Власні числа та власні вектори матриці План
Власні числа і власні вектори лінійного перетворення.
Характеристичне рівняння.
Властивості власних векторів і власних значень.
Означення. Ненульовий вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET який задовольняє умові
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET , (1)
називається власним вектором лінійного перетворення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET а число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET власним значенням. Говорять, що власний вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET відповідає власному значенню INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET
Задача знаходження всіх власних векторів лінійного перетворення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET має важливе значення як для кінцево вимірних просторів, так і у випадку нескінченновимірних просторів. Ми розглянемо її для лінійного простору кінцевого виміру INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET
Якщо в просторі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET вибраний базис, то рівність (1) можна записати в координатах як INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET що зв’зує матрицю INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET перетворення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET і координатний стовпчик INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET (2)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET одинична матриця INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET В розгорнутому вигляді (2) можна записати так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET (2/)
Із рівності (4.18/) знаходимо координати INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET власного вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET Це система INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET лінійних алгебраїчних рівнянь з INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET невідомими. Оскільки власний вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET ненульовий вектор, то не всі його координати повинні бути рівними нулю. Однорідна система (2/) має нетривіальні розв’язки тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET (3)
Рівняння (3) називається характеристичним рівнянням. Із характеристичного рівняння знаходяться всі власні значення лінійного перетворення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET Ясно, що в дійсному просторі комплексні корені не можуть бути власними значеннями.
Знайшовши із рівняння (3) всі власні значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET , ми кожне із них підставляємо в систему (2/) і знаходимо власні вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET , що відповідають цим власним значенням.
Приклад. Знайти власні значення та власні вектори лінійного перетворення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET що задається в деякому базисі матрицею
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET
Р о з в ‘ я з о к. Запишемо характеристичне рівняння (3) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET , тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET і власні значення матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET власний вектор, що відповідає власному значенню INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET Для визначення його координат запишемо систему рівнянь (2/)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET загальний розв’язок якої буде INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET
Оскільки ми шукаємо ненульові розв’язки однорідної системи, то, покладаючи INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET одержимо два власних вектори, що відповідають власному значенню INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET причому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET
Приведемо без доведення деякі властивості власних векторів і власних значень.
10. Власні вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET , що відповідають попарно різним власним значенням INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET , лінійно незалежні.
20. Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET матриці лінійного перетворення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць співпадають, тобто
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET
30. Якщо деяке власне значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET перетворення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET є коренем характеристичного рівняння кратності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET то йому відповідає не більше INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET лінійно незалежних власних векторів.
40. Власні значення симетричної матриці дійсні, а власні вектори, що відповідають різним власним значенням ортогональні.
50. Матриця лінійного перетворення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET в базисі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET має діагональний вигляд тоді і тільки тоді, коли всі вектори базису – власні вектори перетворення, причому на головній діагоналі знаходяться його власні значення.
60. Якщо всі корені характеристичного многочлена матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET
різні, то існує така матриця INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET із визначником, що не дорівнює нулю, що матриця INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\12_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET діагональна.
