19.4. Ряды с комплексными членами.
19.4.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.
19.4.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z1, z2, z3, …, zn, … .Действительную часть числа zn будем обозначать an, мнимую - bn
(т.е. zn = an + i bn, n = 1, 2, 3, …).
Числовой ряд - запись вида .
Частичные суммы ряда: S1 = z1, S2 = z1 + z2, S3 = z1 + z2 + z3, S4 = z1 + z2 + z3 + z4, …,
Sn = z1 + z2 + z3 + … + zn, …
Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут S = z1 + z2 + z3 + … + zn + … или .
Найдём действительные и мнимые части частичных сумм:
Sn = z1 + z2 + z3 + … + zn = (a1 + i b1) + (a2 + i b2) + (a3 + i b3) + … + (an + i bn) = (a1 + a2 + a3 +…+ an) +
, где символами и обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями. На этом утверждении основан один из способов исследования сходимости рядов с комплексными членами.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Выпишем несколько значений выражения : дальше значения периодически повторяются. Ряд из действительных частей: ; ряд из мнимых частей ; оба ряда сходятся (условно), поэтому исходный ряд сходится.
19.4.1.2. Абсолютная сходимость.
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.
Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, легко доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд (, поэтому ряды, образованные действительной и мнимой частями ряда , сходятся абсолютно). Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Ряд - ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки ( от теорем сравнения до интегрального признака Коши).
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Составим ряд из модулей (): . Этот ряд сходится (признак Коши ), поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
19.4.1.3. Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:
Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .
Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.
Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .
Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.
Сходящиеся ряды (А) и (В) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна .
Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.
Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.
Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим суммам и , то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна .
19.4.2. Степенные комплексные ряды.
Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида ,
где a0, a1, a2, …, an, - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), z0 - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку z0. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.
Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то
он абсолютно сходится в любой точке круга
| z - z0| < | z1 - z0|;
Если этот ряд расходится в точке z2, то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству | z - z0| > | z2 - z0| (т.е. находящейся дальше от точки z0, чем z2).
Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.
Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг - кругом сходимости. В точках границы этого круга - окружности | z - z0| = R радиуса R с центром в точке z0 - ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид . Возможны такие случаи:
1. Ряд сходится. В этом случае в любой точке окружности | z - z0| = R ряд сходится абсолютно.
2. Ряд расходится, но его общий член . В этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других - расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования.
3. Ряд расходится, и его общий член не стремится к нулю при . В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности.
Примеры.
1. . Ряд из модулей: . Признак Даламбера: . Радиус и круг сходимости определены. На границе круга сходимости – окружности |z – 4 + 5i| = 6 - ряд из модулей сходится, следовательно, исходный ряд абсолютно сходится в любой точке этой окружности.
2. . Ряд из модулей: . Признак Коши: .
На границе круга ряд из модулей имеет вид . Предел общего члена , поэтому ряд расходится в любой точке граничной окружности.
3. . Ряд из модулей: . Признак Даламбера: . На границе круга сходимости ряд из модулей расходится (интегральный признак Коши), однако общий член , поэтому в различных точках ряд может и сходиться, и расходится. Так, в точке z = – 5 + 7i (z + 6 - 7i = 1) ряд имеет вид и, как ряд Лейбница, сходится условно; в точке z = – 7(1 – i)
(z + 6 - 7i = - 1) ряд имеет вид , следовательно, расходится.
19.5. Элементарные функции комплексной переменной.
1. Степенная функция , - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n =1 w = x + iy, u = x, v = y, u’x = 1 = v’y, u’y = 0 = -v’x,
w’ = u’x + iv’x = 1 (или, непосредственно, ). Далее, дифференцируема как произведение дифференцируемых функций. Её производная w’ = nzn-1 отлична от нуля при , следовательно, отображение w = zn при n > 1 конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке z = 0 увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при n > 1 на всей плоскости С; для его однолистности в некоторой области необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора .
2. Показательная функция w = e z. Определим эту функцию предельным соотношением . Докажем, что этот предел существует при : , модуль этого числа обозначим Mn: , аргумент -: (при достаточно больших n дробь 1 + z /n лежит в правой полуплоскости). , следовательно, существует .
При мнимом z = iy (x = 0) отсюда следует, что e iy = cos y + i sin y, теперь формула Эйлера окончательно доказана.
Кратко перечислим свойства этой функции.
1. Функция w = e z аналитична на всей плоскости С, и (e z )’ = e z (доказано в разделе 19.3.3. Примеры вычисления производных).
2. (проверяется непосредственно).
3. Функция w = e z периодическая, с мнимым основным периодом ()
Из этого свойства следует, что для однолистности отображения w = e z необходимо, чтобы область D не содержала пары точек, связанных соотношением , такой областью является, например, полоса , преобразуемая в плоскость С с выброшенной положительной полуосью.
3. Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями , . Все свойства этих функций следуют из этого определения и свойств показательной функции. Эти функции периодичны с периодом , первая из них четна, вторая - нечетна, для них сохраняются обычные формулы дифференцирования, например, , сохраняются обычные тригонометрические соотношения (sin2z + cos2z = 1 - проверяется непосредственно, , формулы сложения и т.д.)
4. Гиперболические функции. Эти функции определяются соотношениями , . Из определений следует связь тригонометрических и гиперболических функций:
ch z = cos iz, sh z = - i cos iz, cos z = ch iz, sin z = - i sh iz, sh iz = i sin z, sin iz = i sin z.
5. Функция . Это n-значная функция (раздел 19.1.3), все значений которой даются формулами , k = 0, 1, 2, …, n-1. Функция определяется равенством .
6. Логарифмическая функция w = Ln z определяется при как функция, обратная показательной: w = Ln z, если z = e w. Если w = u + iv, то последнее равенство означает, что
e w = e u+ iv = e u e iv = z = | z | e i Arg z , откуда . Таким образом, - функция многозначная (бесконечнозначная); её значение при k = 0 называется главным и обозначается ln z: = ln |z| + i arg z. Так, , где k - произвольное целое число.
7. Общая показательная и общая степенная (а, z - произвольные комплексные числа, ) функции определяются соотношениями , и, следовательно, бесконечнозначны.
8. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции определяются так же, как и в действительном случае (w = Ar sh z, если sh z = w, например), и выражаются через
Ln z. Найдём, например, Arc cos(2i). По определению, это такое число w, что cos w = 2i, или . Так как , получаем две серии значений: ,
19.6. Интегрирование функций комплексной переменной.
Интегральная теорема Коши.
19.6.1. Интеграл от ФКП.
19.6.1.1. Определение. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривую точками
z0 = A, z1, z2, …, zn = B на n частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку tk, найдём f(tk) и составим интегральную сумму . Предел последовательности этих сумм при , если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек tk, называется интегралом от функции w = f(z) по кривой L и обозначается .
Теорема. Если функция w = f(z) непрерывна на кривой L, то она интегрируема по этой кривой.
Док-во. Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл: тогда , и сумма разобьётся на две . Каждая из этих сумм - интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода, соответственно, и . Если L - кусочно-гладкая кривая, w = f(z) - непрерывна (тогда непрерывны её координатные функции u(x, y) и v(x, y)), то существуют пределы этих сумм при - соответствующие криволинейные интегралы, следовательно, существует , и .
19.6.1.2. Свойства интеграла от ФКП. Мы доказали, что выражается через два действительных криволинейных интеграла второго рода, поэтому он обладает всеми свойствами этих интегралов:
1. - произвольные комплексные постоянные);
2. - кривые без общих внутренних точек):
3. - кривая, совпадающая с L, но проходимая в противоположном направлении;
4. Если l - длина кривой L, , то .
19.6.2. Интегральная теорема Коши. Это одна из основных теорем теории ФКП.
19.6.2.1. Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, w = f ( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f ( z) по L равен нулю: .
Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше,
, то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим вследствие условий Коши-Римана . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.
Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w = f(z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл имеет одинаковое значение.
Доказательство полностью повторяет доказательство Теоремы 1 раздела 16.3.3.5.1. Объединение кривых - замкнутый контур, поэтому .
Оказывается, что справедлива и обратная теорема Морера: если функция w = f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру, лежащему в D, равен нулю, то функция аналитична в области D.
19.6.2.2. Теорема Коши для многосвязной области. Если функция w = f ( z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L0 (внешняя граница), L1, L2, …, Lk, то интеграл от f ( z), взятый по полной границе области , проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.
Доказательство и здесь воспроизводит доказательство формулы Грина для многосвязной области. Рассмотрим случай, когда граница области (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L0 и внутренних контуров L1 и L2. Соединим контур L0 разрезом FM с контуром L1, разрезом BG - с контуром L2. Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши:
. Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.
В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом - по часовой. Мы доказали, что . Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении.
19.6.3. Первообразная аналитической функции. Если функция w = f ( z) аналитична в односвязной области D, то, как мы доказали, интеграл по кривой зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой. Если зафиксировать начальную точку z0, то интеграл будет зависеть только от конечной точки z, поэтому можно написать . Можно доказать (также, как мы доказывали существование потенциальной функции в односвязной области при выполнении условия ), что справедлива следующая
Теорема. Для любой аналитической в области D функции f ( z) интеграл является аналитической в D функцией, и F’(z) = f ( z).
Любая функция Ф(z) такая, что Ф’(z) = f(z), называется первообразной функции f ( z). Любые две первообразные отличаются не более, чем на постоянную, поэтому , откуда при z = z0 получаем C = Ф(z0), или . Таким образом, для аналитических функций справедлива формула Ньютона-Лейбница, и основные приёмы интегрирования, например: .
19.7. Теория интегралов Коши.
Мы доказали, что интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции равен нулю. Сейчас мы испортим функцию в одной-единственной точке z0 введением множителя ; поразительно, какие глубокие выводы получил Коши для интегралов вида .
19.7.1. Интеграл (). Возможные случаи: 1. Точка z0 лежит вне контура L. В этом случае подынтегральная функция аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром, и интеграл равен нулю при любых целых n.
2. . И здесь подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю
3. n = - 1, и точка z0 лежит в области, ограниченной контуром L. Сведём интеграл по контуру L к более простому интегралу по окружности с центром в точке z0 радиуса столь малого, что окружность лежит внутри L. В двухсвязной области, расположенной между L и , функция аналитична, поэтому (следствие из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области) . Правый интеграл вычислим напрямую. Как и при вычислении любого криволинейного интеграла, мы должны параметризовать кривую. Если z0 = x0 + iy0, то параметрические уравнения окружности радиуса с центром в точке (x0, y0) имеют вид Можно воспользоваться этими уравнениями, однако проще собрать их в комплексное число: (таково параметрическое уравнение окружности на комплексной плоскости С), тогда , и .
4. n = -2, -3, -4, … . Выкладки в этом случае такие же, как и в предыдущем. вследствие периодичности первообразной.
Итак, мы доказали, что при целом n не равен нулю в единственном случае - когда n = -1. В этом случае . Строго говоря, перебирая различные возможности, мы не рассмотрели вариант, когда точка z0 лежит на контуре L. В этом случае подынтегральная функция теряет определенность в точке z0, и необходима теория несобственных комплексных интегралов. В то же время очевидно, что если точка , находясь внутри контура L, то , если же извне контура L, то . Вообще эти вопросы - предмет теории Сохоцкого.
19.7.2. Интегральная формула Коши. Пусть w = f(z) аналитична в области D и L - замкнутая кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в D вместе с областью D1, которую она ограничивает. Тогда для каждой точки имеет место формула
.
Доказательство. Заметим, что в этой формуле функция в точке z0 портится как раз введением множителя . Доказательство очень похоже на доказательство того, что . Мы окружим точку z0 окружностью радиуса столь малого, что на f(z) мало отличается от f(z0): , тогда . Более строго, возьмём столь малым, что окружность радиуса с центром в f(z) лежит в D1. Функция w = f ( z) аналитична в двусвязной области, заключенной между L и , поэтому (следствие из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области) . Распишем последний интеграл: . Второй интеграл здесь равен . Первый интеграл а). не зависит от ( действительно, подынтегральная функция аналитична в области между и , где - окружность радиуса , и по тому же следствию из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области ; б). . Из этих утверждений а) и б) следует, что первый интеграл .
Докажем утверждение б). Обозначим , при этом, вследствие непрерывности функции, . Оценим по модулю (учитывая, что ): . Утверждение доказано. Доказана и интегральная формула Коши: .
Сформулируем несколько следствий из доказанной теоремы.
1. Значения аналитической в некоторой области функции полностью определяются её значениями на границе этой области. Этот факт можно сформулировать в виде теоремы о среднем. Возьмём такое, что окружность радиуса с центром в лежит в D1. Тогда , и . Поэтому справедлива
2. Теорема о среднем. Значение аналитической функции в каждой точке z0 равно среднему арифметическому её значений на любой окружности с центром в точке z0.
Теорема доказана в предположении, что точка z0 лежит внутри контура L. Если z0 находится вне контура, то , так как подынтегральная функция аналитична в .
3. Формула справедлива и для многосвязной области, если под кривой L подразумевать полную границу области. В дальнейшем нам понадобится такой вариант: f(z) аналитична в замкнутом кольце, ограниченном окружностями и . Тогда для всех z, лежащих внутри кольца, ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева. В последней формуле переобозначены переменные: .
19.7.3. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Запишем интегральную формулу Коши в переменных z, t: . Продифференцируем эту формулу по z: (на самом деле законность дифференцирования интеграла по параметру z требует обоснования; мы примем этот факт без доказательства). Продолжим дифференцирование: ; , и вообще . Следовательно:
Если функция f(z) имеет в каждой точке области D производную первого порядка ( т.е. аналитична в области D), то она имеет в этой области производную любого порядка (т.е. любая производная функции f(z) аналитична в области D). Это свойство существенно отличает аналитические ФКП от дифференцируемых функций действительной переменной.
19.7.4. Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов. Запишем формулы Коши в виде , . С помощью этих формул вычисляются интегралы от функций вида , где f(z) - аналитическая функция. Естественно, точка z0 должна лежать внутри контура L (если она лежит вне контура, подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю).
Примеры: 1. . Здесь f(z) = ez, z0 = 3 лежит внутри круга |z - 1| = 4, поэтому .
2. . Здесь внутри круга
L1 = { z| | z + 1| = 2} лежит точка z0 = 0, поэтому
f(z) = sin z/(z – 3) и .
3. . Здесь внутри круга
L2 = { z| | z - 2,5| = 1} лежит точка z0 = 3, поэтому f(z) = sin z/z и .
4. . Здесь внутри круга L3 = { z| |z| = 4} лежат обе точки и , но, по следствию из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области, .
5. . Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой при : .
19.8. Ряды Тейлора и Лорана.
19.8.1. Ряд Тейлора. Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, . Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: (так как
| z – z0| < | t – z0| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , так как . Итак,
.
Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана
Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, , то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z0)n. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | z – z0| < r, где r - расстояние от z0 до границы области D (до ближайшей к z0 точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.
Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.
19.8.1.1. Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:
;
;
;
;
;
Все эти ряды сходятся к своим функциям на всей плоскости (при ). Для геометрических прогрессий имеют место формулы
6. .
7. ;
8. .
То, что эти ряды сходятся при | z| < 1, понятно. Ближайшие к центру разложения z0 = 0 точки, в которых функции теряют аналитичность (граница области D) - это точки , в которых соответствующие функции неопределены.
9. .
В действительном случае вообще было непонятно, почему этот ряд перестаёт сходиться к f(x) при , ведь f(x) определена на всей действительной прямой. В комплексном случае это проясняется - на окружности расположены точки , в которых f(z) не определена.
При разложении многозначных функций необходимо выделить однозначную ветвь. Обычно задают значение функции в одной точке. Рассмотрим, например, функцию f(z) = ln (z + 1). , k - целое. Возьмём ту ветвь логарифма, для которой Ln 1 = 0 ( k = 0), т.е. главное значение логарифма f(z) = ln (z + 1). На этой ветви , поэтому , и
10. .
Точка, в которой функция теряет аналитичность (она в этой точке вообще не определена) - это z = -1, поэтому ряд сходится при |z| < 1.
Теперь рассмотрим биномиальный ряд для функции . Это (при любом комплексном ) общая степенная функция, поэтому (однозначная ветвь выделена тем, что взято главное значение логарифма); дальше находим производные: ; аналогично ; и т.д.; , поэтому
11. .
19.8.1.2. Решение задач на разложение функций в ряд Тейлора. Техника решения этих задач ничем не отличается от действительного случая (см. раздел 18.2.6.2). Рассмотрим, например, задачу 6 из этого раздела: разложить функцию по степеням z - 7. Так как степень знаменателя равна двум, сначала разложим в ряд функцию , затем почленно продифференцируем его: . Круг сходимости . На границе круга сходимости ряд из модулей расходится, и общий член не стремится к нулю, поэтому в каждой точке окружности ряд расходится. Далее, . Все выводы о круге сходимости и поведении ряда на его границе остаются справедливыми.
19.8.2. Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце . Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.7.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора: (так как | z – z0| < | t – z0| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где . Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на
| t – z0| < | z – z0| : . И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где . Переобозначим , тогда форма коэффициентов ряда для совпадёт с формой коэффициентов ряда для LR: поэтому окончательно для интеграла по получим . Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце , и точка расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области ; , поэтому для любого n , и
.
Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени z – z0), называется рядом Лорана функции f(z). Его часть, содержащая неотрицательные степени (), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z0| < R, главная - во внешности круга , поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце . Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.
Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл там, где функция теряет аналитичность. Рассмотрим
19.8.3. Примеры разложения функций в ряд Лорана.
Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции .
Здесь z0 = 2; функция теряет аналитичность в точках
z1 = 0, z2 = -4. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в z0 (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:
1. | z – 2| < 2; 2. 2 < | z – 2| < 6; 3. | z – 2| > 6. В каждой из этих областей разложение будет таким:
1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. - таково разложение f(z) на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них. , где | z – 2| < 2; ; это разложение справедливо, если | z – 2| < 6, т.е. в первой и второй областях. Окончательно в первой области . Этот ряд содержит только правильную часть.
2. В кольце 2 < | z – 2| < 6 знаменатель второй геометрической прогрессии (для дроби ) по модулю , поэтому разложение остаётся в силе. Для первой дроби, с учётом того, что , получим =. Это - главная часть ряда Лорана. Разложение имеет вид .
3. В кольце для первой дроби разложение такое же, как и в предыдущем случае: или . Для второй дроби . Ответ можно записать и в форме , и в форме . В этом разложении имеется только главная часть.
Пример 2. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .
Решение. Здесь функция теряет аналитичность только в точке , поэтому
. Главная часть здесь равна , остальные слагаемые образуют правильную часть.
Пример 3. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z + 2.
Решение. Здесь z0 = -2; функция теряет аналитичность только в точке z0 и в точке z1 = 2, отстоящей от z0 на расстоянии 4, поэтому имеется два кольца: 1. 0 < | z + 2| < 4 и 2. | z – 2| > 4. . Первый множитель уже представлен в виде суммы по степеням | z + 2|, работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции .
1. В первом кольце 0 < | z + 2| < 4 получаем , , ,

.
Это и есть искомое разложение в первом кольце. Его можно преобразовывать, например, собрать вместе члены с одинаковыми степенями z + 2, выделить главную часть: и т.д., но это уже не принципиально.
2. Во втором кольце | z + 2| > 4 получаем , , , .