Лекція 1.5.
Основні поняття теорії випадкових похибок.
Характеристики випадкових похибок.
Моменти випадкових похибок
Випадкову похибку розглядають як випадкову подію.Під подією в теорії ймовірності розуміється всякий факт, який у результаті випробувань може відбутися або не відбутися.
Щоб кількісно порівнювати між собою події за ступенем неможливості, потрібно з кожною подією зв'язати певне число, яке тим більше, чим більше можлива подія. Таке число називається імовірністю події. Імовірність події є чисельна міра ступеня об'єктивної можливості цієї події, а конкретніше поняття ймовірності події в самій своїй основі пов'язане з дослідним, практичним поняттям частоти події.
Як одиницю виміру приймемо ймовірність достовірної події й припишемо їй ймовірність, рівну 1. Тоді ймовірності інших можливих, але не достовірних подій будуть характеризуватися ймовірностями, меншими за 1. Природно, що ймовірність неможливої події дорівнює 0.
Якщо є можливість зробити експерименти й порахувати, скільки випадкових результатів експерименту привели до появи події А, то можна оцінити ймовірність події А за формулою
EMBED Equation.DSMT4 , (1)
де Р(А) - імовірність події А; n - загальне число можливих результатів експерименту, m - число результатів експерименту, які привели до появи події.
З формули (1) видно, що
EMBED Equation.DSMT4 .
Основні теореми ймовірностей
1. Повна група подій. Кілька подій у даному випробуванні утворять повну групу подій, якщо в результаті випробування неодмінно повинна з'явитися хоча б одна з них.
2. Несумісні події. Кілька подій називаються неспільними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть з'явитися разом.
3. Рівноможливі події. Кілька подій у даному випробуванні називається рівноможливими, якщо є підстава вважати, що жодна з цих подій не є об'єктивно більше можлива, ніж інші.
4. Протилежними подіями називаються дві неспільних події, що утворять повну групу.
5. Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулася подія В чи ні.
6. Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність події А міняється залежно від того, відбулася подія В чи ні.
7. Сумою двох подій А і В називається подія С, що має місце при виконанні події А або події В, або обох разом.
8. Сумою декількох подій називається подія, що має місце при появі хоча б однієї з цих подій.
9. Добутком двох подій А і В називається подія С, що має місце при спільному виникненні події А і події В.
10. Добутком декількох подій називається подія, що складається в спільній появі всіх цих подій.
Теорема додавання ймовірностей
Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій
EMBED Equation.DSMT4 .
Методом повної індукції можна узагальнити теорему додавання на довільне число несумісних подій
EMBED Equation.DSMT4 .
Наслідок 1. Якщо події EMBED Equation.DSMT4 утворюють повну групу неспільних подій, то сума їхніх ймовірностей дорівнює одиниці
EMBED Equation.DSMT4 .
Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці
EMBED Equation.DSMT4 .
Найуніверсальнішим способом опису випадкової похибки як випадкової величини є знаходження закону розподілу.
Закон розподілу випадкових величин
Випадкову похибку розглядають як випадкову подію з певною ймовірністю. Розглянемо випадкову дискретну величину Х с можливими значеннями x1, x2, …, xn. Великі букви - випадкові величини. Малі букви - їхні можливі рішення.
Випадкова величина може приймати в кожному досліді тільки одне EMBED Equation.3
Позначимо імовірність відповідних подій через Pi
EMBED Equation.3 , розглянуті події утворять повну групу несумісних подій, тому EMBED Equation.3 .
Розподілом випадкової величини називається характеристика, яка показує не тільки, які можливі значення приймає випадкова величина, але і їх ймовірності.
Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і відповідними імовірностям
Найпростішою формою запису законів розподілу є таблиця виду, яка називається рядом розподілу:
Графічне представлення цієї таблиці називається багатокутником розподілу

Багатокутник і ряд розподілу цілком характеризує випадкову величину і є однією з форм законів розподілу.
Інтегральна функція розподілу – це функція F(x), яка визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше х : F(x)=P(X<x). Геометричний зміст інтегральної функції розподілу – це ймовірність того, що випадво величина прийме значення лівіше від х.
F(x) - універсальна характеристика випадкової величини, вона існує для усіх випадкових величин як дискретних так і безперервних.
Основні властивості функції розподілу
Функція розподілу F(x) є неспадна функція свого аргументу, тобто при x2>x1 - F(x2)?F(x1)
При EMBED Equation.3 функція розподілу F(x)=0 тобто F( EMBED Equation.3 )=0
При EMBED Equation.3 F(x)=1 тобто F( EMBED Equation.3 )=1
EMBED Equation.3
Якщо всі значення випадкової величини належать інтервалу (?, ?), то
при EMBED Equation.3 функція розподілу F(x)=0 ,
при EMBED Equation.3 функція розподілу F(x)=1.
6. Графік інтегральної функції F(x) розподілу має вигляд

Диференційна функція розподілу – або густина розподілу – це перша похідна від інтегральної функції розподілу EMBED Equation.3 .
Властивості: густина розподілу визначена тільки для безперервної випадної величини.
EMBED Equation.3
Графік диференційної функції розподілу називають кривою розподілу. Площа обмежена кривою диференційної функції розподілу і віссю абсцис дорівнює 1, і ймовірність попадання результату спостереження і випадкової похибки у заданий інтервал дорівнює цій площі. За кривою розподілу випадкових похибок можна визначити, які значення випадкових похибок більш ймовірні, які менш ймовірні.
Функція розподілу результатів вимірювань чи похибок є універсальним способом розміщення випадкових похибок навколо істинного значення, але для їх визначення необхідно проводити складні дослідження і обчислення, тому суттєві особливості випадкових похибок описують за допомогою спеціальних числових характеристик. До них відносяться
характеристики центру розподілу результатів похибок: математичне сподівання, мода, медіана;
характеристика розсіювання випадкових похибок відносно істинного значення : дисперсія, середнє квадратичне відхилення.
характеристики характеру кривої розподілу.
Найважливішою характеристикою положення є математичне сподівання, яке показує середнє значення випадкової величини
Математичне сподівання величини Х позначають М[X] або mx.
Для дискретних випадкових величин М[X] визначається як сума добутків відповідних значень на їх ймовірність:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Теоретико-ймовірнісний зміст математичного сподівання – приблизно дорівнює середньому арифметичному значень випадкової величини:
EMBED Equation.3
Властивості математичного сподівання:
Математичне сподівання сталої дорівнює сталій
EMBED Equation.3 ;
2) EMBED Equation.3 ;
3) EMBED Equation.3 X,Y випадкові величини;
4) EMBED Equation.3 X,Y випадкові величини.
Модою (Mod) випадкової величини Х називають її найбільшймовірне значення. За модою розподіл може бути одномодальним та багатомодальним або без модальним (див.рис.3). Одномодальний розподіл – розподіл, коли найбільшу ймовірність має одне значення.
Для дискретної випадкової величини.

Рис.3. Одномодальний розподіл.
Багатомодальний – конкретніше двохмодальний розподіл представлений на рис. 4.

Рис. 4. Двохмодальний розподіл.
Медіаною (Med) випадкової величини Х називають таке значення,
розподілу Med може бути тільки одна. Med разділяє площу под кривою розподілу на 2 рівні частини. У випадку одномодального і симметричного розподілу mx=Mod=Med, в інших випадках співпадіння немає, див. рис5.

Рис.5.Співідношення між харарктеристиками центру розподілу.
Моменти.
Найчастіше для характеристики випадкових величин застосовуються моменти двох видів початкові і центральні.
Початковий момент. k-го порядку
- дискретной случайной величины Х называется сумма вида:
EMBED Equation.3
-безперервної випадкової величини Х називаєтся інтеграл виду EMBED Equation.3 .
Очевидно, що математичне сподівання випадкової величини - це початковий момент першого порядку EMBED Equation.3
Центрованою випадковою величиною називають відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання:
EMBED Equation.3 .
Математичне сподівання центрованої випадкової величини рівне 0.
Для дискретної випадкової величини отримуємо:
EMBED Equation.3

Рис.6. Розподіли центрованої і нецентрованої величин.
Моменти центрованої випадкової величини називають центральними моментами.
Центральний момент k –го порядку випадкової величини Х -це математичне сподівання k –го порядку відповідної центрованої випадкової величини
EMBED Equation.3
Для дискретної випадкової величини:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Для безперервної випадкової величини:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Зв’язок між центральними і початковими моментами різних порядків.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Із всіх моментів в якості характеристики випадкової величини найчастіше використовують перший момент (мат. сподівання) EMBED Equation.3 і
другий центральный момент EMBED Equation.3 , який називають дисперсією випадкової величини.
Дисперсія випадкової величини – характеризує розсіювання випадкової величини відносно математичного сподівання, позначається
EMBED Equation.3 .
За означенням: EMBED Equation.3 .
Для дискретної випадкової величини: EMBED Equation.3
Для безперервної випадкової величини: EMBED Equation.3
Дисперсія має размірність квадрата випадкової величини. Для наочної характеристики розсіювання зручніше застосовувати величину з розмірністю випадкової величини. Тому з дисперсії добувають корінь, який називають середньоквадратичним відхиленням (СКВ) випадкової величини і позначають
EMBED Equation.3
Отже: EMBED Equation.3
Властивості дисперсії:
1) EMBED Equation.3 ;
2) EMBED Equation.3 ;
3) EMBED Equation.3 X,Y - незалежні випадкові величини;
4) EMBED Equation.3 .
Інші моменти вищих порядків дають можливість визначити додаткові характеристики розподілу, зокрема характеризують форму кривої розподілу. Це такі як асиметрія і ексцес. Вводяться коефіцієнти асиметрії EMBED Equation.3 і ексцесу EMBED Equation.3 (гостро- чи плосковершинності) розподілу (рис.7,8), які визначаються відповідно:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .

Рис.7.Розподіли з різними коефіцієнтами ексцесу.

Рис.8.Розподіли з різними коефіцієнтами асиметрії.