Збурення псевдообернених та проекційних матриць
Метод збурення псевдообернених матриць [1] на основі принципу розщеплення матриць нижче поширюється на проекційні матриці з метою подальшого використання при розв'язанні задач ідентифікації, нелінійного регресійного аналізу, апроксимації функцій і прогнозу.
Відповідно до постановки задачі про аналітичне представлення збурень псевдообернених матриць [7, 8], будемо розглядати для деякої довільної матриці EMBED Equation.3 її псевдообернену матрицю EMBED Equation.3 , збурену матрицю
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
збурену псевдообернену матрицю
EMBED Equation.3 ,
збурену проекційну матрицю
EMBED Equation.3 ,
а також наступну проекційну матрицю
EMBED Equation.3 .
Функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 мають різний вигляд в залежності від того, можна або неможливо представити вектори EMBED Equation.3 й EMBED Equation.3 у формі лінійних комбінацій векторів-стовпчиків або, відповідно, вектор-рядків матриці EMBED Equation.3 .
Розглянемо чотири можливих випадки залежності векторів EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 від елементів матриці EMBED Equation.3 .
Випадок 1. Вектори EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 лінійно незалежні з векторами-стовпцями і векторами-рядками матриці EMBED Equation.3 відповідно, тобто
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (2.1)
Тоді залежність EMBED Equation.3 визначається наступною теоремою.
Теорема 1. Якщо для матриці EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , виконуються умови (2.1), то
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Використовуючи співвідношення (2.1) для функцій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , їхній вид визначається наслідками з теореми 1.
Наслідок 1. Якщо виконуються умови теореми, то
EMBED Equation.3 . (2.2)
Справедливість цього твердження прямо випливає з теореми 1. Дійсно
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Наслідок 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (2.3)
Наслідок 3. Якщо виконуються умови теореми 1 і
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
тобто, вектор EMBED Equation.3 є ортогональним до усіх векторів-стовпців матриці EMBED Equation.3 , а вектор EMBED Equation.3 – до всіх вектор-рядкам матриці EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 . (2.4)
Справедливість твердження наслідку 3 випливає з формули (2.3) і співвідношень
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Випадок 2. Вектор EMBED Equation.3 є лінійно залежним від вектор-стовпців матриці EMBED Equation.3 , а вектор EMBED Equation.3 – лінійно незалежним від вектор-рядків матриці EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . (2.5)
Тут має місце наступна теорема [8].
Теорема 2. Якщо для матриці EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 виконуються умови (2.5), то
EMBED Equation.3 (2.6)
де
EMBED Equation.3 .
Наслідок 4. Якщо виконуються умови теореми 2 і вектор EMBED Equation.3 є ортогональним до вектор-рядків матриці EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 , (2.7)
де
EMBED Equation.3 . (2.8)
Наслідок 5. Якщо мають місце умови наслідку 4, то
EMBED Equation.3 , (2.9)
де EMBED Equation.3 визначається по формулі (2.8).
Доведення наслідку (5) випливає з наступних співвідношень
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Наслідок 6. Якщо мають місце умови наслідку 4, то
EMBED Equation.3 . (2.10)
За умови EMBED Equation.3 вирази EMBED Equation.3 й EMBED Equation.3 у цьому випадку будуть отримані після аналізу випадку лінійної залежності EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 від відповідно вектор-стовпців і векторів-рядків матриці EMBED Equation.3 .
Випадок 3. Вектори EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 лінійно залежні відповідно від вектор-стовпців і векторів-рядків матриці EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (2.11)
і при цьому
EMBED Equation.3 . (2.12)
У цьому випадку збурення псевдооберненої матриці визначаються відповідно наступної теореми.
Теорема 3. Якщо для матриці EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 виконуються умови (2.11), (2.12), то мають місце співвідношення
EMBED Equation.3 , (2.13)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (2.14)
Наслідок 7. Якщо виконані умови теореми 3, то
EMBED Equation.3 . (2.15)
Справедливість твердження наслідку 7 перевіряється простою підстановкою формули (2.15) у вираз для матриці EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
де використані властивості
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ( відповідно до (2.11) ),
EMBED Equation.3 ( відповідно до (2.12) ).
Наслідок 8. Якщо виконуються умови теореми 3, то
EMBED Equation.3 , (2.16)
де EMBED Equation.3 визначається по формулі (2.14).
При доведенні теореми 3 використовується наступна лема.
Лема. Квадратна матриця EMBED Equation.3 при наявності умови EMBED Equation.3 має наступну псевдообернену матрицю
EMBED Equation.3 . (2.17)
Ця лема буде використана нижче для обчислення збурень у псевдооберненій матриці, якщо під збуреннями початкової матриці розуміти видалення з неї деякого її стовпця або рядка.
Випадок 4. Нехай мають місце умови (2.11)
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
але при цьому не виконується рівність (2.12), тобто
EMBED Equation.3 . (2.18)
Тоді, як це випливає з доведення теореми 3, виконується умова
EMBED Equation.3 . (2.19)
Теорема 4. Якщо для матриці EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 виконуються умови (2.11), (2.18), то мають місце співвідношення
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (2.20)
Доведення цього твердження здійснюється перевіркою умов, яким повинна задовольняти псевдообернена матриця.
Наслідок 9. Якщо виконані умови теореми 4, то
EMBED Equation.3 . (2.21)
Наслідок 10. Якщо виконуються умови теореми 4, то
EMBED Equation.3 .(2.22)
Довести останню формулу можна наступним чином
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Наслідок 11. Якщо мають місце умови теореми 2 і EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 , (2.23)
EMBED Equation.3 , (2.24)
EMBED Equation.3 , (2.25)
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . (2.26)
Доведення наслідку 11 випливає з розбивки вектора EMBED Equation.3 на два ортогональні складові EMBED Equation.3 і застосування послідовно до матриці EMBED Equation.3 теореми 4, наслідку 9, а потім до матриці EMBED Equation.3 наслідку 4 і 5.
Розглянемо тепер збурення EMBED Equation.3 -матриці EMBED Equation.3 у формі або поповнення її новим рядком до встановлення її розмірності EMBED Equation.3 або вилучення з неї однієї з її рядків із зміною розмірності матриці до EMBED Equation.3 . В якості збурень без обмеження спільності будемо розглядати поповнення матриці або вилучення останнього рядка. При поповненні матриці новим рядком для визначення збуреної псевдооберненої матриці використовуються добре відомі формули Гревіля [5]
Нехай для матриці EMBED Equation.3 має місце співвідношення EMBED Equation.3 , тоді
EMBED Equation.3 , (2.27)
EMBED Equation.3 , (2.28)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (2.29)
якщо EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 , (2.30)
EMBED Equation.3 , (2.31)
EMBED Equation.3 . (2.32)
При вилученні з матриці EMBED Equation.3 останнього рядка псевдообернена і проекційні матриці набувають наступні зміни
при
EMBED Equation.3 , (2.33)
де
EMBED Equation.3 , (2.34)
EMBED Equation.3 , (2.35)
EMBED Equation.3 , (2.36)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , (2.37)
b) при
EMBED Equation.3 , (2.38)
EMBED Equation.3 , (2.39)
EMBED Equation.3 , (2.40)
EMBED Equation.3 , (2.41)
Слід зазначити, що умова (2.33) визначає падіння рангу в матриці при вилученні вектор-рядки EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 , (2.42)
а умова (2.38) – відсутність зниження рангу
EMBED Equation.3 , (2.43)
Наведемо доведення формули (2.35). Якщо
EMBED Equation.3
відома матриця, де EMBED Equation.3 – її останній стовпчик. Тоді, відповідно до (2.27), при EMBED Equation.3 одержимо
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
тобто, EMBED Equation.3 . Так як EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 і, відповідно до (2.17)
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Тут використані співвідношення
EMBED Equation.3 .
Подібним чином доводиться і формула (2.37).
Приведемо доведення формули (2.39). При EMBED Equation.3 відповідно до (2.30)
EMBED Equation.3
і з рівняння
EMBED Equation.3
одержимо
EMBED Equation.3 .
Формули (40) і (41) доводяться простим використанням формули (2.39).