Зведення визначників до визначника Вандермонда
Визначником Вандермонда порядку n називається визначник вигляду
?n = EMBED Equation.3 .
Як відомо,
?n = EMBED Equation.3 . = EMBED Equation.3 .
Розглянемо приклади зведення визначників до визначника Вандермонда.
Приклад 19. Обчислити визначник
? = EMBED Equation.3 .
Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у другому рядку n елементів). Додамо до другого рядка перший:
? = EMBED Equation.3 .
Далі, в одержаному визначнику до третього рядка додамо другий:
? == EMBED Equation.3 .
Аналогічно, до четвертого рядка додамо третій. В одержаному після цього визначнику до п’ятого рядка додамо четвертий і т.д. В результаті, після додавання до n-го рядка (n-1)-го одержуємо визначник
? == EMBED Equation.3 .
Цей визначник є визначником Вандермонда порядку n, а тому
? = EMBED Equation.3
Приклад 20. Обчислити визначник
? = EMBED Equation.3
Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n +1 (у першому рядку n +1 елементів). Якщо всі рядки визначника записати у зворотному порядку, одержимо визначник Вандермонда порядку n +1. Для обчислення даного визначника будемо переставляти рядки. Як відомо, кожна перестановка двох рядків змінює знак визначника, що означає помноження визначника на –1. Спочатку будемо переставляти останній рядок визначника так, щоб винести його на перше місце і при цьому не міняти взаємне розміщення інших рядків. Для цього переставимо (n +1)-й рядок з n-м, знак визначника змінюється:
? = (-1)? EMBED Equation.3 .
Далі, у цьому визначнику n-й рядок переставляється з (n -1)-м и т.д. В результаті, після виконання n таких сусідніх перестановок рядків одержуємо
? = (-1)n? EMBED Equation.3 .
Далі, в одержаному визначнику переставляємо останній рядок так, щоб винести його на друге місце, не змінюючи взаємне розміщення інших рядків. Для цього потрібно n –1 сусідніх перестановок рядків, тобто
? = (-1)n(-1)n-1? EMBED Equation.3 .
В одержаному визначнику, аналогічно, останній рядок переставляємо на 3 місце за допомогою n –2 сусідніх перестановок і т.д. Нарешті, на останньому кроці переставляємо два останніх рядки і одержуємо
? = (-1)n(-1)n-1(-1)n-2…(-1)2(-1)1? EMBED Equation.3 =
= (-1)n+(n-1)+(n-2)+…+2+1? EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 ? EMBED Equation.3 .
Одержаний визначник є визначником Вандермонда порядку n +1. Тому
? = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Неважко бачити, що число співмножників у добутку дорівнює EMBED Equation.3 .
Дійсно,
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ...? EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
У першому з цих добутків n співмножників, у другому n –1 співмножників і т.д. Число всіх співмножників дорівнює n+ (n –1) + (n –2) +...+ 2 + 1 = EMBED Equation.3 .
У кожному зі співмножників одержаного добутку міняємо знак, тобто помножаємо співмножник на –1. Остаточно одержуємо
? = EMBED Equation.3 .
Приклад 21. Обчислити визначник
? = EMBED Equation.3 .
Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (у кожному стовпчику n елементів). З рядків визначника будемо виносити множники так, щоб одержати визначник, всі елементи першого стовпчика якого рівні 1. Для цього з першого рядка виносимо множник EMBED Equation.3 , з другого рядка  множник EMBED Equation.3 , нарешті, з останнього рядка  множник EMBED Equation.3 .
? = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ... EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Далі, з другого стовпчика одержаного визначника віднімемо перший:
? = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
З третього стовпчика визначника віднімемо другий:
? = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Далі, з четвертого стовпчика визначника віднімемо третій і т.д. Нарешті, з останнього n-го стовпчика віднімаємо (n-1)-й стовпчик. Одержуємо визначник Вандермонда:
? = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Таким чином,
? = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Задачі для самостійного розв’язування.
Обчислити визначник методом зведення до визначника Вандермонда
1. EMBED Equation.3
2. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
3. EMBED Equation.3
4. EMBED Equation.3
5. EMBED Equation.3
6. EMBED Equation.3