Вектори на площині і в просторі. Дії з векторами
Мета. Узагальнення знань студентів про вектори на площині; формування поняття вектора в просторі.
1. Вектори. Основні поняття і означення.
2. Дії над векторами.
1. Вектор - це напрямлений відрізок або вектор - це паралельний перенос.
Вектори позначають: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3


Або за початком і кінцем
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

Якщо початок і кінець співпадають, вектор називають нульовим або О Два вектори називають рівними, якщо їх довжини рівні, а напрями співпадають
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

Вектори, які лежать на паралельних прямих, називають колінеарними.

(а якщо ця умова не виконується, то не колінеарними)

Вектори, які лежать в одній площині, називають компланарними (а якщо
ця умова не виконується, не компланарними).
EMBED Equation.3 - не компланарні
EMBED Equation.3 - компланарні

2. Додавання векторів Правило трикутника

Правило паралелограма

Сумою двох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.
Правило паралелепіпеда

Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.
Властивості додавання
1) EMBED Equation.3 — комутативність
2) EMBED Equation.3 — асоціативність
3) EMBED Equation.3
4) якщо EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 і називається протилежним
Віднімання векторів
Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки, з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого віднімаємо

Множення вектора на число.
Добутком EMBED Equation.3 на число k називають вектор, який має довжину EMBED Equation.3 і співнапрямлений з EMBED Equation.3 , якщо k > 0 та протилежний до нього, якщо k < 0.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

Як видною, при множенні вектора на число, одержуємо колінеарні вектори. Справедливе обернене твердження, яке?.
Скалярний добуток векторів.
Скалярним добутком двох векторів називають число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Якщо EMBED Equation.3 то EMBED Equation.3 і навпаки , якщо EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 .