ЛЕКЦІЯ
ІНВАРІАНТНІСТЬ
Вище ми розглянули деякі системи координат і їх зв’язок між собою, припускаюся, що простір являється евклідовим. Наскільки евклідова геометрія може бути справедлива для фізичних явищ, можна судити тільки з експериментальних даних. На сьогодні по крайній мірі для класичної механіки в області простору з характерними розмірами L з інтервалу 10-13см<<L<<1028см ми можемо на основі експериментальних даних говорити, що евклідова геометрія може бути застосована до фізичних явищ. Внаслідок цього ми можемо сформулювати деякі висновки:
а) Інваріантність по відношенню до паралельного переносу. Під цим розуміється, що простір однорідний і не змінюється від точки до точки при такому русі. Іншими словами. якщо тіла переміщуються без повороту, то їхні властивості не змінюються.
б) Інваріантність по відношенню до повороту. Із досліду відомо з великою точністю, що простір являється ізотропним, так що всі напрямки еквівалентні і фізичні тіла не змінюються при повороті. На малюнку 1.5 проілюстровані зазначені інваріантності і приведено приклади неінваріантності в гіпотетичному світі, в якому при цих рухах можуть зокрема, змінюватись форма і розміри тіл.

Нижче інваріантності зумовлюють фундаментальні закони збереження.
Залишаючись в такому інваріантному по відношенню до паралельного переносу і повороту світі розглянемо в якому інерціальні системи, які рухаються одна відносно іншої без прискорення (в тому числі і без нормального; тобто EMBED Equation.3 ). Заради простоти допустимо, що система В рухається з постійною швидкістю EMBED Equation.3 відносно системи А так, що осі х і х’ лежать на одній прямій і напрямлені однаково, і крім того в момент часу EMBED Equation.3 початки координат обидвох систем співпадають (мал. 1.6).
Тоді, якщо в момент часу t якась точка М має координати х’, у’, t’ в системі В, то її координати в системі А будуть:
EMBED Equation.3 Перше рівняння (1.25) не містить t’, бо в класичній механіці вважаються, що час абсолютний, тобто t=t’.
Формули (1.25) носять назву перетворення Галілея для координат. Із перетворення Галілея слідує закон додавання швидкостей і правило перетворень для прискорень:
EMBED Equation.3 (1.26) EMBED Equation.3 (1.27)
Ми бачимо, що при перетворенні координат завжди можна вказати таки фізичні величини, які залишаються незмінними (інваріантними) при такому перетворенні. Такі величини називаються інваріантами. Наприклад, при перетвореннях Галілея, координати, швидкість (а значить імпульс і кінетична енергія і т.п.) – є варінтні, а прискорення, і час – інваріантні. В цьому контексті розглянемо, що буде творитися із законами збереження імпульсу і енергії як кінетичної так і повної.
Якщо рух деякої системи тіл (частинок) розглядаємо відносно інерціальної системи відліку А, то при переході до іншої інерціальної системи В зміниться кількість руху і кінетична енергія (бо вони є варіантні): якщо через EMBED Equation.3 - позначити швидкість в системі А1, а через EMBED Equation.3 - в системі В однієї частинки, то
EMBED Equation.3 (1.28)
Із співвідношень (1.25) – (1.26) чітко також слідує, що прискорення – інваріант, а також і сили – інваріантні. ???? також слідує з того, що всі механічні сили залежать від відносного розташування тіл або їх відносних швидкостей. І те і інше – інваріанти. Таким чином, всі три закони ньоютонівської динаміки справедливі у всіх інерціальних системах відліку.
§ 4. Чотирьохвектор і інтервал. Простір Міньковського.
Нагадаємо із курсу загальної фізики, що в релятивістській ( не Ньютонівській) механіці, коли швидкістю руху тіл не можна не можна знехтувати порівняно з швидкістю світла, яка згідно ІІ постулату Ейнштейна одинакова у всіх інерціальних системах відліку, справедливі перетворення не Галілея, а Лоренцо (мал. 1.6)
EMBED Equation.3 (1.29) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (1.30)
Ми бачимо, що при перетвореннях Лоренцо змінюються і координати і час. Причому останні характеристики невіддільні одна від одної EMBED Equation.3 є відносними. Але і в релятивістській механіці можна знайти такі величини, співвідношення, які є інваріантними в довільній інерціальній системі відліку.
Першим таким інваріантом є швидкість світла. Нетрудно переконатися із співвідношень (1.29), що другим важливим інваріантом є інтервал події. Його квадрат визначається як:
EMBED Equation.3 Отже: EMBED Equation.3 (1.31)
Інваріантами, як ми уже також знаємо, з курсу загальної фізики є маса спокою і енергія спокою.
Із останнього співвідношення випливає, що коли кількість руху К в одній інерціальній системі не залежить від часу то вона залишається постійною і в іншій системі відліку К’, поскільки m і EMBED Equation.3 константи. Тобто, закон інерції справедливий в усіх інерціальних системах відліку.
Кінетична енергія системи частинок в системі xOy буде:
EMBED Equation.3
Остання рівність показує зміну кінетичної енергії при переході від однієї інерціальної системи до іншої. Очевидно також, що якщо кінетична енергія системи в одній інерціальній системі відліку постоянна в часі, то вона буде постійною в часі і в іншій інерціальній системі відліку, якщо система частинок замкнута і між частинками діють тільки пружні сили. Таким чином, закон збереження кінетичної енергії справедливий у всіх інерціальних системах, якщо він справедливий в одній з них. При цьому слід відмітити, що кількість руху ізольованої системи частинок залишається постійною завжди і при недружніх взаємодіях, а кінетична енергія зменшується в цьому випадку на одну і ту ж саму величину в системах xOy і x’O’y’. Це зменшення – інваріант.
Між частинками системи можуть діяти сили, що залежать тільки від віддалі між ними і напрямлені по лінії що їх з’єднують. Тоді кожна конфігурація володіє певною потенціальною енергією U.
Якщо між частинками ізольованої системи відбувається така взаємодія, то закон збереження енергії (механічної) справедливий у всіх інерціальних системах.
Отже ми бачимо, що хоч самі фізичні величини можуть бути варіантними, але співвідношення в які вони входять (або між ними) в довільній інерціальній системі є однаковими (напр. EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 ). Тобто співвідношення є інваріантними.

Практичне заняття №1
Задача 1. Закон руху точки відносно системи відліку S має вигляд: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 - постійні коефіцієнти. Визначити траєкторію, лінійну і секторну швидкості а також прискорення точки відносно тієї ж системи відліку.
Розв’язок: Диференціюючи по часу задані функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 отримаємо проекції швидкості і прискорення точки на декартові осі
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
Виражаючи проекції прискорення через проекції радіус-вектора, переконаємося в тому, ??????????????????????????????
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , тобто, EMBED Equation.3
Секторна швидкість згідно визначення:
EMBED Equation.3
тобто секторна швидкість не залежить від часу EMBED Equation.3 .
Нарешті, виключаючи EMBED Equation.3 із функцій EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 отримаємо рівняння траєкторії
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Задача 2.
Кривошип ON довжиною a обертається навколо вісі, перпендикулярної до площини малюнка 2 і яка проходить через точку О. Кут EMBED Equation.3 між нерухомою віссю Ох і кривошипом змінюється пропорційно до часу: EMBED Equation.3 . Скласти рівняння руху точки N в декартовій системі. Визначити рівняння її траєкторії. Визначити час одного повного оберту точки N в момент часу коли обидві координати точки рівні між собою.
Тобто траекторія точки представлятиме собою коло радіуса EMBED Equation.3 з центром в початку координат.
Визначимо час одного повного оберту точки EMBED Equation.3 . Це є час EMBED Equation.3 , протягом якого кут EMBED Equation.3 зміниться на EMBED Equation.3 радіан.
EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3
Для знаходження початкового положення точки EMBED Equation.3 необхідно в рівнянні руху підставити значення EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 .
Визначимо момент часу, коли обидві координати точки рівні між собою і EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 . А це значить, що моменти часу, координати точки рівні між собою будуть
EMBED Equation.3
Задача 3.
Циліндричні координати точки при її русі відносно деякої системи відліку EMBED Equation.3 змінюються по закону: EMBED Equation.3 .