Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних
рівнянь n-го порядку.
1. Властивості лінійного диференціального оператору.
Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду
EMBED Equation.3 (1)
де Pi(x), i = EMBED Equation.3 1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).
При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок
y=y(x), який задовільняє початковим умовам EMBED Equation.3 .
Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).
Особливих розв’язків диференціальне рівняння (1) не має. Будь-який розв’язок являється частинним. Якщо при EMBED Equation.3 стоїть EMBED Equation.3 , то точки, в яких EMBED Equation.3 =0, називаються особливими.
Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (1) називають однорідним
EMBED Equation.3 (2)
Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор
EMBED Equation.3 (3)
Властивості оператора L :
L (xy)=k *L (y), k = const;
L ( EMBED Equation.3 )=L ( EMBED Equation.3 ) + L ( EMBED Equation.3 );
L EMBED Equation.3 .
Використовуючи оператор L диференціального рівняння (1) і (2) перепишемо у вигляді L (y) = f (x) EMBED Equation.3 , L (y) = 0 EMBED Equation.3 .
Означення 1. Функція y = y (x) називається розв’язком диференціального рівняння (1), якщо L (y) EMBED Equation.3 f (x) (для диференціального рівняння (2)
L (y(x)) EMBED Equation.3 0).
Лінійне диференціальне рівняння (1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної EMBED Equation.3 .
Лінійне диференціальне рівняння (1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції EMBED Equation.3 . (4)
2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n–го порядку.
Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння EMBED Equation.3 (5)
Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.
Означення 2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) – дійсна частина, v(x) – уявна частина).
Приклад 1. Показати справедливість формул EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . (6)
Формули (6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.
Похідна n-го порядку від z (x) дорівнює EMBED Equation.3 . (7)
Приведемо формули для обчислення похідної :
а) EMBED Equation.3 ; (8)
Дійсно EMBED Equation.3
б) Для дійсного к і будь-якого EMBED Equation.3 справедлива формула
EMBED Equation.3 ; (9)
в) Використовуючи (9) можна показати EMBED Equation.3 , (10)
де EMBED Equation.3 - поліноми степеня n ;
г) При будь-якому EMBED Equation.3 (дійсному або комплексному) справедлива формула
EMBED Equation.3 . (11)
Формула (11) доводиться шляхом представлення EMBED Equation.3 і використання формули (8).
Означення 3. Комплексна функція y (x) = EMBED Equation.3 (x) + i EMBED Equation.3 (x) (12) називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5); якщо
L (y(x)) EMBED Equation.3 0, a < x < b .
Комплексний розв’язок (12) утворює два дійсних розв’язки EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x).
Дійсно L (y(x)) = L ( EMBED Equation.3 (x) + i EMBED Equation.3 (x)) = L( EMBED Equation.3 (x)) + iL( EMBED Equation.3 (x)) = 0 .
Звідки L( EMBED Equation.3 (x)) = 0, L( EMBED Equation.3 (x)) = 0.
Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5).
а) Якщо EMBED Equation.3 (x) – розв’язок , тобто L( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 0, то y=c EMBED Equation.3 (x), де с – довільна константа , теж розв’язок диференціального рівняння (5)
L(с EMBED Equation.3 ) = сL( EMBED Equation.3 ) = 0.
б) Якщо EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x) - розв’язки диференціального рівняння (5) , то
у= EMBED Equation.3 (x)+ EMBED Equation.3 (x) теж розв’язок . Дійсно L ( EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ) = L ( EMBED Equation.3 )+L ( EMBED Equation.3 ) = 0.
в) Якщо EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 ) - розв’язки диференціального рівняння (5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком
L EMBED Equation.3 = 0.
Приклад 2. Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 =cos(x), EMBED Equation.3 =sin(x) - розв’язки, тоді y = c EMBED Equation.3 cos(x)+c EMBED Equation.3 sin(x) - розв’язок .
3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку.
Означення 4. Функції EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує співвідношення виду
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (x) + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (x) + ... + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0 , a < x < b , (13)
де EMBED Equation.3 , ... , EMBED Equation.3 - постійні числа не рівні нулю одночасно . В противному випадку функції EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 називають лінійно залежними на (a,b).
Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b) зводиться до того, щоб відношення функцій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 не було постійним на (a,b).
Зауваження 1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.
Приклад 3. Функції EMBED Equation.3 =1, EMBED Equation.3 =x, ... , EMBED Equation.3 - лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) EMBED Equation.3 . Дійсно співвідношення
EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 x + ... + EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 =0 , в якому не всі EMBED Equation.3 дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів.
Приклад 4. Функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - лінійно незалежні, так як співвідношення EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Приклад 5. Функції EMBED Equation.3 =sin EMBED Equation.3 x , EMBED Equation.3 =cos EMBED Equation.3 x , EMBED Equation.3 =1 – лінійно залежні на EMBED Equation.3 , так як для будь-якого х справджується співвідношення
sin EMBED Equation.3 x + cos EMBED Equation.3 x – 1 = 0 .
Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій .
Теорема.1. Якщо функції EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 - лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут
W (x) = EMBED Equation.3 (14)
Доведення. Згідно умови теореми
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (x) + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (x) + ... + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0 , a < x < b , де не всі EMBED Equation.3 одночасно рівні нулю . Нехай EMBED Equation.3 , тоді
EMBED Equation.3 (15)
Диференціюємо (15) (n-1)-раз і підставляємо в (14)
W (x) = EMBED Equation.3 (16)
Розкладаючи визначник (16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже
W (x) EMBED Equation.3 0 , a < x < b. Теорема доведена.
Нехай кожна з функцій EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 - розв’язок диференціального рівняння (5) . Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих
розв’язків даються теоремою 1. і слідуючою теоремою .
Теорема 2. Якщо функції EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 - суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b) .
Доведення. Припустимо протилежне , що в точці EMBED Equation.3 (a,b) EMBED Equation.3 . Складемо систему рівнянь
EMBED Equation.3 (17)
Так як визначник системи (17) EMBED Equation.3 , то вона має ненульовий розв’язок
EMBED Equation.3 . Розглянемо функцію y = EMBED Equation.3 , (18)
яка являється розв’язком диференціального рівняння (5).
Система (17) показує , що в точці EMBED Equation.3 розв’язок (18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) –го порядку . В силу теореми існування і єдиності це значить , що має місце тотожність y (x) = EMBED Equation.3 , a < x < b, де не всі EMBED Equation.3 дорівнюють нулю . Останнє означає , що розв’язки EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 - лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.
З теорем 1 і 2 випливає : для того , щоб n розв’язків диференціального рівняння (5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.
Виявляється , для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5) достатньо переконатися , що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5):
а) Якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці EMBED Equation.3 (a,b) і всі коєфіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними , то EMBED Equation.3 на (a,b).
Дійсно, якщо EMBED Equation.3 , то по теоремі 2. функції EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 - лінійно залежні на (a,b). Тоді , по теоремі 1. EMBED Equation.3 на (a,b);
б) якщо вронскіан n розв’язків диференціального рівняння (5) відмінний від нуля в одній точці EMBED Equation.3 (a,b) , то EMBED Equation.3 на (a,b) .
Дійсно , якби W (x) дорівнював в одній точці з (a,b) нулю , то згідно а) EMBED Equation.3 на (a,b) , в тому числі і в точці EMBED Equation.3 (a,b) , що протирічить умові.
Звідси випливає , якщо n розв’язків диференціального рівняння (5) лінійно незалежні на (a,b) , то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому EMBED Equation.3 (a,b) .
4. Формула Остроградського – Ліувілля.
Ця формула має вигляд EMBED Equation.3 (19)
Доведення . Розглянемо вронскіан W (x) = EMBED Equation.3 і обчислимо його похідну
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 .
Перших (n-1)-визначників рівні нулю , так як всі вони мають по дві однакових стрічки . Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на EMBED Equation.3 і складемо всі n стрічок . В силу диференціального рівняння (5) маємо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ,
Звідки маємо формулу (5.19) .
5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.
Означення 5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків .
З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими .
Теорема 3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.
Доведення . Візьмемо точку EMBED Equation.3 (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки :
EMBED Equation.3 з початковими умовами EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ------------- // --------------- EMBED Equation.3 ;
... ------------- // --------------- ... ... ... ....
EMBED Equation.3 ------------- // --------------- EMBED Equation.3 .
Очевидно , що EMBED Equation.3 , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .
Теорема доведена .
З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.
Побудована система розв’язків називається нормованою в точці EMBED Equation.3 .
Для будь-якого диференціального рівняння (5) існує тільки одна фундаментальна система розв’язків , нормована по моменту EMBED Equation.3 .
6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.
Теорема 4. Якщо EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5) , то формула
y = EMBED Equation.3 , (20) де EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , ... , EMBED Equation.3 - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5) в області a < x < b,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , ... , EMBED Equation.3 (21) , тобто в області визначення
диференціального рівняння (5).
Доведення. Якщо EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 - розв’язки диференціального рівняння (5) , то лінійна комбінація (20) теж розв’язок .
Систему EMBED Equation.3 (22) можна розв’язати відносно EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , ... , EMBED Equation.3
в області (21) , так як EMBED Equation.3 . Згідно визначення (20) – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5) .
Теорема доведена .
Для знаходження частинного розв’язку такого , що EMBED Equation.3 (23)
необхідно все підставити в (22) і визначити EMBED Equation.3 , i=1,2,…,n .
Тоді EMBED Equation.3 - частинний розв’язок , якщо фундаментальна система розв’язків – нормована в точці EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 (24) загальний розв’язок в формі Коші .
Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння (5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .
Твердження 1. Диференціальне рівняння (5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.
Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок . Розглянемо n перших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як
EMBED Equation.3 , a < x < b, де всі EMBED Equation.3 не дорівнють нулю . Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 4. будь-який розв’язок , в тому числі і EMBED Equation.3 виражається через EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , ... , EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Так , що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .
Для побудови диференціального рівняння типу (5) по системі лінійно незалежних функцій EMBED Equation.3 (x), EMBED Equation.3 (x), ... , EMBED Equation.3 , які n раз неперервно диференційовані на (a,b) , вронскіан яких EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1)
EMBED Equation.3 = 0
і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .
Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною
EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 (25)
Тоді EMBED Equation.3
і диференціального рівняння (5) запишемо у вигляді
EMBED Equation.3
Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .
Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків , то диференціальне рівняння (5) можна понизити на к одиниць .