Загальне рівняння площини та його дослідження.
Покажемо, що алгебраїчною поверхнею першого порядку є площина. Для цього доведемо такі теореми.
Теорема 1. Площина в прямокутній декартовій системі координат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат.
Доведення. Геометричне будь-яку площину в просторі XYZ можна задати за допомогою вектора EMBED Equation.3 , перпендикулярного до цієї площини, і точки M0 (x0, y0, z0), Через яку проходить дана площина
Візьмемо довільну точку M (х, у, z) і знайдемо вектор EMBED Equation.3 . Точка M належить заданій площині тоді і тільки тоді, коли EMBED Equation.3 Тоді ;
EMBED Equation.3
Оскільки EMBED Equation.3 то скалярний добуток можна записати у вигляді
А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0,
або
Ах + By + Cz - (Aх0 + Ву0 + Cz0) = 0. (1)
Позначивши
- (AX0 + Ву0 + Cz0) = D
дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня:
Ах + By + Cz + D = О, (2)
Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних координатах може бути зображена рівнянням першого степеня.
Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням площини, яка проходить
Через точкуу M0 (х0, у0, z0) перпендикулярно до вектора EMBED Equation.3 = (А, В, С). Доведемо тепер обернену теорему.
Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня
Ax + By + Cz + D = 0, (3)

де А, В, С і D — довільні дійсні числа; х, у, z — поточні координата, визначає в декартовій прямокутній системі координат площину. Доведення. Доберемо трійку чисел (х0, y0> z0), які задовольняють рівняння (3). Це можна зробити таким чином. Два числа х0 і у0 візьмемо довільно, а третє z0 знайдемо з рівняння (3). Тоді ,
Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0. (4)
Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо
А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0. (5)
Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до вектора EMBED Equation.3 = (А, В, С) і такої, що проходить через точку M0 (х0, у0, z0). Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рівняння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини.
Рівняння ;
EMBED Equation.3 = 0 (6)
називається векторним рівнянням площини. Враховуючи, що EMBED Equation.3 векторне рівняння площини запишемо у вигляді:
EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3
Якщо у загальному рівнянні площини покласти z – z0 = 0, то дістанемо рівняння,
А(х – х0) + В(у – у0) = 0,
або
Ах + By + С = 0, (7)
де С = - (Ax0 + Ву0). Рівняння ( 7) називається загальним рівнянням прямої, що лежить у площині хОу.
Дослідження загального рівняння площини
Розглянемо загальне рівняння площини .
Ах + Вy + Cz + D = 0. (8)
де А, В, С і D — довільні числа, причому хоча б одне з перших трьох відмінне від нуля.
Дослідимо окремі випадки цього рівняння.
Якщо D = О, то рівняння (8) набирає вигляду;
Ах + By + Cz = 0. (9)
Це рівняння задовольняє точка О (0, 0, 0). Отже, рівняння (9) визначає площину, яка проходить через початок координат.
Якщо А = 0, то рівняння (8) має вигляд:
By + Cz + D = О (10)
і визначає площину, нормальний вектор якої EMBED Equation.3 = (О, В, С) перпендикулярний до осі Ох. Отже, рівняння (10) визначає площину, паралельну осі абсцис, або перпендикулярну до площини yOz.
Якщо А = В = 0, а С EMBED Equation.3 0, то маємо рівняння площини, паралельної хОу:
EMBED Equation.3
Рівняння х = 0, у = 0, z = 0 визначають відповідно координатні площини yOz, xOz, хОу.
2. Різні види рівнянь площини
Розглянемо загальне рівняння площини
Ах + Ву+ Cz + D = 0, (11)
коли всі його коефіцієнти і вільний член відмінні від нуля. Поділимо обидві частини рівняння (11) на D EMBED Equation.3 0 і запишемо його у вигляді
EMBED Equation.3 (12)
Позначимо EMBED Equation.3 Тоді:
EMBED Equation.3 (13)
Рівняння площини у вигляді (13) називається рівнянням у відрізках.
Знайдемо точки перетину площини (13) з координатними осями:
на осі абсцис у = z = 0, тоді х = а,
на осі ординат х = z =0, тоді у = b,
на осі аплікат х = у = 0, тоді z = с.
Таким чином, площина, задана рівнянням у відрізках выдтинає на координатних осях відповідно відрізки a, b і с.
Якщо потрібно побудувати площину, задану рівнянням, то зручно це рівняння записати у відрізках на осях. Тоді по точках M1 (a, 0, 0), М2 (0, b, 0) і М3 (0, 0, c) легко побудувати площину.
Рівняння площини, що проходить через три дані точки
Нехай дано три точки М1 (х1 у1, z1), М2 (х2, у2, z2), M3(x3,y3,z3), що не лежать на одній прямій. Ці точки однозначно визначають площину, яка проходить через них. Знайдемо рівняння цієї площини.
Візьмемо довільну точку простору M (х, у, z) (мал.3) і побудуємо вектори:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Точка M (х, у, z) належить шуканій площині тоді і тільки тоді, коли вектори EMBED Equation.3 лежать у цій площині, тобто коли вони компланарні.
Мал.2 Мал.3
Отже, мішаний добуток їх дорівнює нулю:
EMBED Equation.3 (14)
Запишемо цей добуток через координати векторів, які перемножаються. Маємо:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Якщо радіуси-вектори точок М, М1, М2 і М3 відповідно позначити через EMBED Equation.3 то вектори EMBED Equation.3 можна зобразити у вигляді ;
Тоді рівняння (14) можна записати таким чином: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (16)
Рівняння (15) називається рівнянням площини, що проходить через три дані точки, у координатній формі, а рівняння (16) — у векторній формі.
Рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам
Нехай задано точку M0 (х0, у0, z0) і два неколінеарних (не паралельних) вектори а і е. Ці умови геометрична однозначно визначають площину, що проходить через задану точку паралельно заданим векторам. Знайдемо рівняння площини.
Рівняння площини, що проходить через точку M0, грунтуючись на (1), запишемо у вигляді;
А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) =0,
де EMBED Equation.3 = (А, В, С) — вектор, перпендикулярний до даної площини, або нормальний вектор площини (рис. 4).
За умовою площина паралельна векторам EMBED Equation.3 . Отже, нормальний вектор площини можна виразити через векторний добуток даних векторів EMBED Equation.3
Якщо позначити радіуси-вектори точок M i M0 відповідно через EMBED Equation.3 , то рівняння (17) можна записати у вигляді EMBED Equation.3 ,звідки EMBED Equation.3 ,але EMBED Equation.3 Отже, вектори EMBED Equation.3 лежать в одній площині, тобто;
EMBED Equation.3 (18)
Вираз (18) є векторною формою рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам.
Рівняння заданої площини у координатній формі має вигляд :
EMBED Equation.3 (19)
Рівняння площини, що проходить через дві дані точки паралельно даному вектору
Нехай дано дві точки М1(х1, у1, z1), М2 (х2, y2, z2) і вектор EMBED Equation.3 . Знайдемо рівняння площини, що проходить через дані точки паралельно вектору EMBED Equation.3 . Нехай M (х, у, z) — довільна точка простору. Позначимо радіуси-вектори точок М, М1, М2 відповідно через EMBED Equation.3
За другий вектор, через який проходить задана площина, візьмемо
вектор EMBED Equation.3 Тоді рівняння даної площини, згідно
з рівнянням (2.18), можна записати у вигляді:
EMBED Equation.3 (20)
або, враховуючи, що EMBED Equation.3 , дістаємо.;
î^. Кут між двома площинами Нехай дві площини задані своїми рівняннями
EMBED Equation.3 (21)
Знайдемо кут між цими площинами.

Мал.4 Мал.5
Кутом між двома площинами називають один із суміжних двогранних кутів EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 , утворених цими площинами (мвл.5). Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між ними дорівнює 0 або EMBED Equation.3 .
Нехай кут між даними площинами . Тоді кут між нормальними векторами цих площин EMBED Equation.3 також дорівнюватиме EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 . Кут EMBED Equation.3 знайдемо за формулою (2.50) з гл.1:
EMBED Equation.3 (23)
Поклавши в цій формулі EMBED Equation.3 , дістанемо умову перпендикулярності площин:
EMBED Equation.3 (24)
Якщо площини ((22) паралельні, то і їхні нормальні вектори EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 також паралельні (колінеарні). Із умови паралельності векторів
маємо
EMBED Equation.3
або
EMBED Equation.3
Звідси дістаємо умову паралельності площин:
EMBED Equation.3 (25)
Таким чином, у паралельних, площин коефіцієнти при відповідних координатах пропорційні.

мал.6
Розв'язавши цю систему відносно М, дістанемо :
EMBED Equation.3
Число M називається нормувальним множником рівняння;
якщо D < 0, то M > 0, і тоді
EMBED Equation.3
Якщо D > 0, то M < 0, і тоді
EMBED Equation.3
Таким чином, знак нормувального множника протилежний знаку вільного члена рівняння площини.
Отже, щоб перетворити загальне рівняння площини на нормальне, треба обидві частини загального рівняння помножити на його нормувальний множник.
4. Відстань від точки до площини
Нехай площина задана нормальним рівнянням і дано точку M0 (х0, у0. z0), що лежить поза площиною. Відстань від точки M0 до площини позначимо через а. Відхилом точки M0 від даної площини називається число EMBED Equation.3 якщо точка M0 і початок координат лежать по різні боки від даної площини, і число EMBED Equation.3 якщо точка M0 і початок координат лежать по один бік від площини (мал 6).
Із точки M0 на дану площину опустимо перпендикуляр М0 М1, Де
М1 (х1, у1, z1). Позначимо EMBED Equation.3
Розглянемо вектори ;
EMBED Equation.3
За правилом додавання векторів:
EMBED Equation.3
Враховуючи означення відхилу, вектор EMBED Equation.3 можна записати у вигляді .
EMBED Equation.3
де EMBED Equation.3 — одиничний вектор променя EMBED Equation.3 .
Тоді дістанемо:
EMBED Equation.3
Помножимо обидві частини цього рівняння скалярне на EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Оскільки скалярний добуток EMBED Equation.3 ,а
EMBED Equation.3
то
EMBED Equation.3 ,
або
EMBED Equation.3 (26)
Відхил точки від площини, яку задано нормальним рівнянням , дорівнює значенню лівої частини цього рівняння у цій точці.
Відстань точки від площини дорівнює модулю відхилу цієї точки від даної площини:
EMBED Equation.3 (27)
Якщо площину задано загальним рівнянням
Ах+Ву+Сz+D=0
то щоб знайти відхіл точки M0 (x0,y0, z0) від даної площини, треба спочатку звести рівняння до нормального вигляду, а потім знайти значення його лівої частини у точці M0.
EMBED Equation.3 (28)
Тоді відстань від точки M0 до площини ;
EMBED Equation.3