Лекція 1.6
Закони розподілу випадкових похибок
У практиці вимірювань застосовуються різні закони розподілу випадкових похибок: трикутний, трапецієподібний, прямокутний, симетричний, нормальний. Проте найбільше значення має нормальний закон розподілу (закон Гаусса). Головна особливість нормального закону розподілу полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу при типових для вимірювання умовах, при п>?. Теорією ймовірностей доводиться, що густина ймовірностей суми незалежних малих складових при необмеженому збільшенні їх числа наближається до нормального закону розподілу незалежно від того, які закони розподілу мали ці складові. Якщо врахувати, що випадкова похибка є результатом дії великої кількості випадкових чинників, роль кожного з яких при точних вимірюваннях невелика, то стає зрозумілим значення нормального закону в теорії вимірювань.
Рівномірний розподіл. Якщо похибка вимірювання може мати з однаковою ймовірністю які завгодно значення, що не виходять за деякі межі , то така похибка описується рівномірним законом розподілу. При цьому щільність ймовірності похибки є постійною всередині цього інтервалу і дорівнює нулю поза ним. Рівномірний розподіл результатів спостереження х показаний на рис.1.


Рис.1. Рівномірний розподіл випадкової величини.
Для нього густину ймовірностей аналітично можна записати так:
при (1)
Рівномірний розподіл є безмодальним, тобто не має моди, його дисперсія і середньоквадратичне відхилення , а четвертий момент та контрексцес
З таким законом розподілу добре узгоджуються похибки від тертя в опорах електромеханічних приладів, невилучені залишки систематичних похибок, похибка дискретності в цифрових приладах, похибки розмірів в межах однієї групи сортування при селективному збиранні, похибки параметрів виробів, відібраних у вужчих, ніж технологічний допуск, межах.
Закон трикутного розподілу (закон Сімпсона). Вигляд кривої трикутного розподілу зображено на рис.2. За таким законом розподілені похибки суми (різниці) двох рівномірно розподілених величин.
Густина ймовірностей має такий аналітичний вираз:
при (2)

Рис.2. Диференційна функція трикутного розподілу
Трапецієвидний закон розподілу. Вид цього розподілу приведено на рис.3. Похибка має такий закон розподілу, якщо вона утворюється з двох незалежних складових, кожна із котрих має рівномірний закон розподілу, але з різною шириною своїх інтервалів.
При послідовному з’єднанні двох вимірювальних перетворювачів, один із котрих має похибку, рівномірно розподілену в інтервалі , а інший – похибку, рівномірно розподілену в інтервалі, загальна похибка перетворення буде описуватись трапецієвидним законом розподілу. Трикутний закон розподілу є частковим випадком трапецієвидного, коли .
Ці три закони розподілу мають обмежене застосування при оцінюванні результатів вимірювань, оскільки переважно похибки виникають через вплив великої кількості причин. В таких умовах розподіл похибок найкраще узгоджується з нормальним законом розподілу.

Рис.3. Диференційна функція трапецієвидного закону розподілу похибок
Нормальний закон розподілу (закон розподілу Гауса). Цей закон є одним із найпоширеніших законів розподілу похибок, що пояснюється центральною граничною теоремою теорії ймовірностей, котра твердить, що розподіл випадкових похибок буде близьким до нормального, якщо результати спостереження формуються під впливом великої кількості незалежних факторів впливу, кожний із котрих створює лише незначну дію в порівнянні із сумарною дією всієї решти.
Нормальний закон має такий вираз для диференційної функції розподілу
(3)
Із рівняння можна зробити висновок:
1) густина ймовірностей має максимум при ;
2) зі збільшенням похибки незалежно від знаку (функція парна) густина ймовірності прямує до нуля;

3) зі збільшенням середнього квадратичного відхилення ймовірність більших відхилень зростає, тобто розміри розсіюються в ширшому інтервалі.
Необхідно зауважити, що незважаючи на широке застосування нормального розподілу, він все–таки є лише моделлю реальних розподілів. До речі, він відмінний від нуля вздовж всієї нескінченності осі. Тому нормально розподілена випадкова величина, хоч із малими ймовірностями, але може приймати які завгодно великі значення. Хоча очевидно, що всі вимірювані фізичні величини завжди обмежені за абсолютним значенням.
Графічно ця функція показана на рис.4. для різних значень середнього квадратичного відхилення .

Рис.4. Диференційна функція нормального розподілу похибок.
Функція розподілу нормальної випадкової величини має такий вигляд
(4)
Крива розподілу буде змінюватись залежно від середнього квадратичного відхилення.
Як відомо, цей вираз нормованої функції отриманий за умови, що ітегральна функція нормального нормованого розподілу має такий вигляд:
, (5)
де аргумент z визначається, як і для t, діленням відхилення випадкової величини від математичного сподівання на середнє квадратичне відхилення (рис.5)::
. (6)

Рис.5. Інтегральна функція нормального розподілу
Центральна гранична теорема стверджує, що розподіл випадкових похибок буде близьким до нормального кожного разу, коли результати спостережень формуватимуться під впливом великої кількості незалежних чинників, кожен з яких справляє лише незначний вплив порівняно із сумарним впливом інших.
Диференційні функції при нормальному законі розподілу результатів спостережень мають дзвоноподібну симетричну форму і забезпечують добре унаочнення про розсіювання результатів вимірювань та випадкових похибок. При зменшенні середнього квадратичного відхилення ?1<?2<?3 межі розподілу результатів звужуються (рис. 6), а вершина дзвону диференціальної функції піднімається вгору. Ймовірність виникнення малих похибок збільшується, а великих — зменшується, тобто зменшується розсіювання результатів вимірювання відносно дійсної величини і зростає точність вимірювання. Чим точніше виконано вимірювання, тим вище підійматиметься крива розподілу випадкових похибок і зменшуватиметься значення середнього квадратичного відхилення.
Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю.
INCLUDEPICTURE "../../../Local%20Settings/Temp/Rar$EX06.609/refimages/image012.jpg" \* MERGEFORMATINET
Рис. 6. Криві нормального розподілу випадкових похибок при різних значеннях середнього квадратичного відхилення ?1<?2<?.
Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.
При відомому середньому геометричному значенні ? довірчі межі ставляться за нижньою межею -? і верхньою межею +?. Довірчий інтервал має вигляд
(Mх - ?;Mх+?), (7)
де Mх — середнє арифметичне значення результатів вимірювань.
Залежно від мети та точності вимірювань довірчі межі задаються -tp? або mx - tp? і + tp? або mx+tp?. Довірчий інтервал значення вимірюваної величини має вигляд
(Mх - tp?; Mx + tp?). (8)
Значення коефіцієнта tp визначається шляхом зворотнього інтерполювання інтегральної функції Ф(t) для вибраних довірчих ймовірностей при п>? наведені у табл.1.
Таблиця 1
Так, при нормальному розподілі похибок з ймовірністю 0,68, випадкові похибки ? знаходяться у довірчих межах ±1?; з ймовірністю 0,95 — у межах подвійної середньої квадратичної похибки ±2?; з ймовірністю 0,9973 — у межах ±3? (рис. 6).
INCLUDEPICTURE "../../../Local%20Settings/Temp/Rar$EX06.609/refimages/image013.jpg" \* MERGEFORMATINET
Рис. 6. Довірчі межі та довірчі ймовірності при нормальному законі розподілу
Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95.
Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.
Припустимо, що ? = к?, і визначимо ймовірності Р їх виявлення для таких значень к: 0,5; 1; 2; 3; 4; 5; 5 .
Загальна сума результатів спостережень з випадковими похибками до ? ? 3? дорівнює 99,73 %. Звідси виникає правило 3?, за яким при нормальному розподілі результати спостережень, випадкові похибки яких більші або рівні ? ? 3?, можна виключити з ряду результатів, оскільки ймовірність їх появи дуже мала.