею А\В називається подія, яка полягає в тому, що відбулася подія А, а В не відбулася.
Доповнення множини А позначається EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 \А, де EMBED Equation.3 - подія, протилежна події А.
Операції над подіями зручно ілюструвати з допомогою діаграм Ейлера-В’єнна.
Події А і В називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої, тобто
А EMBED Equation.3 В EMBED Equation.3 Ø. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Наприклад, нехай подія А: “поява туза при вийманні карти з однієї колоди”, подія В: “поява туза при вийманні карти з іншої колоди”. Ці події сумісні.
Події А і В називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої, тобто
А EMBED Equation.3 В= Ø.
Наприклад, нехай подія А: “неробочий хід генератора”, подія В: “коротке замикання генератора”. Ці події несумісні.
Події EMBED Equation.3 називаються попарно несумісними, якщо EMBED Equation.3 Ø ( EMBED Equation.3 ).
Повною групою несумісних подій називається сукупність (скінченна або нескінченна) попарно несумісних подій, причому в результаті експерименту з’явиться тільки одна з цих подій, тобто
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = Ø ( EMBED Equation.3 ), EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Пара взаємно протилежних подій EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 утворює повну групу подій.
Дійсно, EMBED Equation.3 = Ø, EMBED Equation.3 .
Операції об’єднання і перетину подій мають очевидні властивості:
EMBED Equation.3 . комутативність EMBED Equation.3 , А EMBED Equation.3 В=В EMBED Equation.3 А;
EMBED Equation.3 . асоціативність EMBED Equation.3 , (А EMBED Equation.3 В) EMBED Equation.3 С=А EMBED Equation.3 (В EMBED Equation.3 С);
EMBED Equation.3 . дистрибутивність EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
Частота випадкової події.
Розглянемо деякий стохастичний експеримент, який можна повторити скільки завгодно разів, і подію А, яка спостерігається в цьому експерименті. Нехай ми повторили експеримент n разів, і EMBED Equation.3 - число спроб, в яких відбулася подія А.
Відношення EMBED Equation.3 називається частотою події А в даній серії експериментів.
Частота має такі властивості:
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 (Ø)=0.
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 , де А, В – дві несумісні події.
Частота може бути обчислена після того, як проведена серія експериментів. Якщо проведемо іншу серію експериментів, або збільшимо n, то частота, взагалі кажучи, зміниться.
1.3. Статистичне означення ймовірності.
Досвід показує, що для досить великих значень n частота зберігає майже сталу величину в даному експерименті. В цьому полягає стійкість частот для великих n.
Границя частоти при необмеженому збільшенні числа спроб n називається ймовірністю події А
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Таке означення ймовірності називається статистичним. Для підрахунку ймовірності воно не використовується, оскільки для цього потрібно провести досить багато експериментів, що не раціонально і економічно невигідно.
1.4. Класичне означення ймовірності.
Класичне означення ймовірності зводить поняття ймовірності до поняття рівноможливості елементарних подій, яке вважається таким, що не має формального означення. Нехай EMBED Equation.3
складається з n елементарних подій EMBED Equation.3 , а подія А визначається m елементарними несумісними рівноможливими подіями. Тоді
EMBED Equation.3 ,
тобто ймовірністю випадкової події А називається відношення числа елементарних подій (спроб) m , сприятливих події А, до кількості всіх можливих елементарних подій (числа спроб) n в даному експерименті.
При цьому сам експеримент не проводиться, а кожна елементарна рівноможлива подія EMBED Equation.3
розглядається як така, що відбувається з ймовірністю EMBED Equation.3 . Простір елементарних подій вважається скінченним.
Основні властивості ймовірності:
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 (Ø)=0.
Повернемось знову до прикладу 2. Якщо подія А:”герб з’явиться принаймні один раз”, то сприятливими для неї будуть три елементарні події. Всього в даному експерименті може реалізуватися чотири елементарні події. Отже, EMBED Equation.3 .
В більш складних випадках для обчислення ймовірності використовують методи комбінаторики.
Приклад 4. Із колоди з 36 карт навмання виймають 3 карти. Яка ймовірність того, що серед них буде точно один туз?
Три карти з 36 можна вибрати EMBED Equation.3 способами. Одного туза можемо вибрати EMBED Equation.3 способами, при цьому дві інші карти можна вибрати EMBED Equation.3 способами. Отже, m= EMBED Equation.3 · EMBED Equation.3 , n= EMBED Equation.3 ,
і EMBED Equation.3

1.5. Геометрична ймовірність.
Якщо множина EMBED Equation.3 нескінченна, то класичне означення ймовірності не застосовується. В таких випадках користуються іншим методом обчислення ймовірності, який теж базується на понятті рівноможливості подій. Такий метод застосовується в задачах – випадкове кидання точки на скінченний відрізок прямої, частину площини або простору. Звідси і сама назва методу – геометрична ймовірність.
Обмежимося двовимірним випадком. Нехай на площині задана деяка область EMBED Equation.3 , площа якої EMBED Equation.3 , і в ній міститься інша область EMBED Equation.3 площею EMBED Equation.3 . В область EMBED Equation.3 навмання кидають точку. Треба обчислити ймовірність того, що точка попаде в область EMBED Equation.3 . Припустимо, що точка може попасти в довільну точку області EMBED Equation.3 і ймовірність попадання в якусь частину області EMBED Equation.3 пропорційна площі цієї частини. В цьому випадку ймовірність попадання в область EMBED Equation.3 дорівнює
EMBED Equation.3 ,
тобто ймовірність попадання випадкової точки всередину деякої області EMBED Equation.3 визначається як відношення розміру цієї області до розміру всієї області EMBED Equation.3 , в яку може попасти дана точка.
В одновимірному випадку під розміром області розуміємо її довжину (довжину відрізка), в тривимірному – об’єм області.
1.6. Поняття про аксіоматичне означення ймовірності.
Сучасна теорія ймовірностей, як строга математична наука, будується на аксіоматичному означенні ймовірності, запропонованому А. Колмогоровим. Ми дамо тільки поняття про аксіоматичну побудову, оскільки при використанні цього підходу необхідні знання з метричної теорії функцій і теорії множин, що виходить за рамки програми.
Отже, за Колмогоровим, задається простір елементарних подій EMBED Equation.3 – множина EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 -алгебра EMBED Equation.3 підмножин множини EMBED Equation.3 . Ці підмножини називаються випадковими подіями. Довільній події А ставиться у відповідність невід’ємне число EMBED Equation.3 - ймовірність події А. Трійка EMBED Equation.3 називається ймовірнісним простором.
Аксіоми, які визначають EMBED Equation.3 -алгебру множини EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 , Ø EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
Звідси випливає, що EMBED Equation.3 .
Ймовірність EMBED Equation.3 як функція множини А задовольняє аксіоми:
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 - попарно несумісні події;
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
Аксіома EMBED Equation.3 – це розширена аксіома додавання, з неї випливає, що EMBED Equation.3 (Ø)=0.
Дійсно, оскільки Ø =Ø EMBED Equation.3 Ø EMBED Equation.3 ….., то EMBED Equation.3 (Ø)= EMBED Equation.3 (Ø)+ EMBED Equation.3 (Ø)…. Звідки EMBED Equation.3 (Ø)=0.

§2. Основні теореми теорії ймовірностей.
Ми в подальшому викладі будемо користуватися поняттями, що базуються на класичному означенні ймовірності. Розглянемо, як обчислити ймовірність суми двох несумісних подій. При аксіоматичному підході (див. §1, п.1.6) це приймається як аксіома.
2.1.Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.
Якщо події А і В несумісні (А EMBED Equation.3 В= Ø), причому відомі їх ймовірності Р(А) і Р(В), то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей
EMBED Equation.3 . (1)
Дійсно, нехай n – число всіх елементарних подій в деякому досліді, EMBED Equation.3 - число елементарних подій, сприятливих події А, EMBED Equation.3 - число елементарних подій, сприятливих події В. Тоді появі події EMBED Equation.3 сприяють EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 елементарних подій. Отже , за класичним означенням ймовірності
EMBED Equation.3 .
Наслідок 1. Ймовірність протилежної події обчислюється за формулою EMBED Equation.3 . (2)
Дійсно, оскільки EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 . З іншого боку, EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 .
Наслідок 2. EMBED Equation.3 , (3)
де EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) – попарно несумісні події.
Наслідок 3. Якщо події EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) утворюють повну групу попарно несумісних подій, то
EMBED Equation.3 . (4)
Дійсно, за означенням повної групи попарно несумісних подій маємо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , але EMBED Equation.3 . Отже, за наслідком 2 маємо формулу (4).
Приклад 1. В партії з 20 деталей є 16 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна.
Розв’язання. Нехай подія EMBED Equation.3 : виявиться точно одна стандартна; подія EMBED Equation.3 : виявиться дві стандартні; подія EMBED Equation.3 : виявиться три стандартні деталі. Ці події попарно несумісні.
Нехай подія EMBED Equation.3 : серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна. Отже, EMBED Equation.3 і за формулою (3) маємо
EMBED Equation.3 .
Обчислимо ймовірності подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 .
Інший спосіб. При розв’язуванні задач часто буває зручно переходити до протилежної події. Так, якщо подія EMBED Equation.3 : не виявиться жодної стандартної деталі, то EMBED Equation.3 є протилежною до події EMBED Equation.3 , і події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 утворюють повну групу попарно несумісних подій. Отже, за формулою (2)
EMBED Equation.3 .
Обчисливши ймовірність EMBED Equation.3 , отримаємо EMBED Equation.3 .
2.2. Умовна ймовірність.
Вище ми говорили, що в основі означення ймовірності випадкової події лежить сукупність деяких певних умов. Якщо ж ніяких інших обмежень, крім цих умов, при обчисленні ймовірності EMBED Equation.3 не накладається, то така ймовірність називається безумовною. Якщо ж поява деякої події EMBED Equation.3 відбувається за умови, що відбулась інша подія EMBED Equation.3 , причому EMBED Equation.3 , то ймовірність появи події EMBED Equation.3 називають умовною і обчислюють за формулою
EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ). (5)
Деколи використовують таке позначення умовної ймовірності EMBED Equation.3 .
Приклад 2. Підкидають гральний кубик. Нехай подія EMBED Equation.3 (випала парна кількість очок), подія EMBED Equation.3 (випала кількість очок, більше трьох). Між цими подіями є зв’язок. Дійсно, EMBED Equation.3 зводиться до трьох елементарних подій: випало 4, 5, 6 очок. Якщо подія EMBED Equation.3 наступила, то події EMBED Equation.3 сприятимуть дві елементарні події: випало 4 або 6 очок.
Отже, EMBED Equation.3 .
Умовна ймовірність служить характеристикою залежності однієї події від іншої.
Дві події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 називаються залежними, якщо
EMBED Equation.3 , (6)
і незалежними, якщо EMBED Equation.3 . (7)
2.3. Теорема множення ймовірностей залежних подій.
Розглянемо дві залежні події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , причому відомі ймовірності EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Ймовірність суміщення цих подій обчислюється за теоремою:
Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчисленої за умови, що перша відбулася
EMBED Equation.3 (8)
або EMBED Equation.3 .
Дійсно, за означенням умовної ймовірності із співвідношення (5) маємо
EMBED Equation.3 .
Оскільки EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 .
Наслідок. Якщо події EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), залежні , то
EMBED Equation.3 , (9)
тобто ймовірність сумісної появи декількох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх решти, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події відбулися.
Зокрема, для трьох залежних подій А, В, С маємо
EMBED Equation.3 .
2.4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.
Ця теорема є наслідком попередньої. Дійсно, якщо А , В - незалежні події , то, враховуючи (7), маємо EMBED Equation.3 . (10)

Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні.
Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С.
Декілька подій називаються незалежними в сукупності, якщо незалежні кожні дві з них і незалежні кожна з них і всі можливі добутки решти подій.
Наприклад, якщо події А, В, С незалежні в сукупності, то незалежні події А і В, А і С, В і С,
А і В EMBED Equation.3 С, В і EMBED Equation.3 С, EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Варто зауважити, якщо декілька подій попарно незалежні, то це ще не означає, що вони незалежні в сукупності.
Відповідно для EMBED Equation.3 незалежних в сукупності подій EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) теорема множення ймовірностей записується EMBED Equation.3 . (11)
Приклад 3. Ймовірності появи кожної з двох незалежних подій EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 задані EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Знайти ймовірність появи тільки однієї з цих подій.
Розв’язання. Введемо позначення EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Нехай подія EMBED Equation.3 : поява тільки події EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
подія EMBED Equation.3 : поява тільки події EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 несумісні, отже EMBED Equation.3 .
Події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 незалежні, отже незалежні і події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тому
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 .
2.5. Наслідки з теорем додавання і множення ймовірностей.
Ймовірність появи принаймні однієї події.
Нехай в результаті експерименту можуть з’явитися події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , незалежні в сукупності, причому відомі ймовірності їх появи EMBED Equation.3 і ймовірності не появи EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ) , ( EMBED Equation.3 ).
Нехай EMBED Equation.3 - подія, яка полягає в появі принаймні однієї з подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тобото поява або однієї, або двох, або трьох подій
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ).
Подія EMBED Equation.3 (не появилася жодна з подій) є протилежною до події EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )=1.
Звідки EMBED Equation.3 =1- EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), оскільки події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 незалежні в сукупності, або інакше EMBED Equation.3 .
Для EMBED Equation.3 подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,…, EMBED Equation.3 маємо
EMBED Equation.3 . (12)
Зокрема, якщо EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 і
EMBED Equation.3 . (13)
Приклад 4. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець попаде в “десятку”, дорівнює EMBED Equation.3 0,6. Скільки пострілів він повинен зробити, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він попав в “десятку” принаймні один раз?
Розв’язання. За умовами задачі EMBED Equation.3 0,6: EMBED Equation.3 0,4. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . За формулою (13) EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 . Остання нерівність виконується для EMBED Equation.3 . Отже, стрілець повинен зробити не менше двох пострілів.
2.5.2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.
Нехай дві події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 сумісні, причому відомі ймовірності цих подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 та ймовірність їх сумісної появи EMBED Equation.3 .
Ймовірність появи принаймні однієї з двох сумісних подій EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи
EMBED Equation.3 . (14)
Дійсно, оскільки події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 сумісні , то подія EMBED Equation.3 наступить, якщо наступить одна з трьох несумісних подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 =( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ).
Подія EMBED Equation.3 наступить, якщо відбудеться одна з двох несумісних подій EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Аналогічно, подія EMBED Equation.3 наступить, якщо відбудеться одна з двох несумісних подій EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 = ( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ); EMBED Equation.3 = ( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )
і за теоремою додавання ймовірностей сумісних подій (формула (1)) маємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )= EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )+ EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ).
Таким чином,
EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Для трьох сумісних подій EMBED Equation.3 формула (14) має вигляд
EMBED Equation.3 . (15)
2.5.3. Формула повної ймовірності.
Нехай EMBED Equation.3 - несумісні події, які утворюють повну групу (так звані гіпотези), причому відомі їх ймовірності EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Деяка подія EMBED Equation.3 може наступити разом з однією EMBED Equation.3 , причому відомі умовні ймовірності EMBED Equation.3 .
Ймовірність появи події EMBED Equation.3 , яка може відбутися разом з однією з гіпотез EMBED Equation.3 , дорівнює сумі добутків ймовірностей гіпотез на відповідні умовні ймовірності події EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (16)
Це так звана формула повної ймовірності.
Дійсно, подія EMBED Equation.3 наступає разом з однією з подій EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 .
За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо
EMBED Equation.3 ,
а використовуючи теорему множення ймовірностей залежних подій EMBED Equation.3 , отримаємо формулу (16).
2.5.4. Формули Байєса.
Ймовірності EMBED Equation.3 відомі до проведення досліду (так звані апріорні ймовірності). Як зміняться ймовірності гіпотез після проведення досліду? Тобто як обчислити ймовірності гіпотез
EMBED Equation.3 ? Відповідь на це питання дає теорема гіпотез:
Ймовірності гіпотез після проведення досліду, тобто коли відбулася подія EMBED Equation.3 , обчислюються за формулою
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (17)
Це формули Байєса.
Дійсно, за теоремою множення ймовірностей залежних подій маємо
EMBED Equation.3 .
Звідки отримаємо формули (17). Ймовірності EMBED Equation.3 називаються апостеріорними, тобто такими, що змінилися після проведення досліду.
Приклад 5. Два стрільці стріляють по мішені незалежно один від одного по одному разу. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця EMBED Equation.3 ; для другого - EMBED Equation.3 . В мішені виявлено одне влучення. Знайти ймовірність того, що влучив перший стрілець.
Розв’язання. Подія EMBED Equation.3 : в мішені виявлено одне влучення. Розглянемо такі гіпотези:
EMBED Equation.3 : обидва не влучили; EMBED Equation.3 : обидва влучили; EMBED Equation.3 - перший влучив, другий не влучив; EMBED Equation.3 - другий влучив, перший не влучив.
Обчислимо ймовірності цих гіпотез: EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Контроль: EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 =0,08+0,48+0,12+0,32=1.
Оскільки умовні ймовірності EMBED Equation.3 =0, EMBED Equation.3 =0, EMBED Equation.3 =1, EMBED Equation.3 =1, то за формулою повної ймовірності (16) EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =0,44.
Отже, шукана ймовірність EMBED Equation.3 .