19.9. Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты.
19.9.1. Нули аналитической функции.
Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если
, но .
Пример. Пусть . Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f(0) = 0. Найдём порядок нуля: , . Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .
Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z) представлялась в виде , где - аналитическая в точке а функция, и.
Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е. , и . Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид , где - аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что и у ряда для f(z)) функция, .
Достаточность. Пусть , где - аналитическая функция, и. Находим производные этой функции по формуле Лейбница : ; ; ………………………….; ; , что и требовалось доказать.
Из этой теоремы следует, что если многочлен разложен на множители , то корни z1, z2, …, zl являются нулями функции кратностей, соответственно, k1, k2, …, kl.
19.9.2. Изолированные особые точки.
19.9.2.1. Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а.
Рассмотрим разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки а. При этом возможны следующие случаи.
1. Главная часть ряда Лорана отсутствует: .
В этом случае особая точка а называется устранимой.
2. Главная часть содержит конечное число членов:

В этом случае особая точка а называется полюсом n-го порядка. Если n =1, полюс называется простым, в остальных случаях - кратным.
3. Главная часть содержит бесконечно много членов. В этом случае особая точка а называется существенно особой точкой.
19.9.2.2. Признаки особых точек по значению .
1. Для того, чтобы особая точка z = a была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел .
Док-во. Выпишем разложение f(z) в ряд Лорана: . Очевидно, что может быть конечным тогда и только тогда, когда отсутствуют члены с отрицательными степенями, т.е. отсутствует главная часть, т.е. z = a – устранимая особая точка. В этом случае .
2. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы существовал бесконечный предел .
Докажем теорему, из которой следует это утверждение.
Теорема. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом n-го порядка функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки f(z) представлялась в виде , где аналитическая в точке а функция, .
Док-во. Необходимость. Пусть f(z) имеет в точке z = a была полюс n-го порядка, т.е. . Преобразуем это выражение: . Обозначим сумму ряда, стоящего в скобках: .
Ряд Лорана функции f(z) сходится в некотором кольце 0 < | z – a | < r. Пусть точка z1 принадлежит этому кольцу. Ряд для сходится в этой точке, так как он отличается от сходящегося ряда для f(z) только постоянным множителем ; по теореме Абеля ряд для сходится в круге | z – a | < | z1 – a |, и аналитична в этом круге как сумма степенного ряда.
Достаточность. Пусть , где аналитическая в точке а функция, . Разложим в ряд Тейлора: . Тогда , т.е. главная часть ряда Лорана функции f(z) начинается с члена , где , т.е. точка z = a – полюс n-го порядка.
Следствие. Точка z = a – полюс n-го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда существует конечный .
Теорема о связи нулей и полюсов. Функция f(z) имеет в точке z = a – полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция имеет в этой точке нуль n-го порядка.
Это теорема непосредственно следует из доказанной теоремы и теоремы предыдущего раздела. С её помощью легко определять порядок полюса. Так, мы доказали, что функция имеет в точке 0 нуль пятого порядка. Поэтому функция имеет в этой точке полюс пятого порядка.
3. Мы доказали, что в устранимой особой точке и в полюсе существует (конечный или бесконечный) . Поэтому в существенно особой точке этот предел существовать не может. Более того, верна теорема Пикара, которую мы приведём без доказательства:
В любой сколь угодно малой окрестности своей существенно особой точки функция f(z) принимает (причём бесконечно много раз) любое конечное значение (за исключением, возможно, одного).
19.9.3. Вычет аналитической функции в особой точке. Пусть функция f(z) аналитична в области D за исключением точки a. Разложим f(z) в окрестности этой точки в ряд Лорана:
Коэффициент называется вычетом функции в точке а и обозначается . Если - произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя точку а, то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана (см. 19.8.3. Ряд Лорана), .
19.9.3.1. Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, A-1 = 0.
19.9.3.2. Вычеты в полюсах.
19.9.3.2.1. Если а - простой полюс функции f(z), то .
Док-во. Простой полюс - полюс первого порядка, поэтому разложение в ряд Лорана начинается с минус первой степени: . Тогда , и .
19.9.3.2.2. Пусть , где и - аналитические в окрестности точки а функции. Если а - простой нуль функции , и , то .
Док-во. Если а - простой нуль функции , и , то а – простой полюс функции . Тогда, по предыдущему утверждению, .
19.9.3.2.3. Если а - полюс функции f(z) n-го порядка, то .
Док-во. Так как точка z = a - полюс n-го порядка функции f(z), то. . Для того, чтобы удалить особенность в точке а, умножим f(z) на (z – a)n . Теперь, чтобы убрать первые члены этой формулы и добраться до A -1, дифференцируем это произведение n-1 раз: ,
,
……………………………………………………………………………………………………………………….,
, , откуда и следует доказываемая формула.
19.9.3.3. Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана.
19.9.3.4. Примеры нахождения вычетов.
1. .
Эта функция имеет единственную особую точку - z = 0. Функция 1 – cos z при - бесконечно малая второго порядка, (1 – cos z)2 - четвертого, поэтому можно предположить, что существует конечный , т.е. z = 0 - устранимая особая точка. Доказываем строго: z = 0 - устранимая особая точка.
Можно решить эту задачу по-другому. Так как , то , . Понятно, что разложение этой функции по степеням z не будет содержать членов с отрицательными степенями, т.е. z = 0 - устранимая особая точка.
2. .
Особая точка: z = 2. Разлагаем функцию в ряд по степеням z - 2:
z 2 = [(z - 2) + 2] 2 = (z - 2)2 + 4(z - 2) + 4, ,
. Разложение содержит бесконечное количество слагаемых с отрицательными степенями z - 2, следовательно, z = 2 - существенно особая точка. .
3. f(z) = ctg z.
Особые точки – те, в которых . Эти точки являются простыми нулями знаменателя, так как . Числитель , поэтому точки ak - простые полюса. Вычеты находим по формуле : .
4. .
Особые точки – те, в которых . В этих точках предел знаменателя ; во всех точках ak, за исключением , числитель отличен от нуля, поэтому , следовательно, эти точки – полюса. Для определения порядка этих полюсов найдём порядок нуля знаменателя: , следовательно, эти полюса имеют второй порядок (при ). В точке функция представляет собой неопределённость , однако, если вспомнить, что , эта неопределённость раскрывается просто: , т.е. функция имеет конечный предел, следовательно, - устранимая особая точка.
Вычет в устранимой особой точке равен нулю, поэтому . В остальных точках применяем формулу при n = 2: (меняем переменную t = z - ak, )=
(к последнему пределу применяем правило Лопиталя) .
19.9.4. Основная теорема о вычетах. Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области , границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zn, расположенных внутри L. Тогда .
Док-во. Окружим каждую особою точку zk, k = 1, 2, …,n контуром таким, чтобы все контуры лежали в области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L, , функция аналитична, поэтому по 19.6.2.2. Теореме Коши для многосвязной области
. По определению вычета, , следовательно, , что и требовалось доказать.
Примеры вычисления интегралов с помощью основной теоремы о вычетах.
1. , где L - квадрат |x| + |y| = 2.
Обе особые точки подынтегральной функции: z1= 0 и - расположены внутри контура L, поэтому . Точка z1= 0 -полюс первого порядка, . Точка - нуль первого порядка и для числителя, и для знаменателя; докажем, что это - устранимая особая точка подынтегральной функции. Пусть , тогда , и , конечный предел существует, поэтому, действительно, это - устранимая особая точка, и . По основной теореме о вычетах .
2. . В примере 2 раздела 19.9.3.4. Примеры нахождения вычетов мы доказали, что точка z = 2 - существенно особая точка подынтегральной функции, и , поэтому .
3. . Здесь подынтегральная функция имеет две особых точки, расположенных в области, находящейся внутри контура: z1 = i (простой полюс) и z2 = - i (полюс второго порядка). , ; .
4. . Внутри контура расположена одна особая точка подынтегральной функции f(z): z = 0. Это - существенно особая точка, поэтому для нахождения вычета необходимо найти коэффициент A -1 разложения f(z) в ряд Лорана в окрестности этой точки. ; .
, однако нет необходимости выписывать произведение этих рядов, достаточно только собрать те попарные произведения, которые дают минус первую степень переменной z: . Легко сообразить, что это ряд для sh z при , т.е. , и .
19.9.5. Бесконечно удалённая особая точка. Будем считать точку особой точкой любой аналитической функции. В разделе 19.1.6. Окрестности точек плоскости мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат: . Точка является изолированной особой точкой аналитической функции w = f(z), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной , при этом точка переходит в точку , функция w = f(z) примет вид . Типом особой точки функции w = f(z) будем называть тип особой точки z1 = 0 функции . Если разложение функции w = f(z) по степеням z в окрестности точки , т.е. при достаточно больших по модулю значениях z, имеет вид , то, заменив z на , получим . Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки . Поэтому
1. Точка - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена A 0);
2. Точка - полюс n-го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым ;
3. Точка - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.
При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если - устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если - полюс, то этот предел бесконечен, если - существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный).
Примеры: 1. f (z) = -5 + 3 z2 - z 6. Функция уже является многочленом по степеням z, старшая степень - шестая, поэтому - полюс шестого порядка.
Этот же результат можно получить по-другому. Заменим z на , тогда . Для функции точка z1 = 0 - полюс шестого порядка, поэтому для f(z) точка - полюс шестого порядка.
2. . Для этой функции получить разложение по степеням z затруднительно, поэтому найдём : ; предел существует и конечен, поэтому точка - устранимая особая точка.
3. . Правильная часть разложения по степеням содержит бесконечно много слагаемых, поэтому - существенно особая точка. По другому этот факт можно установить исходя из того, что не существует.
Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке. Для конечной особой точки z1 , где - контур, не содержащий других, кроме z1, особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой стрелке). Определим аналогичным образом: , где - контур, ограничивающий такую окрестность точки , которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура . Изменим направление обхода контура : . По основной теореме о вычетах , где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому, окончательно, , т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком. Как следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов: если функция w = f(z) аналитична всюду в плоскости С, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zk, то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю.
Отметим, что если - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции , очевидно, ; z = 0 - единственная конечная особая точка этой функции, поэтому , несмотря на то, что , т.е. - устранимая особая точка.