Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні.
План
Довжина дуги кривої в декартових і полярних координатах
Площа поверхні
Площа поверхні обертання
Площа циліндричної поверхні
10.3. Довжина дуги
Це питання для кривої , заданої рівнянням INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET , вже розглядалося в п.9.1. Там була знайдена формула
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET (10.9)
Якщо крива задана параметрично, тобто у вигляді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET то
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET (10.10)
Для просторової кривої, заданої параметрично INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET , довжина дуги обчислюється за формулою
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET (10.11)
аналогічно формулі (10.10). Виведення цієї формули базується на розгляді елемента INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET дуги, кінці якої збігаються з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а саме, діагональ є хордою елемента дуги.
У випадку задання кривої в полярній системі координат INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET , матимемо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET (10.12)
Пропонується вивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в полярних координатах можна записати як параметричні з параметром q :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET
і використавши формулу (10.10).
Приклад 1. Обчислити довжину кривої, заданої рівнянням INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET .
Р о з в ‘ я з о к. Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху заштриховану на рис.10.7 фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись формулою (10.12), одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET
10.4. Площа поверхні
10.4.1. Площа поверхні обертання
Довжина дуги, що обмежує смужку зверху (рис.10.9),
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET
Ця дуга в разі обертання утворить поверхню обертання, площа якої дорівнюватиме бічній поверхні конуса, який має висоту INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET , а радіуси основ його INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді площа поверхні цього конуса нескінченно малої висоти
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET
Нескінченно малою вищого порядку нехтуємо і в результаті одержимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET звідки
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET (10.7)
10.4.2. Площа циліндричної поверхні
На рис. 10.10 зображено циліндричну поверхню INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET з твірними, паралельними осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET . Нехай ця поверхня задана рівняннями
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.10.9 Рис.10.10
Виділивши смужку так, як показано на рис. 10.10 , знайдемо її площу
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET (10.8)
Зауваження 1. При одержанні формул (10.1) – (10.2), (10.4) – (10.8) виділені елементи фігур вважалися прямокутниками (див. рис. 10.1, 10.4,10.5 ), сектором з центральним кутом INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET ( рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що не вплинуло на остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна було б строго довести.
Приклад . Еліпс із великою піввіссю INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET і малою піввіссю INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET робить один оберт навколо великої осі і вдруге – навколо малої осі. Визначити поверхню обертання еліпса в кожному з двох випадків.
Р о з в ‘ я з о к. Досить розглянути лише половину еліпса:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET
В результаті обертання навколо великої осі одержимо за (11.7)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET - ексцентриситет еліпса.
За допомогою підстановки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET матимемо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET
У випадку обертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання одержуємо інтеграл
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\43_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET
В обох випадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функції.
