Властивості розв’язків лінійних однорідних систем
Властивість 1. Якщо вектор EMBED Equation.3 є розв’язком лінійної однорідної системи, то і EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3- стала скалярна величина, також є розв’язком цієї системи.
Дійсно, за умовою
EMBED Equation.3.
Але тоді і
EMBED Equation.3
оскільки дорівнює нулю вираз в дужках. Тобто EMBED Equation.3 є розв’язком однорідної системи.
Властивість 2. Якщо дві векторні функції EMBED Equation.3,EMBED Equation.3 є розв’язками однорідної системи, то і їхня сума також буде розв’язком однорідної системи.
Дійсно, за умовою
EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3
Але тоді і
EMBED Equation.3
тому що дорівнюють нулю вираз в дужках, тобто EMBED Equation.3 є розв’язком однорідної системи.
Властивість 3. Якщо вектори EMBED Equation.3, … , EMBED Equation.3 є розв’язками однорідної системи, та і їхня лінійна комбінація з довільними коефіцієнтами також буде розв’язком однорідної системи.
Дійсно, за умовою
EMBED Equation.3.
Але тоді і
EMBED Equation.3
тому що дорівнює нулю кожний з доданків, тобто EMBED Equation.3 є розв’язком однорідної системи.
Властивість 4. Якщо комплексний вектор з дійсними елементами EMBED Equation.3 є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна та уявна частини є розв’язками системи.
Дійсно за умовою
EMBED Equation.3
Розкривши дужки і зробивши перетворення, одержимо
EMBED Equation.3
А комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю дійсна і уявна частини, тобто
EMBED Equation.3
що і було потрібно довести.
Визначення 1. Вектори EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, … , EMBED Equation.3 називаються лінійно залежними на відрізку EMBED Equation.3, якщо існують не всі рівні нулю сталі EMBED Equation.3 , такі, що EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3.
Якщо тотожність справедлива лише при EMBED Equation.3, то вектори лінійно незалежні.
Визначення 2. Визначник, що складається з векторів
EMBED Equation.3, тобто
EMBED Equation.3
називається визначником Вронського.
Теорема 1. Якщо векторні функції EMBED Equation.3 лінійно залежні, то визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.
Доведення. За умовою існують не всі рівні нулю EMBED Equation.3, такі, що EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3.
Або, розписавши покоординатно, одержимо
EMBED Equation.3 .
А однорідна система має ненульовий розв’язок EMBED Equation.3 тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю, тобто
EMBED Equation.3 .
Теорема 2. Якщо розв’язки EMBED Equation.3- лінійної однорідної системи лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю в жодній точці EMBED Equation.3.
Доведення. Нехай, від супротивного, існує точкаEMBED Equation.3 і EMBED Equation.3.
Тоді система однорідних алгебраїчних рівнянь
EMBED Equation.3
має ненульовий розв’язок EMBED Equation.3. Розглянемо лінійну комбінацію розв’язків з отриманими коефіцієнтами
EMBED Equation.3.
Відповідно до властивості 4, ця комбінація буде розв’язком. Крім того, як випливає із системи алгебраїчних рівнянь, для отриманих EMBED Equation.3: EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Але розв’язком, що задовольняють таким умовам, є EMBED Equation.3. І в силу теореми існування та єдиності ці два розв’язки збігаються, тобто EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3, або
EMBED Equation.3,
або розв’язки EMBED Equation.3 лінійно залежні, що суперечить умові теореми.
Таким чином, EMBED Equation.3 у жодній точці EMBED Equation.3, що і було потрібно довести.
Теорема 3. Для того щоб розв’язки EMBED Equation.3 були лінійно незалежні, необхідно і достатно, щоб EMBED Equation.3 у жодній точці EMBED Equation.3.
Доведення. Випливає з попередніх двох теорем.
Теорема 4. Загальний розв’язок лінійної однорідної системи представляється у вигляді лінійної комбінації п -лінійно незалежних розв’язків.
Доведення. Як випливає з властивості 3, лінійна комбінація розв’язків також буде розв’язком. Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто завдяки вибору коефіцієнтів EMBED Equation.3 можна розв’язати будь-яку задачу Коші EMBED Equation.3 або в координатній формі:
EMBED Equation.3 .
Оскільки розв’язки EMBED Equation.3 лінійно незалежні, то визначник Вронського відмінний від нуля. Отже, система алгебраїчних рівнянь
EMBED Equation.3
має єдиний розв’язок EMBED Equation.3.
Тоді лінійна комбінація
EMBED Equation.3
є розв’язком поставленої задачі Коші. Теорема доведена.
Властивість 1. Максимальне число незалежних розв’язків дорівнює кількості рівнянь.
Це випливає з теореми про загальний розв’язок системи однорідних рівнянь, тому що будь-який інший розв’язок може бути представлений у вигляді лінійної комбінації EMBED Equation.3 лінійно незалежних розв’язків.
Визначення. Матриця, складена з будь-яких EMBED Equation.3-лінійно незалежних розв’язків, називається фундаментальною матрицею розв’язків системи.
Якщо лінійно незалежними розв’язками будуть
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3, … , EMBED Equation.3,
то матриця
EMBED Equation.3
буде фундаментальною матрицею розв’язків.
Як випливає з попередньої теореми загальний розв’язок може бути представлений у вигляді
EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 - довільні сталі. Якщо ввести вектор EMBED Equation.3, то загальний розв’язок можна записати у вигляді EMBED Equation.3.