Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач. Обчислення інтеграла Пуассона.
План
Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач
Маса пластинки
Статичні моменти і центр ваги пластинки
Момент інерції пластинки
Обчислення інтеграла Пуассона
11.5.  Застосування подвійних інтегралів
до задач механіки
             Визначення маси пластинки. Нехай тонка пластинка розміщена в площині INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET  і займає область INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET . Товщину пластинки вважаємо настільки малою, що зміною густини та товщиною можна знехтувати.
            Поверхневою густиною такої пластинки в даній точці називається границя відношення маси площадки до її площі за умови, що площадка стягується до даної точки.
            Означена таким чином поверхнева густина залежатиме тільки від розміщення точки, тобто вона буде функцією її координат: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET . Знайдемо масу неоднорідної пластинки. Для цього розіб’ємо область INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , яку займає пластинка, на частинні області INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET  з площадками INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET  (рис. 11.16). Вибираємо в кожній області INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET  довільну точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET  і вважаємо, що густина в усіх точках елементарної області стала і дорівнює густині INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET  у вибраній точці. Тоді для маси пластинки можна скласти приблизний вираз у вигляді інтегральної суми.
                                       INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET .                            
            Переходячи  до границі за умови, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET  і кожна елементарна область стягується в точку, дістаємо формулу для обчислення маси пластинки:
                                  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET  .                      (11.29)
                                          Рис.11.16
             Статичні моменти і центр ваги пластинки .  Перейдемо до обчислення статичних моментів пластинки відносно осей координат. Якщо зосередити в точках INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET  маси відповідних елементарних областей, то статичні моменти отриманої системи матеріальних точок можна записати так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET ,   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET .
Переходячи до границі за звичайних умов і замінюючи інтегральні суми інтегралами, матимемо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET ,  
                          INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET .                         (11.30)
            Як і у випадку означеного інтеграла, знаходимо координати центра ваги пластинки:
                    INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET , 
                   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET .                      (11.31)
             Моменти інерції пластинки. Моментом інерції матеріальної точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET масою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET відносно якої-небудь осі називається добуток маси на квадрат відстані точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET від цієї осі.
            Метод складання виразів для моментів інерції пластинки відносно осей координат такий самий , як і для обчислення статичних моментів. Тому наведемо лише формули для моментів інерції відносно координатних осей:
         INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET  (11.32)
         
                 Рис.11.17                              Рис.11.18
Зазначимо, що інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET  називається центробіжним моментом інерції;  він позначається INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET .
            У механіці розглядається полярний момент інерції точки, що дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до даної точки -полюса. Полярний момент інерції пластинки відносно початку координат визначається за формулою
                    INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET .                     (11.33)
Отже , очевидно, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET .
            Приклад 1. Обчислити масу неоднорідної пластинки, обмеженої лініями INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET  якщо поверхнева густина розподілу мас INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET
            Р о з в ‘ я з о к. За формулою (11.29) знаходимо (рис. 11.17):
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image069.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image071.gif" \* MERGEFORMATINET
            Приклад 2. Знайти момент інерції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET  площі, обмеженої параболою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET , прямою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET  і віссю INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET  (11.18).
            Р о з в ‘ я з о к. Центральний момент інерції обчислюємо за формулою (11.33)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET .
11.6. Інтеграл Пуассона
                Обчислимо інтеграл    INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET  Цей інтеграл називається інтегралом Пуассона.
                Розглянемо подвійний інтеграл
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET
де область інтегрування є круг INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET
Перейшовши до полярних координат INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET
Якщо тепер необмежено збільшувати радіус INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET  тобто необмежено розширяти область інтегрування, то одержимо невласний подвійний інтеграл:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image097.gif" \* MERGEFORMATINET
Можна показати, що інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET  прямує до границі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image101.gif" \* MERGEFORMATINET якщо область INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET  довільної форми розширюється на всю площину.
            Якщо , зокрема, область INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET  квадрат зі стороною INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image106.gif" \* MERGEFORMATINET  і центром в початку координат, то
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image108.gif" \* MERGEFORMATINET
Тоді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image110.gif" \* MERGEFORMATINET
і
                                        INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\48_files\\image112.gif" \* MERGEFORMATINET                        (11.34)