§ 7. Системи випадкових величин.
Приклад 1. Задана щільність розподілу системи
EMBED Equation.3 .
Знайти значення а , 2) визначити функцію розподілу EMBED Equation.3 , 3) знайти ймовірність
попадання випадкової точки в прямокутник з вершинами EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Розв’язання. 1) Для визначення а використаємо властивість EMBED Equation.3 щільності розподілу:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
звідки EMBED Equation.3 .
2) За формулою (10) EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
3) За формулою (9) EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Приклад 2. задана EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Вияснити, залежні чи незалежні в. в.
Розв’язання. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Отже, випадкові величини незалежні.
Приклад 3. Задано закон розподілу системи EMBED Equation.3
Знайти а) закони розподілу складових EMBED Equation.3 ; б) умовний закон розподілу EMBED Equation.3 ;
в) умовний закон розподілу EMBED Equation.3 ; г) вияснити, чи залежні величини EMBED Equation.3 .
Розв’язання. а)
Контроль: EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 =1.
г) Якщо умова EMBED Equation.3 виконується хоча б для однієї пари значень EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 залежні між собою. Дійсно, вже для EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ця умова виконується: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Отже, 0,37 EMBED Equation.3 . Таким чином, випадкові величини EMBED Equation.3 залежні.
§ 8. Числові характеристики системи випадкових величин.
Приклад 1. За умов прикладу 3 §7 побудувати кореляційну матрицю системи.
Розв’язання. EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
Приклад 2. EMBED Equation.3 .
Побудувати кореляційну матрицю системи.
Розв’язання. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Знайдемо EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
§9.Числові характеристики функції випадкових величин
Приклад 1. Задано закон розподілу випадкового аргументу EMBED Equation.3
Знайти математичне сподівання і дисперсію функції EMBED Equation.3 , не знаходячи її закону розподілу.
Розв’язання. Можливі значення функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 4,95- EMBED Equation.3 .
Приклад 2. Задана щільність розподілу аргументу EMBED Equation.3 .
Знайти математичне сподівання і дисперсію функції EMBED Equation.3 , не знаходячи її закону розподілу .
Розв’язання. EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Приклад 1. Напруга EMBED Equation.3 , яка подається на вхід обмежувача, розподілена за нормальним законом з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Обмежувач працює за принципом EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Знайти математичне сподівання і дисперсію напруги EMBED Equation.3 на виході обмежувача.
Ввести змінну EMBED Equation.3
Приклад 2. В обчислювальний центр за зміну надходить випадкове число EMBED Equation.3 інформаційних документів, яке розподілене за законом Пуассона з параметром EMBED Equation.3 . Число інформаційних
документів, що обробляються в ОЦ за зміну, не може перевищувати EMBED Equation.3 (ціле число): EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини EMBED Equation.3 .
Приклад5. Проводиться аналіз роботи обчислювальної системи, яка складається з двох блоків, що працюють незалежно один від другого.Час безвідмовної роботи EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 блоків – незалежні випадкові величини, розподілені за показниковими закономи з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 відповідно. Для роботи обчислювальної системи необхідна робота кожного блока. Знайти характеристики часу EMBED Equation.3 безвідмовної роботи обчислювальної системи.
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Приклад6. З метою збільшення часу EMBED Equation.3 безвідмовної роботи обчислювальної системи її компонують з двох незалежно працюючих ЕОМ, час безвідмовної роботи яких EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Випадкові величини EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . розподілені за показниковими закономи з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 відповідно. Обчислювальна система функціонує, якщо працює принаймні одна з ЕОМ. Знайти числові характеристики випадкової величини EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3
§10. Закон розподілу функції випадкових величин
Приклад 1.
Знайти закон розподілу функції EMBED Equation.3 .
Розв’язання. EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Приклад 2
Знайти закон розподілу функції EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Можливі значення функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Приклад 3. Випадкова величина X розподілена нормально з параметрами EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Знайти закон розподілу функції EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Функція EMBED Equation.3 монотонна на EMBED Equation.3 . Обернена до неї функція EMBED Equation.3 .
Знаходимо похідну EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
Приклад 4. Випадкова величина X розподілена нормально з параметрами EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
Знайти закон розподілу функції EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Обернена функція EMBED Equation.3 неоднозначна:
EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Приклад 5. Знайти щільність розподілу EMBED Equation.3 функції EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Зафіксувавши деяке значення EMBED Equation.3 , побудуємо на площині EMBED Equation.3 криву, рівняння якої EMBED Equation.3 . Очевидно, це гіпербола, асимптоти якої співпадають з осями координат.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 . (14)
Диференціюючи по EMBED Equation.3 , отримаємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 . (15)
Приклад 6. Знайти щільність розподілу EMBED Equation.3 функції EMBED Equation.3 , якщо система EMBED Equation.3 рівномірно розподілена в квадраті EMBED Equation.3
Розв’язання. За умовою EMBED Equation.3
Використовуючи результат прикладу 5, отримаємо вираз для функції розподілу
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Диференціюючи по EMBED Equation.3 , знайдемо щільність розподілу функції
EMBED Equation.3
Приклад 7.. Скласти композицію законів розподілу: нормального EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 і рівномірного: EMBED Equation.3 .
Розв’язання . Застосувавши формулу (20), отримаємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Вираз EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - це ймовірність попадання в інтервал EMBED Equation.3 нормально розподіленої величини з центром EMBED Equation.3 ,
Отже, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Приклад 8. Скласти композицію двох нормальних законів розподілу
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Розв’язання. За формулою (20) знайдемо щільність розподілу суми
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Перетворивши показник степеня в суму квадратів
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 і зробивши заміну
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
отримаємо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Оскільки EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , то остаточно отримаємо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Таким чином, закон розподілу суми двох незалежних нормальних випадкових величин з параметрами EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 i EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ; теж є нормальним законом з параметрами EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Приклад 9. Скласти композицію двох показникових законів розподілу з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Розв’язання. За формулою (19) отримаємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Приклад 10. Скласти композицію двох законів розподілу Пуассона з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Ймовірність події EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 знайдемо за формулою
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Таким чином, сума двох незалежних випадкових величин, розподілених за законом Пуассона, теж розподілена за законом Пуассона з параметром EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 .
§11. Елементи мат. статистики. Основні поняття.
Приклад 1. Задано розподіл вибірки EMBED Equation.3 .
Записати розподіл відносних частот.
Розв’язання. EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
остаточно
EMBED Equation.3
Приклад 3. Побудувати емпіричну функцію розподілу за розподілом вибірки прикладу 1.
EMBED Equation.3
Приклад 4.В.в. EMBED Equation.3 - час роботи елемента–має показниковий розподіл з парам. EMBED Equation.3 .Отримано статист. розподіл серед. часу роботи 200 елементівЗнайти методом моментів точкову оцінку парам. EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Прирівнявши теоретичний і емпіричний моменти першого порядку і враховуючи, що для показникового закону EMBED Equation.3 , отримаємо EMBED Equation.3 . Отже, точковою оцінкою параметра EMBED Equation.3 є EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Обчисливши EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =5, одержимо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Приклад 5. В.в. EMBED Equation.3 - відхилення контрольованого розміру виробу від номіналу– підлягає нормал. акону розподілу з парам. EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Отримано статист.розподіл відхилення від номіналу 200 виробів
Знайти методом моментів точкові оцінки параметрів EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Розв’язання. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , отримаємо вирази для точкових оцінок EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1,266. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =0,25.
Звідки EMBED Equation.3
§12.Інтервальні оцінки. Надійна ймовірність. Надійні інтервали.
Приклад 1. Нехай EMBED Equation.3 .Знайти надійний інтервал для а , якщо EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . Із таблиці значень функції Лапласа знаходимо EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 і отримаємо інтервал EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Цей результат треба трактувати так: якщо зроблена достатньо велика кількість вибірок, то в 95% випадків а лежить в знайденому інтервалі, а в 5% це значення а може вийти за межі інтервалу.
Приклад 2. Нехай Х нормально розподілена випадкова величина; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . Знаходимо EMBED Equation.3 з таблиці. EMBED Equation.3 .
Тоді EMBED Equation.3 .
Отже EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Приклад 3. Нехай EMBED Equation.3 , обчислено EMBED Equation.3 і задано EMBED Equation.3 .Знайти надійний інтервал для EMBED Equation.3 .
З таблиці маємо EMBED Equation.3 .
Отже, 0,7(1-0,46)< EMBED Equation.3 <0,7(1+0,46) або 0,378< EMBED Equation.3 <1,022.
Приклад 4. Знайти надійний інтервал для оцінки ймовірності EMBED Equation.3 появи події з надійністю EMBED Equation.3 , якщо у 80 спробах подія з’явилася 20 разів.
За умовою EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Корінь рівняння EMBED Equation.3 знаходимо з таблиці:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
За формулами (30) і (31) знаходимо EMBED Equation.3 =0,167; EMBED Equation.3 =0,353.
Отже, шуканий надійний інтервал EMBED Equation.3
