Визначники та їх властивості
План
Визначення матриці.
Означення визначника.
Обчислення визначників другого і третього порядку.
Властивості визначників.
1. ВИЗНАЧНИКИ (ДЕТЕРМІНАНТИ)
1.1. Означення
Означення. Сукупність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  чисел, які розташовані у вигляді таблиці із INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET  рядків та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET  стовпчиків називається матрицею розміру INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET .
Коротко матриця INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET з елементами INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET позначається INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET  Якщо кількість рядків дорівнює кількості стовпчиків INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET , то така матриця називається квадратною, а число її рядків – її порядком.
  Матриця називається одиничною, якщо всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші елементи є нулями. Одиничну матрицю будемо позначати буквою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET  Матриця називається діагональною, якщо всі її елементи-нулі, крім елементів головної діагоналі. Матриця називається Матрицею трикутного вигляду називається матриця, в якої вище або нижче головної діагоналі всі елементи нулі. Якщо рядки матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET поміняти на стовпчики, а стовпчики на рядки, то така матриця називається транспонованою до даної і позначається INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET .
  Символ INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET в математиці означає сумування. Так,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET
Індекс INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET  називається індексом сумування.
  Мають місце такі правила сумування:
1) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET
2) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET
3) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET
  Означення. Визначником (детермінантом ) квадратної матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET  називається число, що ставиться у відповідність цій матриці і обчислюється за її елементами у відповідності з наступними означеннями:
1)      Визначником матриці порядку 1 називається єдиний елемент цієї матриці.
2)      Визначником матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET  порядку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET  називається число
    INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET  (1.1)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET детермінант матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET  порядку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET  що одержується із INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET  шляхом викреслювання INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET -го рядка та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET -го стовпчика. Формула (1.1) дає розклад визначника за елементами INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET -го рядка, де   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET Ця формула зводить визначник матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET -го порядку до обчислення визначників квадратних матриць INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET -го порядку, а далі, за тією ж формулою ми виразимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET  через визначники матриць порядку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET . Можна продовжувати цей процес, поки не прийдемо до матриць першого порядку, для яких детермінант
визначено безпосередньо.
  Числа INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET називаються алгебраїчними доповненнями до елементів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET
  Можна також розкладати визначник за елементами INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET -го стовпчика за формулою
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET (1.2)
  Застосуємо наше визначення до матриць порядку 2 і 3.
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET
  Для матриці порядку 3
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET
очевидно
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET
і
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET
  Два рядки (стовпчики) матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET  називаються пропорційними, якщо один з рядків (стовпчиків) одержується множенням всіх елементів іншого рядка (стовпчика) на одне і те саме число, відмінне від нуля. Це можна записати так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET - INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET -й рядок; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET ; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET , а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET .
  Рядок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET  називається лінійною комбінацією рядків INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET , якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET , де хоч би одне з чисел INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET  відмінне від нуля.
1.2. Властивості визначників
10 . Для довільної квадратної матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET  
Доведемо цю властивість за методом індукції. Для матриць порядку 1 це очевидно. Нехай ця властивість справедлива для матриць порядку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET  Доведемо її для матриць порядку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET  
При транспонуванні матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET  її INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET ий рядок стає INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET им стовпцем. Скористаємося формулою (1.2) для INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET го стовпця
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET .
Але елементи INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET  матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET  - це елементи INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET  матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET визначники матриці порядку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image058.gif" \* MERGEFORMATINET  визначники транспонованої матриці порядку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET , які за припущенням є рівні. Тому
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET
 
  20. Якщо один з рядків (стовпчиків) матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET  помножити на число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET , то визначник матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET  також помножиться на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET .
  Доведення випливає із формули (1.1) або (1.2), виходячи із властивості, що постійний множник INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET  можна виносити за знак суми.
  30. Якщо поміняти місцями два рядки (стовпчики), то визначник змінить знак на протилежний.
  Доведемо спочатку цю властивість для двох сусідніх рядків (стовпчиків). Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET ий рядок стане на місце INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET го, то, розклавши визначник за елементами INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET го рядка (формула 1.1), одержимо
  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image062.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET
  Якщо тепер поміняти INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET  ий з на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET  им рядком INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET , то, очевидно, потрібно здійснити сусідніх перестановок рядків INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET раз. Це значить, що знак визначника змінюватиметься непарну кількість разів, тобто змінить знак на протилежний.
  40. Визначник, що містить два однакові рядки (стовпчики), дорівнює нулю.
  Дійсно, помінявши два однакових рядки (стовпчики), визначник, очевидно, не зміниться. Але за властивістю 30  він змінить
знак на протилежний, тобто
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image068.gif" \* MERGEFORMATINET  
  50. Визначник не змінюється, якщо до одного з рядків (стовпчиків) матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET додати інший рядок (стовпчик) цієї матриці.
  Нехай до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET го рядка матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET  додали INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET ий її рядок, тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image069.gif" \* MERGEFORMATINET і
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image071.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image072.gif" \* MERGEFORMATINET  але INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET  оскільки він містить два однакових рядки
  60. Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image074.gif" \* MERGEFORMATINET  - одинична матриця, то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET
  Дана властивість випливає із розкладу визначника.
  70. Якщо один з рядків (стовпчиків) складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.
  Розклавши визначник за елементами цього рядка (стовпчика), одержимо всі доданки у формулі (1.1) нулі.
  80. Визначник матриці трикутного вигляду дорівнює добутку елементів, що знаходяться на головній діагоналі.
  90. Визначник не змінюється , якщо до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET -го рядка матриці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image076.gif" \* MERGEFORMATINET додається її INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET -й рядок, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET , помножений на число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET .
  100. Якщо який-небудь рядок (стовпчик) матриці є лінійною комбінацією інших рядків (стовпчиків), то визначник дорівнює нулю.
  110. Якщо кожний елемент якого-небудь рядка матриці є сумою двох чисел, тобто
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET ,   (1.3)
то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image080.gif" \* MERGEFORMATINET де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET - матриця вигляду , в якої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET -й рядок має вигляд (1.3); INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET - матриця (1), в якої  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET -м рядком є перші доданки елементів рядка (1.3); INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image082.gif" \* MERGEFORMATINET -матриця, в якої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET -м рядком є другі доданки рядка (1.3).
  120. Сума добутків елементів деякого рядка (стовпчика)
квадратної матриці на алгебраїчні доповнення до цих елементів дорівнює визначнику цієї матриці, а сума добутків елементів на алгебраїчні доповнення до інших елементів дорівнює нулю, тобто
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET
  Ми цю властивість приводимо без доведення.
Приклад 1.  Обчислити визначник
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image084.gif" \* MERGEFORMATINET  ,
розклавши його:
  а) за елементами першого рядка;
  б) за елементами другого стовпця.
  Р о з в ‘ я з о к.
  a)  Розкладемо визначник за елементами першого рядка:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET =
= INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image086.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image088.gif" \* MERGEFORMATINET =
= INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET +
+ INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image090.gif" \* MERGEFORMATINET .
  б)  Розкладемо визначник за елементами другого стовпця:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET =
= INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET +
  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image094.gif" \* MERGEFORMATINET = INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET .
 
Приклад 2. Обчислити визначник
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image097.gif" \* MERGEFORMATINET ,
користуючись властивостями.
  Р о з в ‘ я з о к. На основі властивості 90, якщо послідовно перший рядок помножити на –3, -2, -2 і додати до 2-, 3- і 4-го рядків, то одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image098.gif" \* MERGEFORMATINET .
  Помножимо перший стовпчик на –1 і додамо до 2-, 3- і 4-го стовпчика, а потім розкладемо одержаний визначник за елементами першого рядка
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\01_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET