19. Теория функций комплексной переменной.
19.1. Комплексные числа.
19.1.1. Определение комплексного числа.
Опр.19.1.1. Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy, где i- новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем i2 = -1.
Первая компонента комплексного числа z, действительное число x, называется действительной частью числа z, это обозначается так: x = Re z; вторая компонента, действительное число y, называется мнимой частью числа z: xy = Im z.
Опр.19.1.2. Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
.
Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".
Геометрически комплексное число z = x + iy изображается как точка с координатами ( x, y) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.
Опр.19.1.3. Суммой двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число z, определяемое соотношением z =(x1 + x2) + (y1 + y2) i, т.е. Re(z1 + z2) = Re z1 + Re z2, Im(z1 + z2) = Im z1 + Im z2.
Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.
Опр.19.1.4. Произведением двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число z, определяемое соотношением z = (x1x2 - y1y2) + (x1y2 + x2y1) i, т.е.
Re(z1 z2) = Re z1 Re z2 – Im z1 Im z2; Im(z1 z2) = Re z1 Im z2 + Im z1 Re z2.
Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью z1 = x1 + 0 i и z2 = x2 + 0 i получим
z1 + z2 = (x1 + x2) + (0 + 0) i , z1 z2 = (x1x2 – 0 0) + (0 x1 + 0 x2) i, т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с действительным числом x, равным действительной части комплексного числа, т.е. будем считать, что . Теперь действительные числа - подмножество множества комплексных чисел С. Далее, числа с нулевой действительной частью, т.е. числа вида z = 0 + yi = yi, называются мнимыми числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто как i: 0 + 1i = i; квадрат этого числа, по определению умножения, равен , что обосновывает данное в опр.19.1.1 свойство "мнимой единицы".
Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чисел Z имеет свойства, аналогичные аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):
I.1. z1 + z2 = z2 + z1;
I.2. (z1 + z2) + z3= z1 + (z2 + z3) ;
I.3. Существует такой элемент , что 0 + z = z для . Этот элемент – число 0 = 0 + 0i.
I.4. Для каждого элемента существует такой элемент - z, что z + (- z) = 0. Этот элемент - число – x - iy. Сумма чисел z1 = x1 + iy1 и - z2 = - x2 - iy2 и называется разностью чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2: z1 - z2 = z1 +(- z2) = (x1 - x2) + i (y1 - y2).
Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.
Опр.19.1.5. Число называется числом, сопряжённым к числу z = x + iy. Часто сопряжённое число обозначается также символом .
Опр.19.1.6. Действительное число называется модулем комплексного числа z = x + iy.
Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z; модуль разности чисел z1 и z2 равен расстоянию между этими точками: .
Найдём произведение сопряжённых чисел:
. Таким образом, - всегда неотрицательное действительное число, причём .
Для нахождения частного комплексных чисел домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: .
Для операции умножения справедливы свойства
II.1. ;
II.2. ;
II.3. Произведение числа на любое число равно z;
II.4. Для каждого числа существует такое число , что , ;
Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:
III.1. (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3.
Операция сопряжения имеет следующие свойства:
IV. .
Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть z1 = 2 - 3 i, z2 = 4 + 5 i. Тогда z1 + z2 = (2 – 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (-3 + 5) i = 6 + 2 i; z1z2 = (2 – 3i) (4 + 5i) = ; .
19.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число z как точку на плоскости с декартовыми координатами x, y. Если теперь перейти к полярным координатам , то , поэтому . Угол называется аргументом комплексного числа z и обозначается : . Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных ): если, например, , то значения , равные и т.д. тоже будут соответствовать числу z; значение аргумента, удовлетворяющее условиям , называют главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа z применяется символ : .
Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой числа.
Число 0 = 0 + 0i - единственное число, модуль которого равен нулю; аргумент для этого числа не определён.
Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: . Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:

При решении задач на перевод алгебраически заданного комплексного числа в тригонометрическую форму следует изобразить это число на комплексной плоскости С и, таким образом, контролировать полученный результат. Примеры: записать в тригонометрической форме числа , z2 = -1 – i, , ,
z5 = -5 – 3i. Решение: , , , , .
Более интересный пример: привести к тригонометрической форме число . Изобразим на комплексной плоскости С вместе с точкой точку . Из рисунка понятно, что , поэтому .
В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть , . Тогда

.
Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются.
Рассмотрим деление комплексных чисел. Очевидно, если , , то сопряженное число равно , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому . Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
19.1.3. Показательная форма комплексного числа. Ряд Маклорена для функции сходится к функции при любом действительном х. Формально запишем это разложение для :
Степени числа i: i 2 = -1; i 3 = i 2 i = - i ; i 4 = i 2 i 2 = 1 ; i 5 = i 4 i = i ; i 6 = i 2 = -1; далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо: i -1 = - i ; i - 2 = -1; i - 3 = i ; i -4 = 1 ; и т.д.). Поэтому . В круглых скобках стоят ряды для и , которые сходятся для любого действительного ; поэтому получаем . Эта формула называется формулой Эйлера. Теперь любое комплексное число можно представить как ; эта форма записи называется показательной. В этой форме умножение и деление комплексных чисел выполняются и интерпретируются также легко, как и в тригонометрической:
;
.
Индукцией по показателю степени легко доказывается формула Муавра: если , то , или, в показательной форме, . С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов кратных углов:
; в качестве второго примера выведем формулы для и : если , то, по формуле бинома Ньютона,

. С другой стороны, , поэтому, приравнивая действительные и мнимые части этих двух представлений пятой степени числа , получим , .
В заключение рассмотрим операцию извлечения корня n-ой степени из комплексного числа z. По определению, любое число w, такое, что w n= z, называется корнем n -ой степени из числа z. Пусть , . Тогда . Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому |w| n= |z|, n arg w n= Arg z, откуда , , при этом n различных значения корня n -ой степени из числа z получаются при k = 0, 1, 2, …, n-1.
Пример: найти все значения . Число в тригонометрической форме равно . Все пять значений корня даются формулой при k = 0, 1, 2, 3, 4. Они расположены на окружности радиуса . Значение, соответствующее k = 0, имеет аргумент , остальные расположены с интервалом по , равным , в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.
19.1.4. Сфера Римана. Бесконечно удалённая точка. Риман предложил применять для геометрического представления комплексной плоскости сферу. Вместе с координатами х, у в плоскости C рассмотрим трёхмерную прямоугольную систему координат , такую, что оси совпадают с осями х, у, а ось им перпендикулярна. Поместим в это пространство сферу единичного диаметра , касающуюся плоскости х, у в начале координат своим южным полюсом. Каждой точке поставим в соответствие точку сферы, получающуюся при пересечении луча, проведённого через точку z и северный полюс N сферы, со сферой. Очевидно, соответствие взаимно однозначно отображает плоскость С на сферу с единственной исключённой точкой - северным полюсом N. Такое соответствие называется стереографической проекцией.
Пополним комплексную плоскость С новым объектом - бесконечно удалённой точкой , которую будем считать прообразом северного полюса N при стереографической проекции. Такую пополненную плоскость будем называть замкнутой комплексной плоскостью и обозначать . Если не прибегать к стереографической проекции, то несобственная точка рассматривается как единственная предельная точка любой последовательности комплексных чисел таких, что , независимо от того, по какому пути точки последовательности удаляются от начала координат.
19.1.5. Задание кривых и областей на комплексной плоскости.
Так как равен расстоянию между точками z и z0, то
1. - уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0.
2. - замкнутая область, ограниченная этой окружностью, т.е. круг радиуса R с центром в точке z0, включающий свою границу.
3. - открытая область, состоящая из точек, находящихся вне круга радиуса R с центром в z0; круг не включен в эту область.
4. - эллипс, построенный на точках z1 и z2, рассматриваемых как фокусы (большая полуось равна 2а, малая - ) (рис. 1.). Области, лежащие внутри и вне эллипса, описываются соответствующими неравенствами.
5. - гипербола с фокусами в точках z1 и z2; расстояние между фокусами 2с= , между вершинами 2а (рис.2). Уравнение даёт ветвь гиперболы, расположенную ближе к фокусу z2; неравенство - открытую область, содержащую фокус z1 и ограниченную соответствующей ветвью гиперболы.
6. (или - прямая, параллельная оси Оу. - область, лежащая справа от этой прямой (включая прямую); - область слева от прямой (прямая не включена в область). (или - прямая параллельная оси Ох; , - области, расположенные выше и ниже этой прямой.
7. - луч, выходящий из точки под углом к оси Ох. - луч, выходящий из точки под углом к оси Ох. - область, расположенная между лучами, выходящими из точки (рис. 3.).
Пример построения области на комплексной плоскости, заданной системой неравенств:
построить область

Определим, какая область даётся неравенством : ,

поэтому - замкнутый круг радиуса 3 с центром в точке . Неравенство даёт область, находящуюся справа от правой ветвью гиперболы с полюсами , включающую эту ветвь. Параметры гиперболы: . Последнее неравенство определяет полуплоскость . В результате получаем заштрихованную область, изображённую на рисунке справа.
19.1.6. Окрестности точек плоскости . Под - окрестностью точки понимается открытый круг радиуса с центром в точке : . Проколотая окрестность точки - любая ее окрестность, из которой исключена сама точка : . - окрестность несобственной точки - это внешность круга радиуса с центром в начале координат (включающая саму точку ): . Проколотая - окрестность точки - множество .