Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь
Диференціальним називається рівняння, в яке входять похідні невідомої функції.
Приклад:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (1)
EMBED Equation.3 (2)
Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1) . ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних. Ми розглянемо методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь.
Порядком ДР називається найвищий порядок похідної ( або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР) EMBED Equation.3-го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні (або диференціал) до EMBED Equation.3-го порядку включно:
EMBED Equation.3 (3)
EMBED Equation.3 - незалежна змінна;
EMBED Equation.3- невідома функція (залежна змінна);
EMBED Equation.3- похідні цієї функції.
Диференціальне рівняння EMBED Equation.3-го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
EMBED Equation.3 (4)
Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної.
Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші.
Якщо ці значення задаються при EMBED Equation.3 або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою.
Значення залежної змінної та її похідних називаються ще додатковими умовами.
В задачі Коші додаткові умови називаються початковими.
В крайовій задачі - граничними.
Задача Коші
Задача Коші формулюється так :
Нехай задане ДР
EMBED Equation.3 (5)
з початковими умовами EMBED Equation.3. Потрібно знайти функцію EMBED Equation.3, що задовольняє дане рівняння, та початкову умову. Чисельний розв’язок цієї задачі одержують так. Спочатку обчислюють значення похідної, потім задаючи малий приріст EMBED Equation.3, переходять до нової точки
EMBED Equation.3
Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива EMBED Equation.3. Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної.
Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші.
Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій EMBED Equation.3 потрібна інформація лише про попередній крок.
Однокроковими є метод Ейлера та методи Руте-Кутта.
Багатокрокові (або методи прогнозування та коригування). Для знаходження наступної точки кривої EMBED Equation.3 вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок. До них належать методи Адамса, Мілна, Хеммінга.
Це чисельні методи розв’язування ДР. Вони дають розв’язок у вигляді таблиці значень.
Метод Ейлера
Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду
EMBED Equation.3 (1)
Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку. Точність його не велика.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3- настільки мале, що значення
EMBED Equation.3 функції EMBED Equation.3 мало відрізняється від
EMBED Equation.3 лінійної функції
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3- тангенс кута нахилу дотичної в EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
x
h
Тобто крива заміняється дотичними. Рух відбувається не по інтегральній кривій, а по відрізках дотичної .
Метод Ейлера базується на розкладі функції EMBED Equation.3 в ряд Тейлора в околі точки EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (2)
Якщо EMBED Equation.3 мале, то, члени розкладу, що містять в собі EMBED Equation.3 і т.д. є малими високих порядків і ними можна знехтувати.
Тоді EMBED Equation.3 (3)
ПохіднуEMBED Equation.3 знаходимо з рівняння (1), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні EMBED Equation.3 від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співвідношення.
EMBED Equation.3,
роблячи як завгодно багато кроків.
Похибка методу має порядок EMBED Equation.3, оскільки відкинуті члени, що містять EMBED Equation.3 в другій і вище степенях.
Недолік методу Ейлера - нагромадження похибок, а також збільшення об’ємів обчислень при виборі малого кроку EMBED Equation.3 з метою забезпечення заданої точності.
В методі Ейлера на всьому інтервалі EMBED Equation.3 тангенс кута нахилу дотичної приймається незмінним і рівним EMBED Equation.3. Очевидно, що це призводить до похибки, оскільки кути нахилу дотичної в точках EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 різні. Точність методу можна суттєво підвищити, якщо покращити апроксимацію похідної.
Це можна зробити, якщо, наприклад, використати середнє значення похідної на початку та в кінці інтервалу. В т.з. модифікованому методі Ейлера (метод Ейлера з перерахунком) спочатку обчислюється значення функції в наступній точці за звичайним методом Ейлера.
EMBED Equation.3 (4)
Воно використовується для обчислення наближеного значення похідної в кінці інтервалу EMBED Equation.3 .
Обчисливши середнє між цим значенням похідної та її значенням на початку інтервалу, знайдемо більш точне значення EMBED Equation.3:
EMBED Equation.3 (5)
Цей прийом ілюструється на рисунку.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 xn h/2 xn+1
Принцип модифікованого методу можна пояснити інакше. Якщо в розкладі в ряд Тейлора зберегти член з EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (6)
Замість другої похідної EMBED Equation.3 можна використати наближення кінцевою різницею
EMBED Equation.3 (7)
EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Підставивши (7) в (6) одержимо
EMBED Equation.3 (8)
Що співпадає по формі з (5). Відмінність між (8) та (5): в (5) точне значення похідної EMBED Equation.3 замінимо на EMBED Equation.3. Похибка при такій заміні має порядок EMBED Equation.3.
Відмітимо, що за підвищення точності доводиться платити додатковими затратами машинного часу.
В обчислювальній практиці використовується також метод Ейлера-Коші з ітераціями:
знаходиться грубе початкове наближення (за звичайним методом Ейлера)
EMBED Equation.3
будується ітераційний процес
EMBED Equation.3 (9)
Ітерації продовжують до тих пір, доки два послідовні наближення не співпадуть з заданою похибкою EMBED Equation.3. Якщо після декількох ітерацій співпадання нема, то потрібно зменшити крок EMBED Equation.3.
EMBED Equation.3
Тобто в модифікованому методі Ейлера, в методі Ейлера-Коші з ітераціями спочатку (на першому етапі) знаходиться наближення для EMBED Equation.3, а потім воно вже коригується за формулами (5) або (9).
Історичні відомості: Ейлер
Леонард Ейлер (1707 – 1783) народився і виховувався в Базелі (Швейцарія). Одним із його вчителів був Йоганн Бернуллі. Роки по тому Бернуллі відзивався про Ейлера, як про “найзнаменитішого і наймудрішого математика”. Ейлер писав і публікувався з великою продуктивністю: майже 600 книг і статей на протязі життя. Його вплив був настільки великим, що по крайній мірі в математиці, вісімнадцяте століття можна назвати епохою Ейлера. Ейлер зробив вклад не тільки в математику, але і в фізику, астрономію гідродинаміку, оптику, в теорію електроніки і магнетизму. В 1768 він запропонував метод рішення початкових задач. Він також ввів багато із звичних на сьогодні математичних позначень, в тому числі символ е для основи натурального логарифма, і для EMBED Equation.3 , ?у для кінцевої різниці, ? для суми, запропонував символ f використовувати разом з дужками для позначення функції, а також придумав назву для тригонометричних функцій, які використовуються і сьогодні.
Ейлер 14 років працював в Російській академії наук, в Санкт-Петербурзі. Потім він переїхав в Берлін і працював в Берлінській академії до того часу, доки розбіжності з королем Фрідріхом Великим не змусили його повернутись в Росію, де він і провів останні роки свого життя. Він ніколи не повертався в Базель, покинутий ним у 1727 році.
Талановиті і удачливі люди дуже часто беруться за безліч проблем; Ейлер не був винятком. Він працював в області суднобудування, входив до різноманітних технічних комітетів, займався перевіркою засобів для зважування і пожежних помп, керував складанням календарних і географічних карт, слідкував за ботанічними садами. Він надто рано відмовився від першочергових намірів стати міністром, однак його інтерес до релігії і гуманітарної діяльності давав йому достатню перспективу по відношенню до інших напрямків життя. У Ейлера була чудова пам’ять. В 1771 р. в результаті хвороби він став сліпим, проте майже половина його наукової роботи написана після цієї дати, і у віці семидесяти років він міг точно відтворити перші і останні рядки кожної сторінки вергілієвської “Енеїди”, яку він вивчив на пам’ять, коли був молодим. Після смерті Ейлера на його могилі на лютеранському цвинтарі Санкт-Петербурга був встановлений масивний монумент.
Метод Рунге – Кутта четвертого порядку
Метод Рунге-Кутта об’єднує ціле сімейство методів розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку. Найбільш часто використовується метод четвертого порядку, який просто називають “ методом Рунге-Кутта”.
В методі Рунге-Кутта значення EMBED Equation.3EMBED Equation.3 функції EMBED Equation.3, як і в методі Ейлера, визначається за формулою
EMBED Equation.3 (1)
Якщо розкласти функцію EMBED Equation.3 в ряд Тейлора і обмежитись членами до EMBED Equation.3 включно, то приріст EMBED Equation.3 можна записати у вигляді
EMBED Equation.3 (2)
Замість того, щоб обчислювати члени ряду за формулою (2) в методі Рунге-Кутта використовують наступні формули.
EMBED Equation.3
Це метод четвертого порядку точності.
Похибка на кожному кроці має порядок EMBED Equation.3.Таким чином метод Рунге-Кутта забезпечує значно вищу точність ніж метод Ейлера, однак вимагає більшого об’єму обчислень ніж метод Ейлера. Це досить часто дозволяє збільшити крок EMBED Equation.3.
Деколи зустрічається інша форма представлення методу Рунге-Кутта 4-го порядку точності.
EMBED Equation.3
Знайти розв’язок задачі Коші
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Для порівняння точності різних методів розв’язування наведемо такий приклад:
EMBED Equation.3
Точний розв’язок
EMBED Equation.3
В більшості стандартних програм ЕОМ найчастіше використовується (схема) метод четвертого порядку (Рунге-Кутта).
Система звичайних диференціальних рівнянь
Система EMBED Equation.3 рівнянь першого порядку з EMBED Equation.3 невідомими функціями має вигляд:
EMBED Equation.3 (1)
де EMBED Equation.3 - незалежна змінна; EMBED Equation.3 - невідомі функції. Це система в нормальній формі, або нормальна система.
Розв’язком системи називається будь-яка система функцій EMBED Equation.3, що має похідні першого порядку і перетворює рівняння системи в тотожності по EMBED Equation.3.
Приклад. Розв’язком системи
EMBED Equation.3
з початковими умовами EMBED Equation.3 є функції EMBED Equation.3
Справді
EMBED Equation.3.
Підставляємо вирази EMBED Equation.3в систему рівнянь, одержимо два тотожних рівняння
EMBED Equation.3
Рівняння EMBED Equation.3-ого порядку
EMBED Equation.3
завжди можна звести до системи рівнянь першого порядку. З цією метою позначимо шукану функцію EMBED Equation.3 через EMBED Equation.3 і приймемо EMBED Equation.3 за нові невідомі.
EMBED Equation.3
Складаємо систему диференціальних рівнянь для функцій EMBED Equation.3.
Маємо
EMBED Equation.3
Тому для функцій EMBED Equation.3 одержимо наступну нормальну систему диференціальних рівнянь:
EMBED Equation.3
причому
EMBED Equation.3
Приклад.
EMBED Equation.3
Проведемо заміни:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таким чином, задача Коші для ЗДР EMBED Equation.3-порядку з відповідними початковими умовами може бути зведена до розв’язку задачі Коші для системи EMBED Equation.3 диференціальних рівнянь першого порядку.
Праві частини рівнянь цієї системи в програмі, яка реалізує який -небудь чисельний метод, записуються у вигляді підпрограми. Наприклад, для системи ЗДР.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3
Підпрограма буде мати наступний вигляд:
EMBED Equation.3
Тобто:
EMBED Equation.3функція EMBED Equation.3
Алгоритм реалізації методу Рунге-Кутта заключається в циклічних обчисленнях значень функцій EMBED Equation.3 на кожному кроці EMBED Equation.3 по наступних формулах:
EMBED Equation.3
Або при іншій формі представлення методу:
EMBED Equation.3
Нехай дана така система звичайних диференціальних рівнянь
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
program r_k
const n=2; (порядок системи рівнянь)
h=0.01
a=0;b=1
type vector=array[1..n] of real;
var i:integer;
x: real;
y,f: vector;
procedure dy; (праві частини рівнянь)
begin
f[1]:=y[2];
f[2]:=(y[1] – у[2])*x – y[1]
end;
{ПРОЦЕДУРА РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ
РІВНЯНЬ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА 4-ГО ПОРЯДКУ)
procedure rk;
var k1,k2,k3,k4,z: vector;
begin
dy;
for i:=1 to n do
begin
k1[i]:=f[i]
z[i]:=y[i];
y[i]:=z[i]+0.5*h*k1[i];
end;
x:=x+0.5*h;
dy;
for i:=1 to n do
begin
k2[i]:=f[i];
y[i]:=z[i]+0.5*h*k2[i];
end;
dy;
for i:=1 to n do
begin
k3[i]:=f[i];
y[i]:=z[i]+h*k3[i];
end;
x:=x+0.5*h;
dy;
for i:=1 to n do
begin
k4[i]:=f[i];
y[i]:=z[i]+h*(k1[i]+k4[i]+2*(k2[i]+k3[i]))/6;
end;
end;
BEGIN
for i:=1 to n do
begin
writeln (‘ПОЧАТКОВЕ ЗНАЧЕННЯ Y(‘,I,’)=’);
read (y[i]);
end;
x:=a;
repeat
rk;
writeln (‘x=’,x, ’y1=’,y[1], ’y2=’,y[2]);
until x>b;
END.
Методи з автоматичною зміною кроку
Застосовуються в тому випадку, якщо розв’язок потрібно одержати із заданою точністю. При високій точності (похибка EMBED Equation.3) автоматична зміна кроку забезпечує зменшення загального числа кроків в декілька разів (особливо при розв’язках у вигляді кривих, що сильно відрізняються крутизною).
Метод Рунге-Кутта з автоматичною зміною кроку
Після обчислення EMBED Equation.3 з кроком EMBED Equation.3 всі обчислення виконуються повторно з кроком EMBED Equation.3. Після цього порівнюються результати, отримані в точці хn+1 з кроком EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3. Якщо модуль різниці менший EMBED Equation.3, то обчислення продовжуються з кроком EMBED Equation.3, в іншому випадку крок зменшують. Якщо нерівність дуже сильна, то крок збільшують.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Маємо EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 значення незалежної змінної в точці EMBED Equation.3
EMBED Equation.3- значення функції в точціEMBED Equation.3
EMBED Equation.3- значення функції в точці EMBED Equation.3, обчислене з кроком EMBED Equation.3
EMBED Equation.3- значення функції в точці EMBED Equation.3, обчислене з кроком EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - значення функції EMBED Equation.3, обчислене з кроком EMBED Equation.3
1) Якщо
EMBED Equation.3
обчислення повторюються з кроком EMBED Equation.3 і т.д., доки не виконається умова ¦Y(I) –Y1(I)¦? ?.
2) Якщо виконується ця умова, то можливі два варіанти, в залежності від значення K, де K – ознака поділу кроку.
Початкове значенняEMBED Equation.3і залишається таким після першого поділу кроку на два. Надалі, якщо крок ділиться, то K приймає значення одиниці.
а) Якщо EMBED Equation.3, то навіть коли виконалась умова EMBED Equation.3, крок не змінюється , тобто лишається тим самим (обчислення далі проводяться з попереднім кроком).
б) Якщо EMBED Equation.3 і виконалась умова EMBED Equation.3, тоді EMBED Equation.3.
В обох випадках а) і б) результат Y(I) виводиться на друк.
Метод Рунге-Кутта-Мерсона з автоматичною зміною кроку
Метод дозволяє оцінити похибку на кожному кроці інтегрування. Похибка інтегрування має порядок EMBED Equation.3. При цьому не потрібно зберігати в пам’яті обчислення значень функцій на кроці EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 для оцінки похибки - перевага порівняно з методом Рунге-Кутта з автоматичною зміною кроку.
Алгоритм методу
1. Задаємо число рівнянь EMBED Equation.3, похибку EMBED Equation.3, початковий крок інтегрування EMBED Equation.3, початкові умови EMBED Equation.3.
2. За допомогою п’яти циклів з керуючою змінною EMBED Equation.3 обчислюємо коефіцієнти
EMBED Equation.3
3. Знаходимо значення
EMBED Equation.3
та похибку
EMBED Equation.3
4. Перевіряємо виконання умов
EMBED Equation.3
Можливі випадки:
а) Якщо перша умова не виконується, тобто ¦Rj(n+1)¦< ?, то ділимо крок EMBED Equation.3 на 2 та повторюємо обчислення з п.2, встановивши початкові значення EMBED Equation.3.
б) Якщо виконується перша та друга умови, значення EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 виводяться на друк.
Якщо друга умова не виконується, крок EMBED Equation.3 збільшується вдвічі і тоді обчислення знову повторюється з п.2 (нема потреби обчислювати при малому кроці).
Треба відмітити, що похибка EMBED Equation.3 на кожному кроці методу Рунге-Кутта-Мерсона оцінюється приблизно. При розв’язуванні нелінійних ДР істинна похибка може відрізнятися в декілька разів від заданої EMBED Equation.3.
EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3.
EMBED Equation.3 - крок поділити на 2 і повернутися на початок.
EMBED Equation.3для всіх рівнянь: виводимо на друк EMBED Equation.3 , а крок збільшуємо удвічі.
Метод Рунге-Кутта-Фельдберга з автоматичною зміною кроку
Це метод четвертого порядку, дає більш точну оцінку похибки (порівняно з методом Рунге-Кутта-Мерсона) на кожному кроці і реалізується послідовним циклічним обчисленням за наступними формулами:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Похибка
EMBED Equation.3
Якщо
а) EMBED Equation.3, крок EMBED Equation.3 зменшується в двічі
б) Якщо EMBED Equation.3 збільшується вдвічі.
Час розрахунку для однієї точки удвічі більший, ніж для методу Рунге-Кутта-Мерсона.
Загальна характеристика однокрокових методів
1) Щоб одержати інформацію в наступній точці, потрібно мати дані лише в одній попередній точці. Цю властивість деколи називають “самостартування”.
2) В основі всіх однокрокових методів лежить розклад функцій в ряд Тейлора, в якому зберігаються члени, котрі містять EMBED Equation.3 в степені до EMBED Equation.3 включно. Ціле числоEMBED Equation.3 називають порядком методу. Похибка на кроці має порядок EMBED Equation.3.
3) Всі однокрокові методи не потребують дійсного обчислення похідних - обчислюється лише сама функція. Однак можуть бути потрібні її значення в декількох проміжних точках, що викликає додаткові затрати машинного часу.
4) Властивість “самостартування” дозволяє легко змінювати значення кроку EMBED Equation.3.
Жорсткі задачі
Деякі звичайні диференціальні рівняння не вирішуються ні одним із розглянутих методів.
Стала часу диференціального рівняння першого порядку - це проміжок часу, по закінченні якого величина нестаціонарної частини рішення зменшується в EMBED Equation.3 разів. В загальному випадку диференціального рівняння EMBED Equation.3- порядку має EMBED Equation.3 постійних часу. Якщо будь-які дві з них сильно відрізняються по величині або якщо одна з них достатньо мала порівняно з інтервалом часу, для якого шукається розв’язок, то задача називається жорсткою і її практично неможливо розв’язати звичайними методами.
Методи прогнозу і корекції
Для обчислення положення нової точки використовується інформація про декілька раніше отриманих точок. Для цього використовуються дві так звані формули прогнозу і корекції. Схеми алгоритмів для таких методів приблизно однакові, а самі методи відрізняються лише формулами.
Оскільки в цих методах використовується інформація про декілька раніше отримані точки, то на відміну від однокрокових методів вони не мають властивості самостартування. Тому, перед тим як застосовувати метод прогнозу і корекції, необхідно обчислити вихідні дані з допомогою якого-небудь однокрокового методу.
Обчислення виконують таким чином. Спочатку за формулою прогнозу та початковими значеннями змінних визначають значення EMBED Equation.3. Верхній індекс (0) означає, що прогнозоване значення є одним із послідовності значень уп +1 , розташованих в порядку зростання точності. За прогнозованим значенням EMBED Equation.3 з допомогою диференціального рівняння:
EMBED Equation.3 (1)
знаходимо похідну:
EMBED Equation.3 (2)
Ця похідна підставляється у формулу корекції для обчислення уточненого значення EMBED Equation.3. В свою чергу EMBED Equation.3 використовується для одержання більш точного значення похідної:
EMBED Equation.3 (3)
Якщо це значення похідної недостатньо близьке до попереднього, то воно вводиться у формулу корекції і ітераційний процес продовжується. Якщо ж похідна змінюється в припустимих межах, то значення EMBED Equation.3використовується для обчислення остаточного значення EMBED Equation.3, яке і виводиться на друк. Після цього процес повторюється - робиться наступний крок, на якому обчислюється EMBED Equation.3.
Використання однокрокового методу для одержання початкових даних Застосування формули прогнозу для отримання EMBED Equation.3 Використання диференціального рівняння для обчислення EMBED Equation.3
К =0 Застосування формули корекції для одержання EMBED Equation.3 Обчислення EMBED Equation.3 К=К+1 Чи достатньо мала зміна EMBED Equation.3? Використання EMBED Equation.3 для обчислення EMBED Equation.3 Перехід до наступного кроку EMBED Equation.3
НІ
ТАК
ТАК
Метод Мілна
На етапі прогнозу використовується формула Мілна.
EMBED Equation.3, (1)
а на етапі корекції - формула Сімпсона
EMBED Equation.3 (2)
Останні члени в обох формулах в ітераційному процесі не використовуються і служать лише для оцінки помилок. Метод Мілна відносять до методів четвертого порядку точності, оскільки в ньому відкинуті члени, які містять EMBED Equation.3 в 5 і більш високих степенях. Потрібно мати на увазі, що для користування формулою (1) необхідно попередньо одним із однокрокових методів визначити EMBED Equation.3 і значення похідних EMBED Equation.3.
Похибка, внесена на будь-якому кроці, зростає експоненціально, тому методу Мілна властива нестійкість. Це недолік методу.
Метод Адамса
Має четвертий порядок точності. Формула прогнозу отримана на основі інтерполяційної формули Ньютона і має вигляд:
EMBED Equation.3 (1)
Формула корекції
EMBED Equation.3 (2)
На відміну від методу Мілна, похибка, внесена на кроці, не має тенденції до експоненціального зростання.
Метод Хемінга
Це стійкий метод четвертого порядку точності.
Формула прогнозу:
EMBED Equation.3 (1)
Формула корекції
EMBED Equation.3 (2)
Формула прогнозу зазвичай доповнюється формулою уточнення прогнозу:
EMBED Equation.3 (3)
EMBED Equation.3 (4)
Переваги методу Хемінга – простота і стійкість.
Характеристика методів прогнозу і корекції.
1) Для реалізації методів прогнозу і корекції необхідно мати інформацію про декілька попередніх точок, тобто ці методи не відносяться до числа самостартуючих. Для одержання вихідної інформації потрібно скористатись одним з однокрокових методів. Якщо в процесі розв’язування диференці-ального рівняння змінюється крок, то зазвичай потрібно тимчасово переходити на однокроковий метод.
2) Оскільки для методів прогнозу і корекції потрібні дані про попередні точки, то виникають підвищені вимоги до об’єму пам’яті ЕОМ.
3) Однокрокові методи і методи прогнозу і корекції можуть забезпечити приблизно однакову точність результатів. Однак, на відміну від перших другі дозволяють оцінити похибку на кроці. Тому при однокрокових методах значення кроку вибирають трохи меншим, ніж це потрібно, тому методи прогнозу і корекції є більш ефективними.
4) Застосовуючи метод Рунге – Кутта четвертого порядку точності, на кожному кроці потрібно обчислювати чотири значення функції. В той самий час для забезпечення збіжності методу прогнозу і корекції того ж порядку точності часто достатньо двох значень функції. Тому метод прогнозу і корекції потребує майже вдвічі менше машинного часу, ніж метод Рунге – Кутта такої ж точності.
