Пошукова робота на тему:
Задачі, що приводять до поняття означеного інтеграла. Формулювання теореми існування.
План
Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла
Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
Формулювання теореми існування
ВИЗНАЧЕИЙ  ІНТЕГРАЛ
1. Деякі задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла
Розглянемо на простому конкретному прикладі задачу обчислення  площі фігури, обмеженої  неперервною кривою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  , заданої на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET , двома ординатами в  точках INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET  і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , та віссю INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET , (рис.1) , за тією схемою , про яку йшлося в п.8.3.1  за обчислення моменту інерції тіла , де досить чітко просліджувалися  три етапи . Розглядувану фігуру  далі називатимемо криволінійною трапецією . 
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис. 9.1
Етап 1. Розбиття фігури INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET    (рис. 9.1) на ряд вузьких смужок, паралельних осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET . Площу кожної із смужок можна обчислювати наближено, замінюючи її або прямокутником, верхня основа якого проходить через точку на кривій і знаходиться не вище за криву, або трапецією , обмеженою зверху хордою , що сполучає кінці відрізку кривої .
Етап 2. Сума площ усіх прямокутників або трапецоїдних смужок дасть наближене значення площ криволінійної трапеції. Очевидно, що ця площа буде обчислена тим точніше, чим меншою буде ширина кожної смужки .
Етап 3. Для  точного обчислення площі криволінійної трапеції слід обчислити  границю вказаної суми, коли ширина кожної смужки  прямує до нуля . Точне значення площі криволінійної трапеції позначають символом INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET  , який називається визначеним інтегралом у проміжку від  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET  до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET  функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET і вперше введений     Й.Бернуллі . Функція  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET  називається підінтегральною , а  вираз INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET  підінтегральним. Знак INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET нагадує розтягнуту літеру S , першу  літеру латинського слова  “summa” .Числа INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET  і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET  – границі інтегрування (нижня і верхня  відповідно ), INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET – підінтегральна змінна . Аналогічно можна підійти і до способу обчислення довжини дуги INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET (див. Рис.9.1) . З’єднуючи точки поділу  кривої на частинки хордами , можна вважати, що сума довжин  усіх хорд наближено дорівнюватиме довжині дуги INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET . Якщо позначити ширину кожної смужки  через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET , а різницю основ трапеції через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET , то довжини хорд дорівнюватимуть INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді сума довжин усіх хорд виразиться таким чином : INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET  і наближено дорівнюватиме довжині дуги INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET Для обчислення точного значення довжини дуги слід перейти до границі цієї суми , коли всі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET  прямують до нуля . Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET - диференційована , то і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET  при цьому теж прямуватиме до нуля . В результаті переходу до вказаної границі одержимо довжину  дуги INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET у  вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET
Рекомендується одержати для обчислення, наприклад, масу кривої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET (див. рис. 9.1) , знаючи , що її лінійна густина INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET  де  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET - неперервна функція, статичний момент фігури INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET   відносно осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET , вважаючи, що густина фігури стала, наприклад, дорівнює одиниці, момент інерції тієї самої фігури відносно осі  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET за  того самого припущення щодо густини.
Обчислюючи масу  дуги , будемо вважати , що в межах маленького відрізка дуги густина маси мало змінюється , тобто її можна вважати сталою . Обчислюючи  статичний момент фігури INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET  відносно осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET   будемо мати на увазі , що статичним моментом матеріальної точки відносно осі називається добуток маси точки на її віддаль від осі й що за сталої густини масу прямокутної смужки можна зосередити в її центрі і вважати точкою .
Обчислюючи момент інерції фігури  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET  відносно осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET , слід вважати, що момент інерції вузенької смужки відносно осі, їй паралельної, дорівнює  добутку маси смужки на квадрат її віддалі від осі.  Розв’язуючи ці завдання, нескінченно малими величинами, порядок яких більший за одиницю, можна нехтувати. Звичайно, в цьому пункті всі викладки проводилися на  інтуїтивному рівні , без  належних обгрунтувань. Усі необхідні  обгрунтування можуть бути наведені  після детального вивчення даного розділу.
2. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
В п.9.1 йшлося про невизначений інтеграл у зв’язку з обчисленням площі криволінійної трапеції, а також розв’язуванням деяких задач на основі складання інтегральних сум. Але там мова йшла про випадок, коли підінтегральна сума на всьому проміжку інтегрування була невід’ємною.
У даному випадку на підінтегральну функцію це обмеження не накладатиметься, але метод побудови інтегральних сум залишиться таким самим, що й раніше. Для прикладу розглянемо фігуру, обмежену графіком функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET , зображеним на рис.9.2 віссю INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET  і двома ординатами в точках, де  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET  (ця фігура заштрихована).
Так само, як це було і раніше, інтервал INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET  розіб’ємо на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET  частинок точками INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET        
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.9.2
(точки інтервалу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET не обов’язково повинні збігатися з точками ) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET ) і побудуємо суму
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET , яка називається інтегральною. Але ця сума вже не буде площею фігури з тієї простої причини, що на інтервалах INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET  відповідні члени суми будуть від’ємними, а на інших – додатними. Перейшовши в цій сумі до границі, коли INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET , одержимо
                 INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET                     (9.1)
Ті самі міркування, що і в п. 9.1, привели до поняття визначеного інтеграла.
Означення. Якщо границя (9.1) існує і скінченна, не  залежить від способів розбиття інтервалу  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET  на частини, ні від вибору точок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET  в кожній із частин, то вона називається визначеним інтегралом функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET  на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET і позначається символом INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET . У цьому випадку функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET  називається інтегровною на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET .
Площа фігури, заштрихованої на рис.9.2, уже не дорівнюватиме INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET . Площа цієї фігури
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET і ця рівність безпосередньо випливає з означення модуля функції.
Отже, визначений інтеграл не завжди дорівнює площі криволінійної трапеції. Саме визначення визначеного інтеграла ставить ряд проблем: а) за яких умов границя величини (9.1)  не залежить від способів розбиття інтервалу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET  на частини; б) не залежить від вибору точки в кожному з окремих інтервалів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET  ; в) за яких умов вона буде існувати і буде скінченою. Відповіді на ці запитання можна знайти у фундаментальних курсах математичного аналізу. Тут лише повідомляється (без будь-яких доведень) відповідь на ці проблеми у вигляді теореми.  
Теорема. Усяка обмежена на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET  функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET  інтегровна, якщо вона має скінченну кількість точок розриву. Зокрема буде інтегровною на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET  функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET  , якщо вона неперервна на цьому інтервалі.
Зауваження. Визначений інтеграл залежить тільки від виду функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET  і меж інтегрування, але не від змінної інтегрування, котру можна позначати довільною буквою.
Приклад1. Обчислити INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET  на основі інтегральної суми.
Р о з в ’ я з о к.  Розіб’ємо інтервал INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET  на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET  рівних частинок. При цьому довжини всіх інтервалів будуть рівними між собою і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнюватимуть INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET . Ординати в точках поділу обчислюватимемо на правому кінці кожного інтервалу. Вони складуть таку послідовність:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET
Інтегральна сума матиме вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET
Пропонується здійснити обчислення, взявши ординати на лівому кінці кожного інтервалу.
Як видно із наведеного прикладу, безпосереднє обчислення визначеного інтеграла як границі інтегральних сум пов’язане з певними труднощами. Навіть в простих випадках, коли підінтегральна функція є дуже простою, цей спосіб вимагає громіздких підрахунків. Знаходження інтегралів від більш складніших функцій приводить до ще більших труднощів. Інтегральні суми використовували ще в древні часи при розв’язуванні певних задач, але до тих пір, поки не був відкритий метод обчислення визначеного інтеграла, його застосування було обмежене. Цей метод, відкритий Ньютоном і Лебніцем, використовує глибокий зв’язок між інтегруванням і диференціюванням.
Приклад.  Обчислити інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET
Розв’язання. На підставі таблиці основних інтегралів і правила ІІІ, /див. Лекцію 2/ маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\36_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET