Визначені інтеграли.
Теорема Ньютона-Лейбніца
План
Властивості визначеного інтеграла
Теорема Ньютона-Лейбніца
Властивості визначеного інтеграла
Означення визначеного інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET було до цього часу дане для інтервалу INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто при INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET . Від цього обмеження звільняє нас наступна властивість:
10. INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET
Доводять це твердження на основі побудови інтегральних сум, роздроблюючи інтервал INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET на частини в напрямі від INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET до INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET точками на осі INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET з абсцисами
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET де INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET Якщо перелік точок розбиття вести від INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET до INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET , матимемо INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET
Для цих двох послідовностей одержимо такі інтегральні суми:
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET - довільна точка з інтервалу INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET
Перейшовши в цих сумах до границі, коли INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET , одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET
20. INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET .
Доведення легко здійснити , вважаючи INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET у попередній властивості.
30. Для довільних двох інтегрованих функцій INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET і постійних INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET має місце рівність
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET
Ця властивість випливає із властивості границь (границя суми дорівнює сумі границь і постійний множник виноситься за знак границі. Ця властивість справедлива для довільного числа доданків.
40. Для довільних трьох чисел INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET справедлива рівність
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET (1)
Доведемо спочатку це твердження для INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET Побудуємо інтегральні суми на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET і на інтервалах INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET
Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способів розбиття відрізка INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET на частинки, то ми можемо розбити відрізок INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET на малі відрізки так, щоби точка INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET була точкою поділу. Тоді інтегральну суму по всьому відрізку можна розбити на дві інтегральні суми ( по відрізку INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET та по відрізку INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image058.gif" \* MERGEFORMATINET ):
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET
Перейшовши в даній рівності до границі при INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image062.gif" \* MERGEFORMATINET одержимо співвідношення (1).
Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET то за доведеною властивістю можна написати
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET , звідки
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image068.gif" \* MERGEFORMATINET
50. Нехай на INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET - інтегрована на INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET ,
що очевидно. Звідси INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET .
Величина INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET називається середнім значенням інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET . Очевидно, що між числами INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET i INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET знайдеться таке число INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET , що INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET . Але це число INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET , яке знаходиться між найменшим та найбільшим значенням неперервної функції INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET повинно бути деяким значенням функції. Звідси ми одержуємо теорему, що носить назву теореми про середнє в інтегральному численні.
60. Теорема (про середнє) . Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET – неперервна на відрізку INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET , то на INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET знайдеться таке число INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET , що
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image094.gif" \* MERGEFORMATINET . (2)
70. Якщо на відрізку INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET функції INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET задовольняють умові INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image100.gif" \* MERGEFORMATINET то
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image102.gif" \* MERGEFORMATINET (3)
Розглянемо різницю INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image106.gif" \* MERGEFORMATINET Тут кожна різниця
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image108.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image110.gif" \* MERGEFORMATINET Отже, кожний доданок суми невід’ємний, невід’ємна і вся сума, а тому і границя невід’ємна, тобто
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image112.gif" \* MERGEFORMATINET
Із (10.4) при INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image114.gif" \* MERGEFORMATINET одержимо, що для INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image116.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image118.gif" \* MERGEFORMATINET
80. Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET на INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET - інтегрована і INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image121.gif" \* MERGEFORMATINET , то
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image123.gif" \* MERGEFORMATINET
Формула Ньютона-Лейбніца
Будемо вважати, що нижня границя у визначеному інтегралі INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET зафіксована, а верхня INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET буде змінюватися, тобто розглянемо інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image127.gif" \* MERGEFORMATINET (ми тут позначили змінну границю звичною для нас буквою INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image129.gif" \* MERGEFORMATINET ). При постійному INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET цей інтеграл буде функцією від INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image131.gif" \* MERGEFORMATINET яку позначимо через INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image133.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image135.gif" \* MERGEFORMATINET
Теорема 1. Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image137.gif" \* MERGEFORMATINET неперервна функція і INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image139.gif" \* MERGEFORMATINET , то має місце рівність
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image141.gif" \* MERGEFORMATINET
Іншими словами, похідна від інтеграла за верхньою межею дорівнює підінтегральній функції, в яку замість змінної інтегрування підставлено значення верхньої межі.
Д о в е д е н н я. Надамо аргументу INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image129.gif" \* MERGEFORMATINET приросту INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET Тоді одержимо (за властивістю 40 )
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image145.gif" \* MERGEFORMATINET
Приріст функції INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image147.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнює INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image149.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image151.gif" \* MERGEFORMATINET Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image153.gif" \* MERGEFORMATINET
До останнього інтеграла застосуємо теорему про середнє
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image155.gif" \* MERGEFORMATINET де INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image157.gif" \* MERGEFORMATINET лежить між INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image129.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image159.gif" \* MERGEFORMATINET Зауважимо, коли INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image161.gif" \* MERGEFORMATINET то INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image163.gif" \* MERGEFORMATINET Отже, INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image165.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image167.gif" \* MERGEFORMATINET (остання рівність має місце в силу неперервності функції INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image169.gif" \* MERGEFORMATINET Теорема доведена.
Наслідок. Довільна неперервна функція має первісну.
Дійсно, якщо функція INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image171.gif" \* MERGEFORMATINET неперервна на відрізку INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image173.gif" \* MERGEFORMATINET то за теоремою про існування означеного інтеграла існує означений інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image127.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто існує функція INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image135.gif" \* MERGEFORMATINET За теоремою 1 вона є первісною від INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image169.gif" \* MERGEFORMATINET
Теорема 2. Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image177.gif" \* MERGEFORMATINET яка-небудь первісна від неперервної функції INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image179.gif" \* MERGEFORMATINET то справедлива формула
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image181.gif" \* MERGEFORMATINET (4)
Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.
Д о в е д е н н я. Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image177.gif" \* MERGEFORMATINET деяка первісна від функції INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image169.gif" \* MERGEFORMATINET За теоремою 1 функція INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image127.gif" \* MERGEFORMATINET також є первісною від функції INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image169.gif" \* MERGEFORMATINET Але дві довільні первісні від однієї і тієї ж функції відрізняються одна від одної на постійний доданок INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image186.gif" \* MERGEFORMATINET Отже, ми можемо написати
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image188.gif" \* MERGEFORMATINET
Ця рівність є тотожністю, а тому вона при відповідному виборі INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image190.gif" \* MERGEFORMATINET справедлива для всіх значень INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image192.gif" \* MERGEFORMATINET Для визначення INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image190.gif" \* MERGEFORMATINET покладемо в даній тотожності INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image194.gif" \* MERGEFORMATINET Тоді
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image196.gif" \* MERGEFORMATINET
Отже,
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image198.gif" \* MERGEFORMATINET
Поклавши INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image200.gif" \* MERGEFORMATINET одержимо формулу Ньютона-Лейбніца:
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image202.gif" \* MERGEFORMATINET
або, замінивши позначення змінної інтегрування INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image204.gif" \* MERGEFORMATINET на INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image131.gif" \* MERGEFORMATINET одержимо формулу (4).
Якщо ввести позначення
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image206.gif" \* MERGEFORMATINET
формулу (4) можна записати так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image208.gif" \* MERGEFORMATINET
Формула Ньютона-Лейбніца дає практичний і зручний метод обчислення визначеного інтеграла в тому випадку, коли відома первісна від підінтегральної функції. Тільки з відкриттям цієї формули визначений інтеграл зміг отримати те значення в математиці, яке він має сьогодні. Обчислення визначеного інтеграла як границю інтегральної суми були відомі ще за часів Архімеда, проте застосування цього методу обмежувалося тими простими випадками, коли вдавалося обчислити ці границі. Формула Ньютона-Лейбніца встановлює простий зв’язок між первісною та визначеним інтегралом, що значно розширює область застосування визначеного інтеграла до різних задач техніки, механіки, астрономії і т. д.
Приклад. Обчислити інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image210.gif" \* MERGEFORMATINET
Р о з в ’ я з о к. На підставі таблиці основних інтегралів і формули (4)маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image212.gif" \* MERGEFORMATINET
Теорема 3. Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET інтегрована на INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET і має скінчену кількість точок розриву першого роду, INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image215.gif" \* MERGEFORMATINET – неперервна функція і є первісною від INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді
INCLUDEPICTURE "D:\\Pojar_Igor_13.01.2004\\skoob\\DN\\dn\\k014\\37_files\\image218.gif" \* MERGEFORMATINET .
