Знакозмінні та знакопостійні ряди.
Абсолютна та умовна збіжність.
План.
Означення закономірного ряду.
Теорема Коші.
Абсолютна та умовна збіжність.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.
Теорема. Якщо в ряді з додатними членами загальний член, починаючи з певного значення п, задовольняє нерівність EMBED Equation.3 де q – стале число, менше за одиницю, то ряд збігається.
Коли ж навпаки, починаючи з певного значення п, маємо EMBED Equation.3 то ряд розбігається.
Доведення. У першому випадку маємо, починаючи з певного значення п, EMBED Equation.3
Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із спадною геометричною прогресією, знаменник якої q. Варто зауважити, що нерівність
EMBED Equation.3
характеризує при цьому “швидкість” збіжностей даного ряду порівняно з геометричною прогресією.
В другому випадку матимемо з певного моменту EMBED Equation.3 , отже, ряд напевне, розбігається, бо навіть основна необхідна умова збіжності не виконується.
Наслідок. Якщо існує EMBED Equation.3 , то при r < 1 ряд напевне збігається. Випадок r = 1 і тут взагалі є сумнівний.
Доведення.
Взявши u тут якесь число q, проміжне між r та 1 ( EMBED Equation.3 ), ми з певного моменту матимемо – в першому випадку:
EMBED Equation.3
Отже, ряж збігається; а в другому: EMBED Equation.3 отже, ряд розбігається.
Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від’ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему.
Теорема. Ряди EMBED Equation.3 напевне збігається, якщо збігається ряд EMBED Equation.3
Доведення. Для кожного EMBED Equation.3 можна знайти таке EMBED Equation.3 , при якому для EMBED Equation.3 і при EMBED Equation.3 буде:
EMBED Equation.3
Але тоді й поготів
EMBED Equation.3
Але це й доводить теорему.
Означення. Збіжний ряд EMBED Equation.3 називається абсолютно збіжним. Якщо збігається також і ряд EMBED Equation.3
Розглянемо, наприклад, ряд
EMBED Equation.3 (1)
Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд
EMBED Equation.3 (2)
є знакододатний. Порівнюючи його з рядом
EMBED Equation.3 (3)
маємо
EMBED Equation.3
Ряд (3) збіжний, як ряд Діріхле-Рімана при EMBED Equation.3 , отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним.
Оскільки ряд, члени якого – абсолютні значення членів будь-якого ряду є знако-додатний, то, очевидно, щоб дослідити, чи будь-який ряд EMBED Equation.3 є абсолютно збіжним, ми можемо використовувати ознаки збіжності, виведені для знакододатних рядів, замінивши у відповідних виразах члени даного ряду їх абсолютними значеннями. Так, ознака Даламбера збіжності ряду запишеться тоді у вигляді EMBED Equation.3 ознака Коші – у вигляді: EMBED Equation.3 і т.п.
Означення. Якщо ряд EMBED Equation.3 (*) збіжний, а ряд EMBED Equation.3 розбіжний, то даний ряд (*) називається умовно збіжним.
Отже, ряд EMBED Equation.3
умовно збіжний,
Так само ряд EMBED Equation.3
умовно збіжний, бо ряд
EMBED Equation.3 є ряд Діріхле-Рімана, в якому EMBED Equation.3

Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца.
План.
Означення знакочергуючого ряду.
Ознака Лейбніца.
Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.
Означення. Знакозмінними рядами називаються ряди виду:
EMBED Equation.3
де EMBED Equation.3 - додатні числа.
Теорема Лейбніца. Якщо в знакозмінному ряді абсолютне значення загального члена монотонно прямує до нуля (тобто EMBED Equation.3 до того ж EMBED Equation.3 ), тоді знакозмінний ряд збігається, причому сума його має числове значення, проміжне між нулем та першим членом EMBED Equation.3
Доведення. Розглянемо спочатку частинну суму парного порядку EMBED Equation.3 , причому запишемо її в двох різних виглядах:
1 EMBED Equation.3 .
Помічаємо, що чим більше К, тим більше пар, але кожна пара додатна, отже, EMBED Equation.3 монотонно зростає при збільшенні К.
З другого боку
EMBED Equation.3
Бачимо, що EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 , для всіх значень k > 1. Отже, EMBED Equation.3 обмежена зверху.
Зіставляючи обидва факти, приходимо до висновку, що величина EMBED Equation.3 монотонна і разом з тим обмежена змінна, том вона, прямує до певної скінченої границі EMBED Equation.3 , при чому ця границя, очевидно, більша за а1 – а2 і не перевищує а1:
а1 – а2 < EMBED Equation.3 < а1.
Отже, напевне 0 < EMBED Equation.3 < а1.
Розглядаючи вже тепер частинну суму непарного порядку EMBED Equation.3 +1, маємо:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + а2к+1.
Отже,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя:
EMBED Equation.3 (0 < S < a1),
коли індекс n – будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему.
Наслідок. За умовою теореми Лейбніца остаточна S – Sn = rn менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів:
EMBED Equation.3 , і має знак цього члена.
Доведення. Маємо:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому
EMBED Equation.3 ,
причому EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Отже, якщо перший з відкинутих членів непарний, то EMBED Equation.3 представляє S з недостачею. Похибка має знак плюс. Якщо ж перший відкинутий член – парний, то EMBED Equation.3 , представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.

Диференціювання та інтегрування
степеневих рядів.
План.
1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди.” Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22-23.
Диференціювання степеневих рядів.
Теорема. Якщо степеневий ряд
EMBED Equation.3 (1)
має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд
EMBED Equation.3 , (2)
утворений по членним диференціюванням ряду (1), має той самий інтервал збіжності (-р, р) і його сумою в цьому інтервалі є функція EMBED Equation.3 .
Доведення. Покажемо раніш, що коли ряд (1) збігається при певному значенні EMBED Equation.3 , то на кожному сегменті EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 , ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно.
Для цього, досить виявити збіжність ряду
EMBED Equation.3 (3)
що відіграватиме роль мажоруючого ряду.
Позначаючи EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 , і беручи до уваги, що EMBED Equation.3 , маємо
EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 . Застосуємо до ряду
EMBED Equation.3 (4)
ознаку Даламбера:
EMBED Equation.3 .
Отже, ряд (4) збіжний, а тому збіжним є ряд (3). Звідси, випливає, що ряд (2) збігається абсолютно при кожному значені х інтервалу (-р, р), тобто інтервалу збіжності ряду (1). Якщо позначити, радіус збіжності ряду (2) через р’, то ми довели, що р EMBED Equation.3 р’.
Доведемо тепер, що р’ не може бути ц більшим за р.
Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд
EMBED Equation.3 ,
а оскільки EMBED Equation.3 , то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже,
EMBED Equation.3
З нерівностей EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 випливає що EMBED Equation.3 . Беручи до уваги теорему про диференціювання функціональних рядів, приходимо до висновку, що сума ряду (1) в усіх точках в середині спільного інтервалу збіжності рядів (1) і (2), тобто EMBED Equation.3 .
Теорему доведено.
Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f(x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f(k)(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду.
Інтегрування степеневих рядів.
Теорема. Степеневий ряд
EMBED Equation.3 (5)
з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р):
EMBED Equation.3 (6)
і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р.
Доведення. На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.