§10. Закон розподілу функції випадкових величин.
В попередньому параграфі ми розглядали задачі знаходження числових характеристик функцій випадкових величин без знаходження законів їх розподілу. Проте в багатьох застосуваннях, зокрема при визначенні ймовірності попадання цих функцій в певні області їх можливих значень, потрібно знати закони розподілу функцій. Тому при розв’язуванні задач такого типу необхідно знати закони розподілу випадкових величин, що фігурують в постановці задачі. Звичайно при цьому закон розподілу випадкового аргументу або системи випадкових аргументів є відомим, так само як і відома функціональна залежність.
Отже, виникає така задача: задана система випадкових аргументів (X1, X2, … , Xn), закон розподілу якої відомий. Відома випадкова величина Y
EMBED Equation.3 . (1)
як функція випадкових аргументів (X1,…, Xn).Потрібно визначити закон розподілу випадкової величини Y.
1.Закон розподілу функції випадкової величини.
Спочатку розглянемо простішу задачу: про закон розподілу функції одного випадкового аргументу
EMBED Equation.3 (2)
Нехай: – X – дискретна випадкова величина, задана рядом розподілу

Тоді EMBED Equation.3 – теж дискретна випадкова величина, яка приймає можливі значення
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ..., EMBED Equation.3 .
Тут розрізняють два випадки: а) коли всі значення EMBED Equation.3 різні (функція EMBED Equation.3 монотонна),
б) коли серед EMBED Equation.3 є значення, які співпадають (функція EMBED Equation.3 немонотонна).
а) Якщо всі значення EMBED Equation.3 різні, то для кожного i=1,2, ...,n події
EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 тотожні.
Отже, EMBED Equation.3 і шуканий закон розподілу функції має вигляд
де EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ); EMBED Equation.3 .
Приклад 1. Задано закон розподілу випадкового аргументу EMBED Equation.3
Знайти закон розподілу функції EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Для заданої множини значень EMBED Equation.3 функція EMBED Equation.3 приймає значення: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Отже, закон розподілу функції має вигляд
б) Якщо серед чисел EMBED Equation.3 є однакові, то кожній групі однакових чисел EMBED Equation.3 відводимо в таблиці один стовпчик, а відповідні ймовірності додаємо.
Приклад 2. Задано закон розподілу випадкового аргументу EMBED Equation.3
Знайти закон розподілу функції EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Можливі значення функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Маємо три різні числові значення y=0, y=1, y=4, причому два останні повторюються, тому додаємо їх відповідні ймовірності.
Отже, закон розподілу функції EMBED Equation.3
Нехай X – неперервна випадкова величина, щільність розподілу якої відома: f(x). Знайдемо щільність розподілу g(y) випадкової величини EMBED Equation.3 .
Припустимо, що функція EMBED Equation.3 монотонно зростає, неперервна і диференційовна на EMBED Equation.3 .
Функція розподілу EMBED Equation.3 випадкової величини EMBED Equation.3 визначається за формулою
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (3)
Якщо функція EMBED Equation.3 монотонно зростає, то подія EMBED Equation.3 еквівалентна події ( EMBED Equation.3 ), де EMBED Equation.3 - функція, обернена функції EMBED Equation.3 , яка теж монотонно зростаюча, неперервна і диференційовна.
Отже, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (4)
Диференціюючи цей вираз по EMBED Equation.3 , отримаємо щільність розподілу випадкової величини EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (5)
Якщо функція EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 монотонно спадає, то подія EMBED Equation.3 еквівалентна події ( EMBED Equation.3 ).
Отже, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (6)
і EMBED Equation.3 =- EMBED Equation.3 . (7)
Оскільки щільність розподілу не може бути від‘ємною, то формули (5) і (7) можна об‘єднати в одну
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (8)
Отже, щільність розподілу функції (2) визначається формулою (8).
Зауваження. Якщо функція EMBED Equation.3 немонотонна, тобто обернена функція EMBED Equation.3 неоднозначна, то весь інтервал зміни значень функції розбиваємо на інтервали монотонності і для знаходження EMBED Equation.3 підсумовуємо за формулою (8) по всіх інтервалах монотонності.
Приклад 3. Випадкова величина X розподілена нормально з параметрами EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Знайти закон розподілу функції EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Функція EMBED Equation.3 монотонна на EMBED Equation.3 . Обернена до неї функція EMBED Equation.3 .
Знаходимо похідну EMBED Equation.3 .
Отже, за формулою (8) маємо
EMBED Equation.3 .
Приклад 4. Випадкова величина X розподілена нормально з параметрами EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
Знайти закон розподілу функції EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Обернена функція EMBED Equation.3 неоднозначна:
EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
1.2. Закон розподілу лінійної функції.
Нехай EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 – невипадкові величини. Оскільки EMBED Equation.3 монотонна функція, то обернена функція EMBED Equation.3 теж монотонна. Маємо EMBED Equation.3 і за формулою (8)
EMBED Equation.3 . (9)
Вираз (9) показує, що лінійне перетворення випадкової величини X тотожне зміні масштабу зображення кривої EMBED Equation.3 і переносу початку координат в нову точку. Вигляд кривої EMBED Equation.3 при такому перетворенні не змінюється.
Покажемо, що лінійна функція EMBED Equation.3 розподілена нормально, якщо аргумент EMBED Equation.3 - нормально розподілена випадкова величина: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Припустивши EMBED Equation.3 , знайдемо похідну EMBED Equation.3 . За формулою (9) запишемо щільність розподілу функції
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (10)
Таким чином, лінійна функція теж розподілена нормально з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
2. Закон розподілу функції двох випадкових величин.
Задача визначення закону розподілу функції декількох випадкових аргументів є складнішою. Тому розглянемо випадок функції двох аргументів. Нехай задана система двох неперервних випадкових величин EMBED Equation.3 , щільність розподілу якої EMBED Equation.3 відома, і випадкова величина EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - функція. Потрібно знайти закон розподілу величини EMBED Equation.3 . Геометрично функція EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 зображається деякою поверхнею. Знайдемо функцію розподілу величини EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (11)
Проведемо площину, паралельну площині EMBED Equation.3 , на відстані EMBED Equation.3 від неї. Ця площина перетне поверхню EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 по деякій кривій EMBED Equation.3 . Спроектуємо криву EMBED Equation.3 на площину EMBED Equation.3 . Ця проекція, рівняння якої EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , розділить площину EMBED Equation.3 на дві області - для однієї висота поверхні над площиною EMBED Equation.3 буде менше EMBED Equation.3 , це область EMBED Equation.3 ; а для іншої – більше EMBED Equation.3 . Щоб виконувалась рівність (11), випадкова точка EMBED Equation.3 повинна попасти в область EMBED Equation.3 , яка визначається нерівністю EMBED Equation.3 . Отже,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (12)
Тут EMBED Equation.3 входить неявно, через границі інтегрування, Диференціюючи вираз (12) по EMBED Equation.3 , отримаємо щільність розподілу величини EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (13)
На практиці достатньо побудувати на площині EMBED Equation.3 криву, рівняння якої EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , і вияснити, по який бік цієї кривої EMBED Equation.3 , а по який EMBED Equation.3 , і інтегрувати по області EMBED Equation.3 , для якої EMBED Equation.3 .
Приклад 5. Знайти щільність розподілу EMBED Equation.3 функції EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Зафіксувавши деяке значення EMBED Equation.3 , побудуємо на площині EMBED Equation.3 криву, рівняння якої EMBED Equation.3 . Очевидно, це гіпербола, асимптоти якої співпадають з осями координат.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 . (14)
Диференціюючи по EMBED Equation.3 , отримаємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 . (15)
Приклад 6. Знайти щільність розподілу EMBED Equation.3 функції EMBED Equation.3 , якщо система EMBED Equation.3 рівномірно розподілена в квадраті EMBED Equation.3
Розв’язання. За умовою EMBED Equation.3
Використовуючи результат прикладу 5, отримаємо вираз для функції розподілу
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Диференціюючи по EMBED Equation.3 , знайдемо щільність розподілу функції
EMBED Equation.3
2.1. Закон розподілу суми двох випадкових величин.
Дуже часто в застосуваннях виникає задача знаходження закону розподілу суми двох випадкових величин
EMBED Equation.3 . (16)
Нехай EMBED Equation.3 - система двох неперервних випадкових величин. Використаємо підхід, викладений вище. Побудуємо на площині EMBED Equation.3 лінію EMBED Equation.3 .
Функція розподілу величини EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (17)
Диференціюючи по EMBED Equation.3 , отримаємо вираз для щільності розподілу
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (18)
Це загальна формула для щільності розподілу суми двох випадкових величин.
Із міркувань симетрії можна записати EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
2.2. Композиція законів розподілу
Практичне значення має випадок, коли складові системи EMBED Equation.3 незалежні, тобто
EMBED Equation.3 .
Тоді говорять про композицію законів розподілу.
Виведемо формулу для композиції двох законів розподілу. Нехай EMBED Equation.3 - незалежні випадкові величини ( EMBED Equation.3 ), тоді щільність розподілу суми EMBED Equation.3 , враховуючи (18), знаходиться за формулами
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , (19)
або EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (20)
Тут підінтегральні вирази означають згортку функцій EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3
Приклад 7.. Скласти композицію законів розподілу: нормального EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 і рівномірного: EMBED Equation.3 .
Розв’язання . Застосувавши формулу (20), отримаємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Вираз EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - це ймовірність попадання в інтервал EMBED Equation.3 нормально розподіленої величини з центром EMBED Equation.3 ,
Отже, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Приклад 8. Скласти композицію двох нормальних законів розподілу
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Розв’язання. За формулою (20) знайдемо щільність розподілу суми
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Перетворивши показник степеня в суму квадратів
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 і зробивши заміну
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
отримаємо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Оскільки EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , то остаточно отримаємо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Таким чином, закон розподілу суми двох незалежних нормальних випадкових величин з параметрами EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 i EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ; теж є нормальним законом з параметрами EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Приклад 9. Скласти композицію двох показникових законів розподілу з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Розв’язання. За формулою (19) отримаємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Композиція двох показникових законів розподілу з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 називається узагальненим законом Ерланга другого порядку.
Розглянемо на прикладі, як знаходити композицію законів розподілу двох дискретних випадкових величин.
Приклад 10. Скласти композицію двох законів розподілу Пуассона з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Ймовірність події EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 знайдемо за формулою
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Таким чином, сума двох незалежних випадкових величин, розподілених за законом Пуассона, теж розподілена за законом Пуассона з параметром EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 .