Знаходження екстремуму функції
від багатьох змінних
Означення. Точка EMBED Equation.3 називається точкою максимуму (мінімуму) функції EMBED Equation.3, якщо існує окіл точки EMBED Equation.3 такий, що для всіх точок цього околу виконується нерівність EMBED Equation.3 (відповідно EMBED Equation.3).
За аналогією із функцією від однієї змінної, для функції від двох змінних EMBED Equation.3 маємо такі необхідні умови екстремуму:
EMBED Equation.3 (6.3)
Як і раніше, ці умови не обов’язково є достатніми.
Отже, відшукання екстремумів функції від багатьох змінних EMBED Equation.3 полягає в тому, що потрібно побудувати систему рівнянь
EMBED Equation.3 ,
розв’язати її, знайшовши критичні (стаціонарні) точки EMBED Equation.3, які надалі треба перевірити на наявність максимуму чи мінімуму.
Означення.
Вектор EMBED Equation.3 (6.4)
називається градієнтом функції EMBED Equation.3.
Очевидно, що градієнт задає напрям найшвидшого зростання функції EMBED Equation.3.
Очевидно також, що необхідну умову екстремуму можна записати так: EMBED Equation.3.
Розглянемо достатні умови екстремуму для випадку функції від багатьох змінних.
Теорема (без доведення).
Нехай функція EMBED Equation.3 визначена в деякому околі точки EMBED Equation.3 і f?x(x0,y0)= f?y(x0,y0)=0. Нехай A= f??xx(x0,y0), B = f??xy(x0,y0) та C = f??yy(x0,y0) неперервні. Тоді при ? = AC-B2 > 0 у точці (x0,y0) функція має екстремум (при A<0 – максимум, при A>0 – мінімум ).
При ? = AC-B2<0 екстремуму немає (перегин, сідлова точка, тощо).
Зазначимо, що невиконання достатніх умов не означає того, що екстремуму немає.
Приклад. Знайти екстремум функції z = x3+y3-3xy.
Маємо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Розв’язуємо систему EMBED Equation.3 ,
звідки знаходимо дві критичні (стаціонарні) точки: M0=(0,0) та M1(1,1).
Обчислюємо другі частинні похідні:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
У точці M0=(0,0) маємо: A=0, B= -3, C=0, отже, AC-B2 = -9<0, тобто екстремуму немає.
У точці M1(1,1) маємо: A=6, B= -3, C=6, отже, AC-B2=27>0,
A=6>0.
Функція z = z(x,y) має мінімум у точці (1,1) .
Розглянемо, накінець, достатні умови існування екстремуму функції від n (n>2) змінних y=f(x1…xn).
Знаходимо всі можливі другі частинні похідні і будуємо матрицю (матрицю Гессе).
EMBED Equation.3 .
Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається додатно визначеною в точці (EMBED Equation.3) , якщо визначники M1>0, M2>0,…, Mn>0, де
M1 = EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
…………………………. (6.5)
EMBED Equation.3 .
Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається від’ємно визначеною, якщо M1>0, M2<0, M3>0,…,(-1)nMn>0.
У темі 1 сформульовано теорему про те, що матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є додатними.
Правильно й таке: матриця є від’ємно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є від’ємними.
Теорема .
Нехай функція z = f(x1…xn) визначена в околі точки (EMBED Equation.3) і EMBED Equation.3.
Тоді в разі додатної визначеності матриці Гессе (A>0, AC-B2>0, …) в точці (EMBED Equation.3) функція z = f(x1…xn) має мінімум, а в разі від’ємної (A<0, AC-B2>0, …) – максимум.
Зазначимо, що задача відшукання найбільшого і найменшого значення функції від багатьох змінних у деякій замкнутій області відрізняється від задачі знаходження екстремумів. Спеціальні методи вивчають в курсі “Математичне програмування”.