Система філософії математики Аристотеля
К.Маркс назвав Аристотеля (384-322 р. до н.е.) "найбільшим філософом стародавності". Основні питання філософії, логіки, психології, природознавства, техніки, політики, етики й естетики, поставлені в науці Древньої Греції, одержали в Аристотеля повне і всебічне освітлення. У математиці він, очевидно, не проводив конкретних досліджень, проте найважливіші сторони математичного пізнання були піддані їм глибокому філософському аналізу, що послужило методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків.
До часів Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель порушив питання про необхідність впорядкування самого знання, про засоби засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основних поділи: "освіченість" і "наукове знання справи". Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладу методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу в якості ілюстрацій загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, який був його ідеал побудови системи математичних знань.
Вихідним етапом пізнавальної діяльності, відповідно до Аристотеля, є навчання, що з інших мистецтв набувається (саме) таким способом". Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати "усі ті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі" і обміркувати виниклі при цьому утруднення. Аналіз варто проводити з метою з'ясовування чотирьох питань: "що (річ) є, чому (вона) є, чи є (вона) і що (вона) є".
Основним принципом, що визначає всю структуру "наукового знання справи", є принцип зведення усього до початків і відтворення усього з початків. Універсальним процесом виробництва знань із початків, відповідно до Аристотелеві, виступає доказ. "Доказом же я називаю силогізм, - пише він, - який дає знання". Викладу теорії доказового знання цілком присвячений "Органон" Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати розділи, кожний із який розкриває одну з трьох основних сторін математики як науки, що доказує: "те, щодо чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться".
По-перше, він виділяє "початки, з котрих (що-небудь) доводиться, і такі, про котрі (доводиться)". Перші "суть загальні (всім початки)", другі - "властиві (лише даній науці), наприклад, число, розмір". У системі початків загальні займають головне місце, але їх недостатньо, тому що "серед загальних початків не може бути таких, із яких можна було б довести усе". Цим і пояснюється, що серед початків повинні бути "одні властиві кожній науці окремо, інші - загальні всім". По-друге, початки діляться на дві групи в залежності від того, що вони розкривають: існування об'єкта або наявність у нього деяких властивостей. По-третє, комплекс початків науки, що доказує, ділиться на аксіоми, припущення, постулати, вихідні визначення.
Вибір початків в Аристотеля виступає визначальним моментом побудови науки, що доказує; саме початки характеризують науку як дану, виділяють її з ряду інших наук. "Те, що доводиться", можна трактувати дуже широко. З одного боку, це елементарний силогізм, що доказує, і його висновки. З цих елементарних процесів будується будинок науки, що доказує, у виді окремо взятої теорії. З них же створюється і наука як система теорій. Проте не всякий набір доказів утворить теорію. Для цього він повинний задовольняти визначеним вимогам, що охоплюють як утримання доказуваних пропозицій, так і зв'язку між ними. У межах же наукової теорії необхідно має місце ряд допоміжних визначень, що не є первинними, але служать для розкриття предмета теорії.
Хоча питання методології математичного пізнання і не були викладені Аристотелем у якійсь окремій роботі, але по утриманню в сукупності вони утворять повну систему. У основі філософії математики Аристотеля лежить розуміння математичних знань як відбитка об'єктивного світу. Ця установка зіграла важливу роль у боротьбі Аристотеля з платоновим ідеалізмом; адже "якщо в явищах почуттєвого світу не знаходиться зовсім математичне, то яким чином можливо, що до них додаються його властивості?" - писав він. Зрозуміло, матеріалізм Аристотеля був непослідовним, у цілому його погляди в більшому ступені відповідали потребам математичного пізнання, ніж погляди Платона. У свою чергу математика була для Аристотеля одним із джерел формування ряду поділів його філософської системи.