1. Цифровий спектральний аналіз
Основні методи цифрового спектрального аналізу. Аналіз спектральних характеристик сигналів і завад дозволяє отримати достатньо інформації про якість радіоприладів, ліній зв’язку, властивості випромінюючого чи відбиваючого об’єкта, виявити закодоване повідомлення та ін. Спектральний аналіз (СА) більш чутливий і інформативний до змін тонкої структури сигналу у порівнянні з аналізом форми сигналу традиційними осцилографічними методами.
Розширення кола задач, що вирішуються на основі СА, застосування цифрової елементної бази, мікропроцесорної техніки привели до розробки нових методів аналізу і створення аналізаторів не тільки амплітудного, але і фазового спектру сигналів. Так як панорамний радіоприйом і аналіз спектрів мають багато спільного, подальший розвиток сучасних цифрових методів СА є актуальним.
Всі методи СА доцільно розбити на дві групи:
методи, що в тій чи іншій мірі реалізують Фур’є-аналіз дискретизованого процесу;
методи, в яких вибирається лінійна модель у вигляді цифрового фільтра і визначаються параметри цієї моделі, що відповідають аналізованому дискретному процесу. Методи цієї групи ділять на згорточні або на основі лінійної фільтрації.
Першу групу методів називають прямими методами СА, другу – непрямими.
Фур’є-аналіз або аналіз сигналів на основі перетворення Фур’є (ПФ) – найстаріший розділ прикладної математики. Перші алгоритми швидкого перетворення Фур’є (ШПФ), запропоновані в 1965р. Кулі і Тьюкі, дозволили зменшити число операцій з N2 до N log N.
В наш час існує багато нових алгоритмів ШПФ, деякі з яких вимагають лише N операцій. Найкращий з них – алгоритм Винограда.
Однак ШПФ має і недоліки:
використання трансцедентних функцій і комплексної арифметики: запропоновані модифіковані алгоритми, вільні від цього недоліку;
застосовні тільки до періодичних функцій(сигналів), тому обчислюються тільки циклічні згортки: необхідно перетворювати неперіодичну згортку у серію циклічних згорток;
обмежена роздільна здатність. В якості випробувального процесу для аналізу методів оцінки спектру використовують суміш синусоїд і адитивного шуму. Найточніший метод розв’язання на рівномірномуспектральному шумовому полі – метод Писаренко;
неявна вагова обробка даних. Зважування проявлається у вигляді витоку енергії головного пелюстка спектру в бокові, що веде до накладання спектрів. Боротьба з накладанням зменшує роздільну здатність.
Останні три недоліки особливо чутливі для коротких реалізацій.
Першими алгоритмами лінійної фільтрації, призначеними для обчислення ПФ, були алгоритми Блюстейна і Рейдера (1968). Спочатку вони розглядалися як теоретичні варіанти, але досягнення в мікроелектроніці забезпечили використання цих алгоритмів для СА. Одночасно нові результати в теорії складності обчислень показали, що деякі згортки можна ефективно обчислити методами фільтрації.
Зроблена спроба розробки такого алгоритму, який дозволив би ефективно обчислювати миттєві амплітудні і фазові спектри (АС, ФС) будь-яких послідовностей сигналів і завад при мінімальних обчислювальних затратах.
Існує можливість дослідження спектральних характеристик сигналів непрямими методами. Один із них – обчислення амплітудного і фазового спектрів через обчислення АЧХ і ФЧХ, узгодженого з сигналом нерекурсивного дискретного або цифрового фільтра. При цьому, якщо коефіцієнти фільтра рівні дискретним значенням досліджуваного сигналу, то АЧХ фільтра співпадає з огтнаючою амплітудного спектру, а ФЧХ – з фазовим спектром.
Вибір методу аналізу АЧХ і ФЧХ ЦФ. Для обчислення АЧХ і ФЧХ нерекурсивних ЦФ здебільшого застосовують метод передаточних функцій. Згідно з методом від передаточної функції, яка в загальному вигляді записується як многочлен виду:
H(Z)= a0 +a1Z-1 +a2Z-2 + … + aN-1Z-(N-1),
переходимо до комплексної частотної характеристики, підставляючи Z=e -j?, що відповідає перетворенню Фур’є
H(e j?)= EMBED Equation.3 = | H(e j?) | earg[H(e^j? )] .
Тут {a} – коефіцієнт фільтра N-го порядку; | H(e j?) | – АЧХ ЦФ; arg[ H(e j?) ] – його ФЧХ.
Згідно з формулою Ейлера для комплексних чисел
e j?= cos ? + j sin ?,
перетворимо комплексну частотну характеристику ЦФ:
H(e j?)= EMBED Equation.3 + j EMBED Equation.3 .
Звідси визначаємо АЧХ і ФЧХ фільтра.
uci Кількість обчислень можна скоротити в два рази, якщо коефіцієнт фільтра навколо його середньої частини симетричні або антисиметричні (симетричні по модулю). Однак в будь-якому випадку обчислення частотних характеристик класичним методом громіздке, складне.
t Z-1 Z-1 Z-1
1
0 T 2T 3T
-1
uci
a0 a1 a2 a3
a0uci(0) uвих і
a1uci(T) a2uci(2T) a3uci(3T)
Рис. 1.1. Обчислення складової коефіцієнта передачі
Можливий такий варіант обчислень: визначення дискретизованих АЧХ і ФЧХ як результату вагового сумування в узгодженому фільтрі дискретизованих значень потрібної для дослідження сітки гармонічних коливань з одиничною амплітудою і постійною початковою фазою:
usi = sin 2?fit ; uci = cos 2?fit .
Тут usi i uci – ортогональні складові аналітичного сигналу ui= exp( j2?fit ).
Результат проходження складових через узгоджений з сигналом фільтр – вихідна інформація для обчислення модуля (АЧХ) і аргумента (ФЧХ) коефіцієнта передачі. На рис.1.1 показано варіант проходження косинусної складової з частотою fi і з одиничною амплітудою через фільтр третього порядку. При цьому гармонійна напруга розподіляється по елементах затримки фільтра так, щоб його початкове значення співпадало з виходом на коефіцієнт а0 фільтра.
Згідно з алгоритмом uc вих і визначається як сума зважених з відповідними коефіцієнтами {a} значень гармонійної одиничної напруги uci в моменти часу, кратні періоду дискретизації Т:
uc вих і = EMBED Equation.3 .
Тут cos 2?fikT – фазовий коефіцієнт одиничної косинусної напруги. Його значення детерміноване і може зберігатися в запам’ятовуютому пристрої для реального каналу СА, якщо відомі сітка частот, період дискретизації аналізованої вхідної послідовності.
В загальному випадку, якщо фільтр N-го порядку,
uc вих і = EMBED Equation.3 .
Аналогічно можна визначити реакцію фільтра на синусоїдальну вхідну напругу з нульовою початковою фазою:
uc вих і = EMBED Equation.3 .
Для будь-якої з потрібних частот fi можна визначити значення АЧХ і ФЧХ:
| k(fi) | = EMBED Equation.3 ;
fi = arctg (usi / uci).
По одержаних результатах можна побудувати дискретні АЧХ і ФЧХ ЦФ, а потім апроксимувати їх відповідними кривими. При цьому, якщо будувати частотні характеристики поетапно, спочатку для фільтра першого порядку (а0,а1), а потім – для третього (а0,а1,а2) і так далі, виходить поточне значення АЧХ і ФЧХ фільтра по одержаних вище рекурентних формулах.
Співвідношення для uc i us одержані іншим, графічним методом. Цей метод дозволяє організовувати непрямий спектральний аналіз довільних сигналів і завад накопиченням потрібного результату по мірі приходу дискретних значень сигналу.
Непрямий метод СА сигналів кінцевої тривалості. Якщо визначені АЧХ і ФЧХ фільтра, узгодженого із сигналом, то задача СА вирішена. Дискретний і цифровий фільтри узгоджені із сигналом, якщо їхні коефіцієнти {a} рівні або пропорційні решітчатій функції сигналу {uвх}. У зв’язку з цим для організації СА необхідно приписувати коефіцієнтам {a} значення {uвх}, розміщувати на вході нерекурсивного фільтра сітку частот і по його реакції визначати складові комплексного спектра сигналу. По цих складових визначимо значення амплітудного і фазового спектрів на потрібних частотах.
t/T Z-1 Z-1 Z-1 t=0 t=T t=2T t=3T u3Ksi(2T) {uвх} u2 u3 u4 u2 u3 u4 u4 u3 u4 uci
1
Рис. 1.2. Обчислення складової комплексного спектру непрямим методом.
Викладене ілюструється рис. 1.2. На сигнальний вхід подана гармонійна напруга uci або usi з частотою fi. Умовно фіксуємо часове положення цієї напруги на елементах затримки на потрібний час. Досліджуваний сигнал поступає на фільтр як його масштабні коефіцієнти. Порядок присвоєння значень коефіцієнтам такий. Спочатку дискретне значення сигналу u0 присвоюється коефіцієнту а0 , всі інші нульові. В результаті
uc вих i = u0 cos 2? fi0 = u0kci0 = u0,
так як cos0=1. Тут kci0 – фазовий коефіцієнт для t = 0.
Аналогічні значення uвих будуть на будь-якій частоті, що відповідає положенню, коли АЧХ фільтра з нульовою смугою рівномірна і нескінченна. Але так як цей фільтр узгоджений з першим дискретним значенням {uвх}, то ucвихі= Re(s), де R(s) – дійсна частина комплексного спектру сигналу.
З приходом другого дискретного сигналу u1 його величина присвоюється коефіцієнту а1. Фільтр “розвивається”, у нього з’являється другий коефіцієнт. Тоді одержуємо:
uc вих і = u0 + u1kci1,
де із двох доданків один відомий.
Аналогічно маємо для третього такту
uc вих і = u0 + u1kci1 + u2kci2,
і т.д.
В загальному випадку
uc вих і = Re(s) = EMBED Equation.3 kcik.
Таким чином, для кожної частоти fi необхідно за один такт частоти дискретизації виконати одне додавання і одне множення.
Якщо подібні обчислення виконувати для базису синусних гармонічних складових, то можна знайти
us вих і = Im(s) = EMBED Equation.3 ksik,
де ksik – фазовий коефіцієнт синусного гармонійного базису.
За відомими Re i Im знаходимо:
амплітудний спектр: Sa = EMBED Equation.3 ;
фазовий спектр: Sф = arctg Im(s)/Re(s)
для кожного моменту часу kT на будь-якій потрібній частоті.
Так як значення фазових коефіцієнтів залежать тільки від кроку сітки частот ?f і часу дискретизації T = t / N, їх можна розраховувати наперед і табулювати у вигляді матриць.
Очевидно, що значення ряду коефіцієнтів можуть бути рівними ?1, при цьому операція множення не потрібна. Якщо на цьому кроці часу kT у декількох (напр. М) частот фазові коефіцієнти рівні або з протилежним знаком, то замість операції множення застосовується М-1 операція присвоєння. При цьому час обчислення можна суттєво скоротити.
Непрямий метод СА сигналів у “часовому вікні”. Визначимо, яким чином організувати аналіз спектру, щоб в ковзаючому “часовому вікні” був сигнал будь-якої тривалості, а обчислювальні затрати за один період Т тактової частоти залишалися мінімальними і стабільними згідно з викладеною вище методикою.
uвх t 7 6 5 4 3 2 1 t2 t1
Рис. 1.3. Варіант врахування проміжних значень аналізованого сигналу при обчисленні спектру
Для прикладу розглянемо неперервну дискретизовану суміш сигналів і завад (рис. 1.3). Будемо вважати, що тривалість очікуваного сигналу – шість дискретних значень (N= tc/T = 6). В момент часу t1 знаходимо у відповідності з методикою текучий спектр цієї послідовності st. В наступний момент часу t2 = t1+T “вікно” спостереження пересунулося на один дискрет. Якщо вважати, що незалежно від фази базисних функцій спектр сукупності дискретів u2, u3, u4, u5, u6 незмінний, то його можна врахувати у рекурентній залежності:
St2 = St1 – S(u1) + S(u7),
де S(u1), S(u7) – приріст амплітудного спектру за рахунок відповідних бокових дискретів сигналу.
0 1 1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cos 2?fikT sin 2?fikT t/T t/T
u1 t=0 u1 t=T u1 t=2T u1 t=3T u2 u2 u2 u3 u3 u4
t=4T u2 u3 u4 u5
t=5T t=6T u3 u4 u4 u5 u5 u6 u6 u7
Рис. 1.4. До пояснення методу “ковзаюче часове вікно” для спектрального аналізу
В загальному це рівняння можна представити у вигляді:
SnT+1 = SnT – S(unT-N+1) + S(unT+1).
Для доведення правильності цього співвідношення необхідно і достатньо розглянути випадок, коли сигнал певної форми і довжини зміщується по множниках фільтра, на другі входи якого подаються відповідні фазові коефіцієнти.
Нехай, наприклад, сигнал складається із двох дискретних значень u0 i u1 , а на частоті fi в момент часу t1 квадрат амплітудного спектру визначається виразом:
S2at1 = (u0 cos 2?fiT + u1 cos 2?fi2T)2 + (u0 sin 2?fiT + u1 sin 2?fi2T)2 .
Через час Т
S2at1+T = (u0 cos 2?fi2T + u1 cos 2?fi3T)2 + (u0 sin 2?fi2T + u1 sin 2?fi3T)2 .
Якщо S2at1 = S2at1+T, то гіпотеза правильна, в чому нескладно переконатися шляхом простих тригонометричних перетворень.
Рис. 1.4 ілюструє варіант розподілу ортогональних фазових коефіцієнтів, а також появу і просування вздовж них чотирьох дискретних значень сигналу. За перші чотири такти (заповнення еквівалентного фільтра) відбувається рекурентне накопичення результату СА. Потім перший дискрет сигналу виходить за межі “вікна”. Для збереження інформації про спектр середньої частини сигналу необхідно новий дискрет множити на наступний фазовий коефіцієнт і віднімати вагове значення першого дискрета. На рис. зображені сім тактів спектрального аналізу.
Період дискретизації – штатний параметр аналого-цифрового тракту приймального пристрою. У випадках, коли проводиться СА довільного сигналу, вибирають T? 2..5/Fmax .
При виборі сітки досліджуваних частот спектру на практиці доцільно керуватися наступним:
діапазон частот основного пелюстка спектру знаходиться в межах від нуля до Fmax? 1..2/Tn , де Tn – період спостережуваних або очікуваних пульсацій процесу;
крок сітки частот досліджуваного спектру може бути нерівномірним і відповідати специфічним вимогам.
Визначальною у виборі сітки частот повинна бути оптимізація таблиці фазових коефіцієнтів: необхідна максимальна кількість коефіцієнтів, рівних ?1, або однакових по модулю. У випадку СА у “часовому вікні” необхідно також, щоб період повторення фазових коефіцієнтів співпадав із величиною МТ, де М – мінімально можливе ціле число. У цьому випадку в пам’яті аналізатора зберігається обмежене число коефіцієнтів.
Рівень розвитку сучасних ЕОМ дозволяє організовувати не лише необхідні обчислення з потрібною швидкістю, але і відображати результати з будь-яким ступенем наочності на екрані і виводити на друк. Для організації таких процедур необхідно виконати такі етапи:
складання сценарію – полягає у складанні ескізів комп’ютерної графіки. Для СА можливі такі варіанти відображення: трьохвимірне зображення поточного спектру; одновимірне (поточне) відображення амплітудного і фазового спектрів.
складання алгоритму програмного забезпечення;
програмування;
рішення і документування задачі СА.
2. Цифровий кепстральний аналіз
В практичній радіотехніці використовуються здебільшого три операції над сигналами u(t): додавання (адитивна суміш) u(t) = u1(t) + u2(t); множення (мультиплікативна суміш) u(t) = u1(t)u2(t); згортка u(t) = u1(t) * u2(t).
При обробці будь-якої із наведених сумішей сигналів виникають такі основні задачі: ослаблення одного із сигналів u1(t) або u2(t) до потрібної величини; зміна співвідношення між сигналами ????u1(t)/u2(t). Ці задачі мають численні практичні застосування і для їх рішення необхідно, як правило, виконати операцію розділення спектрів сигналів з подальшою фільтрацією необхідної компоненти, або режекцією другої.
Якщо для адитивної суміші ця задача вирішується відомими класичними методами фільтрації, то для мультиплікативної суміші сигналів такий шлях не підходить. Дійсно, нехай на вхід системи обробки сигналів поступає напруга:
u(t) = u1(t)u2(t) = Um1cos ?1t Um2cos ?2t =
= 0.5Um1Um2[cos(????????t + cos(????????t].
Ця мультиплікативна суміш в своєму складі не має безпосередньо частоти ???і?????а тільки їх суму і різницю.
Пряма фільтрація суміші не приводить до зміни співвідношення сигналів. Очевидно, що перед фільтрацією необхідно провести такі перетворення над сумішшу або згорткою, щоб розділити спектри вихідних сигналів. Позначимо такі перетворення через H [u(t)].
D0 D0-1 L ln[ ?] exp[ ?] L а б H [ ?] D0 uвх uвх uвих uвих D0-1 x(t) y(t)
Рис. 2.1. Схема гомоморфної обробки (а) і її варіант для мультипл. суміші (б)
Перетворення можуть бути гомоморфними і ізоморфними. Як правило, вони гомоморфні (невзаємно однозначні). Приклад невзаємно однозначного перетворення – операція квадрування: H [u(t)] = [u(t)]2. Тут кожному значенню u(t) відповідає лише одне значення u2(t).
При зворотньому перетворенні H-1 [u2(t)] = ?u(t), тобто одному значенню u2(t) відповідають два значення u(t).
Узагальнена канонічна система гомоморфної обробки сигналів (H [ ?] ) має вигляд, показаний на рис. 2.1,а.
Тут перша система D????в загальному випадку нелінійна, володіє властивістю перетворювати множення або згортку (узагальнений знак операції “?”) в суму. Її називають характеристичною системою гомоморфної обробки:
D?[u1(t)?u2(t)]???D?[u1(t)] + D?[u2(t)] = x1(t) + x2(t).
Наступна система L – звичайне лінійне або нелінійне коло, що задовільняє принцип суперпозиції:
L[x1(t)+x2(t)] = L[x1(t)] + L[x2(t)] = y1(t) + y2(t).
Ця система виконує функцію по фільтрації сигналів.
Система D0-1 зворотня до системи D? , вони лінійні, або нелінійні. В загальному випадку знак операції на вході не співпадає зі знаком операції на виході.
Гомоморфна обробка мультиплікативної суміші двох сигналів. Для перетворення добутку двох сигналів в суму необхідно застосувати характеристичну функцію тільки логарифмування. На виході логарифматора
x(t) = lg [u1(t) u2(t)] = lg [u1(t)] +lg [u2(t)] = x1(t)+x2(t).
По своєму спектру і формі вихідні сигнали відрізняються від вхідних, але їх можна фільтрувати звичайними фільтрами як адитивну суміш. Після фільтрації сигнали перетворюються до виду y1(t) i y2(t). Так як вихідні функції мають сенс логарифмів вхідних сигналів, то y1(t) i y2(t) можна розглядати як логарифми вихідних сигналів. Останнє пояснюється тим, що якщо D? – операція логарифмування, то обернена їй операція – потенціювання. В результаті його виконання
uвих(t) = D-1 [ y(t)] = exp {y1(t) +y2(t)} = ey1(t) ey2(t) =
= u1вих (t) u2 вих (t).
Процедурам логарифмування і потенціювання відповідає узагальнена схема обробки застосовно до добутку сигналів (див. рис. 2.1,б). Тут операції на вході і виході співпадають, але співвідношення між складовими u1(t) i u2(t) змінюється відповідно з можливостями фільтра.
Гомоморфна обробка згорнутого сигналу. Не існує такої характеристичної системи D* , щоб згортку u(t) = u1(t)*u2(t) безпосередньо перетворити в адитивну суміш. Звичайно спочатку згортку перетворюють у добуток, а потім добуток – в суму за допомогою двох кроків – перетворення Фур’є і логарифмування:
F [u(t)] = F [u1(t)*u2(t)] = F[u1(t)] F[u2(t)] = S1(?)S2(?);
lg S(?) = lg S1(?) + lg S2(?).
Якщо потім до lg S(?) застосувати зворотнє перетворення Фур’є, то після додаткового кроку одержимо:
x(t) = F-1 [lg S1(?)] + F-1 [lg S2(?)] =x1(t) + x2(t).
Так само, як і при обробці мультиплікативної суміші, u1вих(t) i u2вих(t) по формі і спектру відрізняються від u1(t) i u2(t).
У відповідності з узагальненою канонічною операцією гомоморфної обробки сигналів (рис. 2.1,а) після характеристичної системи D* слідує звичайна фільтрація L і далі обернена система D*-1 , на вхід якої поступає сигнал y(t) = y1(t) +y2(t).
Обернена система також повинна реалізовуватися у три кроки:
перетворення Фур’є (одержання спектру адитивної суміші)
F [y(t)] = Y1(?) +Y2(?) = Y(?);
потенціювання
exp [Y(?)] = exp [Y1(?)] exp [Y2(?)];
зворотнє перетворення Фур’є
F-1 [exp [Y(?)] ] = u1вих(t) * u2вих(t) =uвих(t).
D*-1 D*
x(t) uвих L y(t) uвх
exp[?] F[?]-1 F[?] F[?]-1 ln[?] F[?]
а
uвих L
exp[?] F[?]-1 uвх ln[?] F[?]
б
Рис. 2.2. Алгоритм гомоморфної обробки згорнутих сигналів (а) і його варіант для обробки мовних сигналів (б)
В результаті виконання всіх процедур одержуємо узагальнену схему гомоморфної обробки згортки (рис. 2.2,а).
При обробці мовних сигналів, коли їх компоненти u1(t) i u2(t) зв’язані між собою операцією згортки, можлива гомоморфна обробка за схемою, показаною на рис. 2.2,б.
Зважаючи на громіздкість обчислень на практиці обробка згортки сигналів обмежується деякими операціями, напр. D* i L. Вихідна адитивна суміш характеристичної системи достатня для здійснення фільтрації сигналів. На цій основі розвивається новий напрям теорії сигналів – кепстральний аналіз.
Кепстральна обробка сигналів. Спочатку кепстр застосовувався як евристичний метод знаходження моментів приходу відбиття складного сигналу. При цьому затримане відбиття проявляється у вигляді пульсацій логарифмованого спектру. Після обчислення спектру за логарифмом спектру можна вирахувати частоту в залежності від частоти пульсацій, і ця частота вимірюється в одиницях часу. В результаті з’явилася і відповідна термінологія, створена за принципом перестановок частин слів: частота – сачтота, фаза – зафа, спектр – кепстр, амплітуда – маплітуда, фільтрація – ліфтрація, період – репіод, гармоніка – рагмоніка. Здебільшого розрізняють кепстри потужності, фазовий і комплексний.
Так як кепстральний аналіз пов’язаний із розділенням згорнутих сигналів і функцій, то основне призначення і застосування його визначається фізичним походженням цих сигналів і функцій. Наприклад, якщо аналізується сигнал uвих(t) = uвх(t)*h(t) – результат проходження вхідного сигналу через лінійний тракт із імпульсною характеристикою h(t), то кепстральний аналіз повинен розділити вхідний сигнал і імпульсну характеристику. Подібна задача виникає при дослідженні характеристик середовища розповсюдження радіосигналу, ідентифікації радіотехнічних трактів та ін.
ДПФ [ ]2 [ ]2 lg [ ] ОДПФ uвх Re(s)1 Im(s) s2 lg s2 cs а ДПФ uвх комплекс-ний lg ОДПФ ліфтр ДПФ комплекс-ний exp ОДПФ uвих б
Рис. 2.3. Схема алгоритму обчислення кепстра потужності (а) і комплексного кепстра (б)
Кепстр потужності дискретизованого (цифрового) сигналу як енергетичний спектр логарифму модуля його спектру визначається за формулою:
Cs(m) = EMBED Equation.3 ,
m = 0, 1, … 2N-1.
Схема алгоритму такого обчислення показана на рис. 2.3,а.
Кепстр потужності не враховує фазову структуру сигналів, тому визначити їх початкову форму неможливо. Інформацію про фазу складових сигналів зберігає комплексний кепстр, який для дискретизованого сигналу {u(m)} має вигляд:
Cs(m) = EMBED Equation.3
Обчислення логарифма комплексного спектру ускладнене неоднозначністю аргумента комплексного кепстра, схема алгоритму обчислення якого показана на рис. 2.3,б.
Якщо спектральну густину сигналу S(?) представити у вигляді Sа(?)ejS(?), то логарифм цієї функції в загальній формі має вигляд:
lg S(?) = lg Sa(?) + j [Sфгл(?) + k2?].
Тут Sфгл – головне значення аргумента, що визначається по модулю 2???тобто EMBED Equation.3 .
В результаті обчислень у фазовій кривій будуть розриви. Для їхнього усунення необхідно до результатів обчислення головних значень додавати коректуючу послідовність k2?. Її можна визначати різними методами, в тому числі і за допомогою обчислення відносних фазових зсувів між сусідніми вибірками спектру.
Організація обчислення кепстрів. Алгоритм обчислення кепстра потужності, представлений на рис. 2.3, а, передбачає операцію прямого перетворення Фур’є. Її можна реалізувати або класичним ДПФ, або використовуючи алгоритм спектрального аналізу, представлений вище. Цей алгоритм дозволяє визначити амплітудний і фазовий спектри довільних сигналів у довільній сітці частот рекурентним накопиченням результату по мірі надходження сигналу.
На першому етапі розраховується і видається графічно результат згортки довільно заданих сигналів a(t) i b(t), які також виводяться. Так як для знаходження кепстру потужності необхідний амплітудний спектр, то у відповідності з алгоритмом спектрального аналізу розраховується огинаюча амплітудного спектру одержаної згортки.
Перехід до логарифму спектру дозволяє не тільки перетворювати добуток спектрів згорнутих сигналів у суму, але і контрастно виявляти їх мінімуми. Останньою операцією в обчисленні кепстра потужності може бути не тільки пряме, але і обернене дискретне перетворення Фур’є (ДОПФ) від логарифму спектру.
В якості ДОПФ використаний класичний алгоритм, а замість ДПФ – запропонований вище алгоритм спектрального аналізу. Останній дозволяє забезпечити повністю рекурентний кепстральний аналіз, який закінчується із надходженням останнього дискретного значення сигналу, якщо швидкість обчислення забезпечує аналіз згортки в реальному масштабі часу.
При визначенні кепстра потужності втрачається інформація про тонку фазову структуру сигналів, що не дозволяє використовувати можливості кепстрального аналізу для відновлення структури спотворених сигналів. У зв’язку з цим переходять до аналізу комплексних кепстрів. При організації обчислень комплексного кепстру необхідно передбачити розрахунок не тільки амплітудного, але і фазового спектру згортки. В результаті можна визначити миттєве значення кепстру, а також його складові – амплітудну і фазову кепстральні характеристики.
Визначення часових параметрів із комплексного кепстру ускладнене. Однак він дозволяє відновлювати структуру сигналів згортки, так як зберігається тонка фазова структура цих сигналів. Для цього необхідно виконати додаткові операції у відповідності з алгоритмом на рис. 2.3.
В цілому результати кепстрального аналізу підтверджують твердження про доцільність розвитку теорії цифрового кепстрального аналізу для суттєвого покращення інформаційних властивостей реальних радіоліній.
