Розділ: Ряди.
Тема: Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність.
Навчальна мета: розширити поняття студентів про знакозмінні ряди, абсолютну та умовну збіжність.
Міжпредметна інтеграція: математика:
Зміст: а). Опрацювати навчальний матеріал.
б). Дати відповіді на питання.
в). Опрацювати приклади.
План: а). Знакозмінні ряди.
б). Абсолютна та умовна збіжність.
Контрольні питання:
а). Охарактеризувати загальні поняття.
б). Розказати про деякі властивості числових рядів.
в). Яку ви знаєте необхідну ознаку збіжності ряду?
г). Наведіть приклади достатньої ознаки збіжності додатних числових рядів.
д). Що ви знаєте про закопочережні числові ряди.
Література: Вища математика для економістів. – Київ: ЦУЛ 2002.-400с.-серія: Матем. науки.
Барковський В.В.
Барковська Н.В.
Загальні поняття.
Нехай задана нескінчена послідовність чисел
а1, а2, а3, …, аn…
Вираз а1+а2+а3+…+аn+… називається нескінченним числовим рядом, числа а1, а2, а3, …, аn – членами ряду, аn – загальним членом ряду.
Отже, від послідовності ми перейшли до ряду.
За допомогою значка суми ряд можна записати так:
EMBED Equation.3 (1)
де n приймає значення від 1 до EMBED Equation.3 .
Що задати числовий ряд, треба задати його загальний член аn у вигляді формули
EMBED Equation.3
за якою для будь-якого n можна знайти відповідний член ряду.
Наприклад, нехай загальний член ряду EMBED Equation.3 тоді відповідний ряд буде:
EMBED Equation.3
Іноді задають декілька перших членів ряду і треба записати увесь ряд, тобто знайти його загальний член.
При цьому треба знаходити загальний член ряду по можливості простішого вигляду.
Наприклад, знайти загальний член ряду
EMBED Equation.3
Маємо: перший член ряду EMBED Equation.3 другий член ряду EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Отже, шукана функція повинна мати вигляд дробу, чисельник якої дорівнює 1, в знаменник повинен дорівнювати EMBED Equation.3 , тобто загальний член заданого ряду буде
EMBED Equation.3
а ряд має вигляд
EMBED Equation.3
Означення 1. Частковою сумою числового ряду (1) називають суму Sm перших т членів цього ряду, тобто
EMBED Equation.3
Означення 2. Сумою S числового ряду EMBED Equation.3 називають границю його часткової суми Sn при EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 (2)
Означення 3. Якщо границя часткової суми ряду є скінчене число, то ряд називають збіжним і позначають цей факт так:
EMBED Equation.3
Якщо границя часткової суми не існує або дорівнює EMBED Equation.3 , то числовий ряд називають розбіжним.
Означення 4. Числовий ряд вигляду
EMBED Equation.3 (3)
називають рядом геометричної прогресії із знаменником q та першим членом а.
Приклад 1. Дослідити збіжність ряду геометричної прогресії.
Розв’язування. При EMBED Equation.3 часткова сума Sn визначається за відомою формулою суми спадної геометричної прогресії:
EMBED Equation.3
Тому сумою ряду у цьому випадку буде
EMBED Equation.3
тобто ряд збігається та його сума EMBED Equation.3 .
Якщо EMBED Equation.3 то частковою сумою буде EMBED Equation.3 а сума ряду
EMBED Equation.3
тобто ряд розбігається.
Якщо q=1, то Sn=а+а+а+…+а = na, тому сума ряду буде
EMBED Equation.3
тобто ряд розбігається.
Якщо q=-1, то S1=a, S2=a, S3=a, S4=0,…
Послідовність таких часткових сум границі не має (вона залежить від способу прямування EMBED Equation.3 ), тому ряд розбігається.
Отже, ряд геометричної прогресії збігається при EMBED Equation.3 і розбігається при EMBED Equation.3 .
Означення 5. Числовий ряд вигляду
EMBED Equation.3 (4)
називають узагальненим гармонічним рядом.
Математиками доведено, що при EMBED Equation.3 узагальнений гармонічний ряд розбігається, а при р>1 цей ряд збігається.
При р=1 ряд (4) приймає вигляд
EMBED Equation.3 (5)
і називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається.
2. Деякі властивості числових рядів.
Нехай задано числовий ряд
а1+а2+а3+…+аn+ап+1+ап+2+…+ап+т+... (1)
Якщо в цьому ряду відкинути перші п членів, то одержимо ряд, який називають залишком ряду (1) після п-го члена і позначають EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 (6)
Теорема 1. Якщо ряд (1) збігається, то збігається ї його залишок, і, навпаки, якщо збігається залишок, то збігається й ряд (1).
Доведення. Нехай ряд (1) збігається. Розглянемо часткову суму п+т членів ряду
EMBED Equation.3 (7)
Зафіксуємо номер п і нехай EMBED Equation.3 . Тоді границя Sт+п існує за умовою і дорівнює сумі ряду S.
При фіксованому п Sn є постійне число, тому границя ( EMBED Equation.3 ) при EMBED Equation.3 існує і дорівнює EMBED Equation.3 .
Отже,
S=Sn+rn (8)
Нехай тепер залишок збігається. Доведемо, що ряд також збігається. Знову в рівності (7) зафіксуємо n та перейдемо до границі при EMBED Equation.3 . Границя існує тому, що за умовою залишок збігається, а часткова сума Sn при фіксованому n є постійне число. Отже, границя
EMBED Equation.3
Із рівності (7) випливає: якщо ряд (1) розбігається, то і залишок розбігається, і, шишаки, якщо залишок розбігається, то ряд також розбігається.
Із рівності (8) випливає, що EMBED Equation.3 , тому при EMBED Equation.3 залишок збіжного ряду EMBED Equation.3 .
Наслідок. Якщо в раді (1) суму перших п членів відкинути, то це не вплине на збіжність чи розбіжність ряду.
Теорема 2. Якщо члени збіжного ряду EMBED Equation.3 помножити на число С, то одержаний ряд EMBED Equation.3 також буде збіжним, а його сума помножиться на С.
Теорема 3. Якщо ряди EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 збігаються, то ряд EMBED Equation.3 також збігається, причому сума останнього ряду дорівнює.
EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3
Доведення теореми 2 та теореми 3 випливає із означення збіжності числового ряду та властивостей границі.
3. Необхідна ознака збіжності ряду
Теорема 4. Якщо ряд EMBED Equation.3 збігається, то його загальний член EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 (9)
Дійсно, EMBED Equation.3 , звідси одержимо
EMBED Equation.3
що й треба було довести.
Якщо умова (9) не виконується, то числовий ряд розбігається.
Наприклад, ряд EMBED Equation.3 розбігається тому, що
EMBED Equation.3
Відмітимо, що умова збіжності (9) є лише необхідною умовою. Так, гармонічний ряд EMBED Equation.3 задовольняє умову (9), але цей ряд розбіжний.
4. Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів
В більш повних курсах вищої математики доведені слідуючі достатні ознаки збіжності додатних числових рядів, які бажано зрозуміти та використовувати.
Ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність заданого ряду
EMBED Equation.3 (10)
Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома
EMBED Equation.3 (11)
Найчастіше для порівняння беруть ряд геометричної прогресії або узагальнений гармонічний ряд.
Ознака. Якщо ряд (11) збігається і, починаючи з деякого EMBED Equation.3 , виконуються співвідношення EMBED Equation.3 , тоді й ряд (10) також збігається.
Якщо ряд (11) розбігається і, починаючи з деякого EMBED Equation.3 , виконуються співвідношення EMBED Equation.3 , тоді й ряд (10) розбігається.
Приклад 2. Дослідити збіжність ряду EMBED Equation.3
Розв'язування. Порівняємо заданий ряд
EMBED Equation.3
з рядом геометричної прогресії, знаменник якого EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Кожний член заданого ряду менше або дорівнює відповідному члену ряду геометричної прогресії, який збігається, тому що EMBED Equation.3 < 1
EMBED Equation.3
Отже, заданий рад збігається.
Ознака Даламбера. Позначимо D постійну Даламбера, яку знаходять за формулою
EMBED Equation.3 (12)
Якщо D <1, тоді додатний числовий ряд EMBED Equation.3 збігається. При D >1 цей ряд розбігається. При D =1 треба застосовувати іншу ознаку.
Приклад 3. Дослідити збіжність раду EMBED Equation.3
Розв'язування. Застосуємо до заданого ряду ознаку Даламбера
EMBED Equation.3
Отже, заданий ряд розбігається.
Радикальна ознака Коші. Позначимо К постійну Коші, яку знаходять за формулою
EMBED Equation.3 (13)
Якщо К<1, тоді додатний числовий ряд EMBED Equation.3 збігається. При К>1 ряд розбігається. Якщо К = 1, то треба застосовувати іншу ознаку.
Приклад 4. Дослідити збіжність ряду EMBED Equation.3
Розв'язування. Застосуємо до заданого ряду радикальну ознаку Коші. Тоді
EMBED Equation.3
Отже, заданий ряд збігається.
Інтегральна ознака Коші. Треба дослідити збіжність додатного числового ряду EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 . Розглянемо невласний інтеграл EMBED Equation.3 . Якщо цей інтеграл збігається, то числовий ряд також збігається: Якщо цей інтеграл розбіжний, то числовий ряд також розбіжний.
Приклад 5. Дослідити збіжність узагальненого гармонічного ряду EMBED Equation.3
Розв'язування. Застосуємо до цього ряду інтегральну ознаку Коші. Розглянемо невласний інтеграл EMBED Equation.3 .
1) при р=1 одержимо:
EMBED Equation.3
В цьому випадку інтеграл розбіжний, отже і ряд розбіжний
2). EMBED Equation.3
Неважко бачити, що при р<1 інтеграл є розбіжним, а при р>1 інтеграл збіжний.
Отже, узагальнений гармонічний ряд EMBED Equation.3 є збіжним, якщо р>1 та розбіжним, якщо р < 1.
5. Знакопочережні числові ряди
Означення 6. Ряд, члени якого почережно мають додатний та від'ємний знаки, називають знакопочережним.
Такий ряд можна записати, наприклад, у вигляді
EMBED Equation.3 (14)
Означення 7. Знакопочережний ряд називають збіжним абсолютно, якщо збігається додатний числовий ряд EMBED Equation.3 , складений з абсолютних величин знакопочережного ряду (14)
Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (14) розбігається, а знакопочережний ряд збігається, то кажуть, що ряд (14) збігається неабсолютна або умовно.
Абсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з використанням достатніх ознак збіжності додатних числових рядів. Неабсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з використанням ознаки Лейбніца.
Ознака Лейбніца. Якщо абсолютні величини знакопочережного ряду монотонно спадають, тобто
U1 >U2 >U3 >... >Un >...
і границя його загального члена дорівнює нулю при EMBED Equation.3 , тобто виконується умова
EMBED Equation.3
тоді знакопочережний ряд збігається, причому його сума S обов'язково менше першого члена ряду.
Якщо замінити суму цього ряду S його частковою сумою Sm, тоді абсолютна величина похибки Rm буде менше першого відкинутого члена ряду, тобто EMBED Equation.3
Остання оцінка використовується у наближених обчисленнях.
Приклад 6. Дослідити збіжність знакопочережних рядів:
EMBED Equation.3
Розв'язування. а) Складемо ряд з абсолютних величин заданого знакопочережного ряду ( EMBED Equation.3 — довільне число):
EMBED Equation.3 (15)
Порівняємо цей ряд із збіжним узагальненим гармонічним рядом
EMBED Equation.3 (16)
Кожний член ряду (15) менше або дорівнює відповідному члену ряду (16) тому, що
EMBED Equation.3
Згідно з ознакою порівняння ряд (15) збігається, а це означає, що заданий знакопочережний ряд а) збігається абсолютно,
b) У цьому випадку ряд, складений з абсолютних величин EMBED Equation.3 - розбіжний гармонічний ряд, тому ряд EMBED Equation.3 абсолютно не збігається. Для дослідження його неабсолютної збіжності треба застосувати ознаку Лейбніца. У даному випадку обидві умови ознаки Лейбніца виконуються:
EMBED Equation.3
Тому знакопочережний ряд b) збігається неабсолютно.
У цьому випадку не виконується необхідна умова збіжності числового ряду тому, що
EMBED Equation.3
Отже, ряд EMBED Equation.3 розбіжний.
