Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші.
План
Вступні відомості про диференціальні рівняння
Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь
Диференціальні рівняння першого порядку
Задача Коші
Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку
12. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
12.1. Вступні відомості про диференціальні рівняння
Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET , невідому функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET та її похідні. Найвищий порядок похідної від шуканої функції, що входить в диференціальне рівняння, називається його порядком. Отже, загальний вигляд диференціального рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET -го порядку такий:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET .
Найпростіші диференціальні рівняння вже розглядалися при вивченні інтегрального числення. Справді, нехай дано функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET . Знайдемо її визначений інтеграл. Маємо: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET і, отже, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET .
Інтегруючи, отримаємо:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET – довільна стала.
Виявляється, що будь-яке диференціальне рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET також має безліч розв’язків виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET – довільна стала
Розглянемо приклади.
Задача 1. Записати рівняння кривої, якщо відомо, що точка перетину будь-якої дотичної до кривої з віссю абсцис однаково віддалена від точки дотику та від початку координат.
Зробимо схематичний рисунок (рис.12.1). Нехай т. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET - це точка в якій проводимо дотичну. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET - точка перетину дотичної з віссю INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET . За умовою відстані INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET рівні, тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET .
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET
Піднесемо до квадрату обидві частини рівності та спростимо отриманий вираз INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET
Запишемо рівняння дотичної: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET - координати точки дотику.
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.12.1
Точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET належать дотичній, причому т. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET - це точка дотику. Якщо т. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET належить дотичній, то її координати мають задовольняти рівняння дотичної. Підставимо координати точок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET в рівняння дотичної:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET
Звідси виразимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET : INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET
Тоді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image069.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image071.gif" \* MERGEFORMATINET
Після нескладних перетворень отримаємо диференціальне рівняння першого порядку
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET
Всяка функція вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET задовольняє даному диференціальному рівнянню, тобто є його розв’язком при довільному значенні INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET
Приклад 2. З деякої висоти кинуто тіло масою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET Потрібно встановити, за яким законом буде змінюватися швидкість INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET падіння цього тіла, якщо на нього, крім сили ваги, діє тормозна сила опору повітря, що пропорційна швидкості (коефіцієнт пропорційності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET ).
Р о з в ‘ я з о к. За другим законом Ньютона
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET прискорення рухомого тіла, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET сила, що діє на тіло в напрямку його руху. Ця сила складається з двох сил: сили ваги INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET і сили опору повітря INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET ( ми беремо її із знаком мінус, оскільки вона направлена в сторону, що протилежна напрямку швидкості).Отже,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET
Ми одержали співвідношення, що зв’язує невідому функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET і її похідну, тобто диференціальне рівняння відносно функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image097.gif" \* MERGEFORMATINET
Розв’язати диференціальне рівняння – це значить знайти функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET , яка б тотожньо задовольняла даному диференціальному рівнянню. Очевидно, що таких функцій буде безмежна множина.
Неважко перевірити, що всяка функція вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image101.gif" \* MERGEFORMATINET
задовольняє даному рівнянню при довільному значенні постійної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET
Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET
Якщо це рівняння можна розв’язати відносно похідної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET то можна записати у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image107.gif" \* MERGEFORMATINET .
В цьому випадку ми говоримо, що диференціальне рівняння розв’язане
відносно похідної. Для такого рівняння справедлива теорема про існування та єдності розв’язку диференціального рівняння.
Теорема. Якщо в рівнянні
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image109.gif" \* MERGEFORMATINET
функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image111.gif" \* MERGEFORMATINET та її частинна похідна INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image113.gif" \* MERGEFORMATINET неперервні в деякій області INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image115.gif" \* MERGEFORMATINET на площині INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image117.gif" \* MERGEFORMATINET що містить точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image119.gif" \* MERGEFORMATINET то існує єдиний розв’язок цього рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image121.gif" \* MERGEFORMATINET що задовольняє умові: при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image123.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET
Геометричний зміст цієї теореми такий: існує і при тому єдина функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image121.gif" \* MERGEFORMATINET графік якої проходить через точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image128.gif" \* MERGEFORMATINET
Умова, що при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image123.gif" \* MERGEFORMATINET функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image131.gif" \* MERGEFORMATINET повинна дорівнювати заданому числу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image133.gif" \* MERGEFORMATINET називається початковою умовою. Вона часто записується так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image135.gif" \* MERGEFORMATINET
Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння, що задовольняє початковій умові, називається задачею Коші.
Означення 1. Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image137.gif" \* MERGEFORMATINET
яка залежить тільки від однієї довільної сталої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET і задовольняє таким умовам:
1) вона задовольняє диференціальному рівнянню при довільному конкретному значенню сталої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image140.gif" \* MERGEFORMATINET
2) якою б не була початкова умова INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET ( із області, в якій виконуються умови теореми існування і єдності розв’язку), можна знайти таке значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image144.gif" \* MERGEFORMATINET , що функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image146.gif" \* MERGEFORMATINET задовольняє даній початковій умові.
Як вже відмічалося, при відшуканні загального розв’язку диференціального рівняння ми часто приходимо до співвідношення вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET
не розв’язаному відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image150.gif" \* MERGEFORMATINET В таких випадках загальний розв’язок залишається в неявному вигляді. Рівність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image152.gif" \* MERGEFORMATINET , що задає неявно загальний розв’язок, називається загальним інтегралом.
Означення 2. Частинним розв’язком називається довільна функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image154.gif" \* MERGEFORMATINET яка одержується із загального розв’язку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image156.gif" \* MERGEFORMATINET якщо в останньому довільній сталій INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET надати певного значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image158.gif" \* MERGEFORMATINET Співвідношення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image160.gif" \* MERGEFORMATINET називається в цьому випадку частинним інтегралом.
З геометричної точки зору загальний інтеграл представляє собою однопараметричне сімейство кривих на координатній площині, що залежить від одного параметра INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, що проходить через деяку точку площини.
Розв’язати (про інтегрувати) диференціальне рівняння – це значить:
а) знайти його загальний розв’язок або загальний інтеграл (якщо не задані початкові умови);
б) знайти той частинний розв’язок рівняння або частинний інтеграл, який задовольняє початковим умовам (якщо такі є).
12.2. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку
Нехай диференціальне рівняння першого порядку, що розв’язане відносно похідної, має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image162.gif" \* MERGEFORMATINET (*)
Це рівняння для кожної точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET з координатами INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image131.gif" \* MERGEFORMATINET визначає INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image111.gif" \* MERGEFORMATINET . І, отже, похідну INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image168.gif" \* MERGEFORMATINET . Але значення похідної в точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до інтегральної кривої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image170.gif" \* MERGEFORMATINET , яка проходить через цю точку. Отже, диференціальне рівняння (*) дає сукупність напрямків (так зване поле напрямків) на площині INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image172.gif" \* MERGEFORMATINET . З геометричної точки зору проінтегрувати диференціальне рівняння – це знайти криві, дотичні яких збігаються з напрямом поля у відповідних точках.
Практично для зображення поля напрямків слід у кожній точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image174.gif" \* MERGEFORMATINET із області визначення функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image111.gif" \* MERGEFORMATINET накреслити стрілки, які утворюють з віссю INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET кути, тангенси яких дорівнюють значенням INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image111.gif" \* MERGEFORMATINET у цих точках. При побудові полів напрямків зручно користуватися ізоклінами (грецькі isos – рівний, однаковий, klino -нахиляю), лініями, у всіх точках яких напрям поля один і той самий.
Так, ізоклінами рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image177.gif" \* MERGEFORMATINET є прямі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image179.gif" \* MERGEFORMATINET , паралельні осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image181.gif" \* MERGEFORMATINET (рис.12.2). Усі інтегральні криві цього рівняння в точках перетину з прямою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image183.gif" \* MERGEFORMATINET нахилені до осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET під кутом INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image186.gif" \* MERGEFORMATINET .
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\49_files\\image188.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.12.2
