Випадкові величини
1. Випадкові величини ? функції на просторі елементарних подій.
Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Випадкова величина ? це величина, яка приймає те чи інше значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика, число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина ? є число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію ? ? ???? на просторі елементарних подій ?.
Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має вигляд ???ГГ, ГР, РГ, РР?. Нехай ? ? число появ герба. Величина ? є функцією ? ? ???? елементарної події. Таблиця значень функції ???? має наступний вигляд:
Функція ? ? ???? на ? називається вимірною відносно ? ? алгебри ?, якщо для кожного дійсного х виконана умова ??: ????? х???.
Випадковою величиною ? на (????? ?) називається вимірна функція ? ? ????, яка задає відображення ? в множину дійсних чисел R.
Функцією розподілу випадкової величини ???? називається функціяF(x)={ ? : ???? < x}.
Нехай <????? ?> ? ймовірнісний простір і ???? ? випадкова величина на ньому. Показати,що кожна із множин множини ?
{ ? : ???? ? x}, { ? : ???? ? x},
{ ? : ???? ?x}, { ? : a????? < b},
{ ? : ???? ?x}, { ? : a<???? < b}
є випадковою подією, тобто кожна з цих множин належить ? ? алгебрі ?. Показати, що P{ ? : ???? ? x}= EMBED Equation.3 , P{ ? : ???? ?x}= EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3
Р{ ? : a????? < b}= F(b)- F( EMBED Equation.3 ),
2. Дискретні випадкові величини.
Нехай <????? ?> ? ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною називається функція ???? на ?, яка набуває скінченне або зліченне число значень х1, х2, …, хn , … і є вимірною відносно ? ? алгебри ?. Це означає, що для кожного хі
{ ? : ???? ?x} ? ? (1)
Дійсно, якщо для функції ???? має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно ?, так як для кожного дійсного х
{ ? : ???? ?x}= EMBED Equation.2 { ? : ???? ?xі} ? ?.
Крім того, якщо ???? вимірна відносно ? ? алгебри ?, то за Теоремою 1 для кожного дійсного х { ? : ???? ?x } ? ?. Таким чином, якщо ???? ? дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі <????? ?>, яка приймає значення х1, х2, …, хn, …, то для кожного n визначена ймовірність
Рn=Р{ ? : ???? ?xn} (2)
Нехай ?(?) – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…, хі,…. Набір чисел
Р{?:?(?)=xi}=pi (i=1,2,…)
називають р о з п о д і л о м випадкової величини ?. Зрозуміло, що
рі ? 0, EMBED Equation.3 .
Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді такої таблиці, в якій перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними ймовірностями:


Функція розподілу дискретної випадкової величини ?(?) визначається рівністю
EMBED Equation.3
Сумісний розподіл випадкових величин ?(?) і ?(?). Нехай ?(?) – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х1, х2,…, хі,…, ?(?) – дискретна випадкова величина, яка набуває значень y1, y2,…, yі,…. Набір чисел
Р{?:?(?)=xi, ?(?)=yi}=pij
(i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається с у м і с н и м р о з п о д і л о м випадкових величин ? і ? (розподілом випадкового вектора (?, ?)). Мають місце такі твердження:
а) рij?0, EMBED Equation.3
б) EMBED Equation.3
де {pi} розподіл ?(?), {qi} – розподіл ?(?).
Незалежні випадкові величини. Випадкові величини ? і ? н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j
P{?(?)=xi, ?(?)= yi} = P{?(?)=xi} ? P{?(?)= yi}.
Математичне сподівання випадкової величини. Нехай ?(?) – дискретна випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд ??хі?рі збігається. Тоді м а т е м а т и ч н и м с п оді-
в а н н я м випадкової величини ?(?) називається сума ряду М ?(?) = EMBED Equation.3 Якщо ??хі?рі=+?, то кажуть, що випадкова величина ?(?) не має математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.
Дисперсія випадкової величини ?(?) визначається рівністю
D?=M[?- M?]2= M?2-( M?)2= EMBED Equation.3
Властивості дисперсії.
D?=0 EMBED Equation.3 ?=соnst;
D?= EMBED Equation.3
D(C?)=c2 D?;
D(? EMBED Equation.3 C)= D? .
Якщо EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 незалежні випадкові величини, то D( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 )= D EMBED Equation.3 +D EMBED Equation.3 .
Коєфіцієнт коваріації випадкових величин EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 це:
cov(?, ?)=M(?-M?)(?-M?).
Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї випадкових величин ? і ? називаються
EMBED Equation.3
Мають місце такі твердження:
а) ?r(?, ?)?? 1;
б) якщо ? і ? незалежні, то r(?, ?)=0;
в) якщо ?r(?, ?)?=1, то з імовірністю одиниця ?=а?+b, де а і b – деякі сталі.
Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли.
Біномінальний розподіл. Проводяться незалежні випробовування; в кожному випробовуванні може бути два результати: «успіх» - з імовірністю p, або невдача з імовірністю 1-р=q. Нехай проведено n випробовувань. Позначимо через ? число «успіхів», тоді
Pn(k)=P{?=k}= EMBED Equation.3 (k=0, 1,…, n).
Розподіл випадкової величини ? називається б і н о м і н а л ь н и м р о з п о д і л о м Б е р н у л л і, а описана вище схема носить назву схеми незалежних випробовувань, або схеми Бернуллі.
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Локальна теорема Муавра- Лапласа.Якщо EMBED Equation.3 ,то
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Iнтегральна теорема Муавра – Лапласа. Якщо EMBED Equation.3 , р –константа, EMBED Equation.3 то
EMBED Equation.3 рівномірно по х1,х2 (- EMBED Equation.3
Теорема Пуассона. Якщо р=рn EMBED Equation.3 o та EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 , то

EMBED Equation.3
Геометричний розподіл. Випадкова величина ?, яка набуває значень 0, 1, …, k…має геометричний розподіл з параметром р,якщо
Р{?=k}=(1-p)kp.
Величину ? можна інтерпретувати як число випробувань до першої появи успіху в схемі незалежних випробувань з ймовірністю появи успіху р.
Розподіл Пуассона. Випадкова величина ?, яка набуває значень 0, 1, …, k…має розподіл Пуассона з параметром ? ), якщо
Р{?=k}= EMBED Equation.3 ,
Зазначемо, що параметр? в цьому розподілі задовільняє рівності ?=np, де n-число випробувань, а p -ймовірність успіху. При великому числі випробувань, число успіхів, наближено розподілено по закону Пуассона, а ймовірність успіху має порядок EMBED Equation.3 (закон рідких подій).
Задача 1.Двічі підкидають монету. Описати простір елементарних подій ?. Нехай ???? ? число появи герба. Знайти розподіл випадкової величини ? , математичне сподівання М? та дисперсію D?.
???ГГ, ГР, РГ, РР?
Р1=Р?? ???=1?4; Р2=Р?? ?1?=1?2; Р3=Р?? ?0?=1?4;
М? = 1?4 ? 2 + 1?2 + 1 =1; М? 2 = 1?4 ? 4 + 1?2 ? 1 =3?2;
D?. = М? 2 + (М?)2 = 1?2.
Задача 2. Випадкова величина EMBED Equation.3 приймає значення –1, 0 та 1 з ймовірностями, відповідно рівними EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 . Написати вираз та побудувати графік функції розподілу величини EMBED Equation.3 .
Задача 3. Випадкова точка ( EMBED Equation.3 на площині розподілена по наступному закону: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 0 1 Знайти M EMBED Equation.3 , M EMBED Equation.3 , D EMBED Equation.3 , D EMBED Equation.3 , M( EMBED Equation.3 -M EMBED Equation.3 )( EMBED Equation.3 - M EMBED Equation.3 ),
-1 0,1 0,5 та коефіціент кореляції EMBED Equation.3 ( Відповідь EMBED Equation.3 =0, 44).
0 0,15 0,25
1 0,2 0,15
Задача 4. Двічі підкидабть гральний кубик.Описати простір елементарних подій EMBED Equation.3 . Нехай EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - сума очок, які випали. Знайти розподіл випадкової величини EMBED Equation.3 .
Задача 5. Кидають два гральних кубика. Нехай EMBED Equation.3 -кількість очок на першому кубику, а EMBED Equation.3 на другому. Довести, що EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 - незалежні.
Задача 6. Монету підкидають доки випаде герб.Описати простір елементарних подій EMBED Equation.3 . Нехай EMBED Equation.3 - число зроблених підкидань. Обчислити: а) розподіл випадкової величини EMBED Equation.3 ; б) EMBED Equation.3 (Вказівка. Елементарний наслідок є EMBED Equation.3 ).
Задача 7.Гральний кубик підкидають 5 раз. Знайти ймовірністьтого, що два рази з’явиться число очок, яке кратне 3.
Задача 8. Що більш ймовірно: виграти у гравця ( рівного собі за силою гри ) 4 партії з 8, чи 3 партії з 5 ?
Задача 9.Показати, М? = np; D? = npq, якщо випадкова величина ? має біноміальний розподіл. q ? ймовірність невдачі, n ? число випробовувань, p ? ймовірність успіху.
Задача 10.Стріляють по цілі n раз. Влучення при окремих пострілах ? незалежні події і ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює р. Нехай ? ? число влучень при n пострілах. Знайти а) розподіл ? , б) М? та D? ;
Задача 11. Проведено 20 пострілів по цілі. Ймовірність влучення при одному пострілі 0,7. Обчислити: а) ймовірність того, що буде принаймі одне влучення;
б) ймовірність того, що буде не більше двох влучень.
Задача 12. Батарея зробила 14 пострілів по об’єкту, ймовірність влучення в який дорівнює 0,2. Обчислити ймовірність знищення об’єкту, якщо для ищення отрібно не менше 4 влучень. ( Відповідь. Р{ EMBED Equation.3 0.302).
Задача 13.Знайти ймовірність: а) при підкиданні 6n гральних кубиків не менше n раз з’явиться шестірка; б) появи принаймі трьох шестірок при підкиданні 18 кубиків (р=0,597).
Задача 14. Якщо в середньому лівші складають 1%, то які шанси на те, що серед 200 чоловік а) виявиться рівно 4 лівші ; б) знайдеться принаймі 4 лівші.
( Вказівка.Скористатися формулою Пуассона ).
Задача 15.Нехай ? ? випадкова величина, яка має геометричний розподіл з параметром р. Показати, що М?= EMBED Equation.3 та D? = EMBED Equation.3 .
Задача 16. Нехай ?- має геометричний розподіл. Показати,що
EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ).
Задача 17. Випадкові величини ?1 та ?2 ? незалежні і мають той самий геометричний розподіл ?qkp, k = 0,1, …}. Нехай ? = max (?1 , ?2). Знайти розподіл величин ? та сумісний розподіл величин EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 .
Задача 18. Нехай ? ? випадкова величина, яка має розподіл Пуассона з параметром ?. Довести, що М? = ?; D? =? .
Задача 19. Нехай ? та EMBED Equation.3 - незалежні випадкові величини, які приймають значення х1, х2,… з ймовірностями р1, р2,… та q1, q2,… відповідно. Обчислити
EMBED Equation.3 . Відповідь EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Задача 20. Нехай випадкова величина ? набуває цілих невід’ємних значень, причому М? EMBED Equation.3 . Довести, що
М?= EMBED Equation.3 .
Розв’язок. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Задача 21. Нехай ?1 та ?2- незалежні одинаково розподілені випадкові величини та ?=?1+?2, EMBED Equation.3 =?1-?2. Довести, що EMBED Equation.3 .
Задача 22. Нехай ?1 та ?2 ? незалежні випадкові величини, які мають цілі значення. Довести, що
EMBED Equation.3
Задача 23.Нехай ?1 та ?2 ? незалежні випадкові величини, які мають розподіл Пуассона з параметрами ?1 та ?2. Довести, що випадкова величина ? = ?1 + ?2 має розподіл Пуассона з параметрами ?1 + ?2.
Задача 24. Випадкові величини?1 та ?2 ? незалежні і мають розподіл Пуассона
з параметрами ?1та ?2 відповідно. Показати, що
EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 .
Задача 25 .Випадкові величини ?1 та ?2 ? незалежні і мають один і той же геометричний розподіл. Довести, що
EMBED Equation.3 .
Задача 26. Випадкові величини ?1 та ?2 ? незалежні і мають один і той же геометричний розподіл EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Показати, щовипадкова величина EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 має геометричний розподіл. Знайти параиетр цього розподілу.Відповідь q=q1q2.
Задача 27. Написані n листів, але адреси на конвертах написано у випадковаму порядку. Нехай EMBED Equation.3 - число листів, які будуть одержані тими адресатами, кому вони призначені. Обчислити М EMBED Equation.3 та D EMBED Equation.3 .
Розв’язування. Нехай EMBED Equation.3 = 1, якщо к- тий лист одержано адресатом , або EMBED Equation.3 = 0, - в протилежному випадку. Тоді EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Оскільки Р { EMBED Equation.3 =1 }= EMBED Equation.3 ’
D EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 і M EMBED Equation.3 =1. Для обчислення D EMBED Equation.3 треба підрахувати M EMBED Equation.3 (k EMBED Equation.3 i). Oскільки EMBED Equation.3 набуває значення 1 та 0, причому
Р { EMBED Equation.3 =1}= EMBED Equation.3 , то М EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ; cov ( EMBED Equation.3 = M EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 M EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Отже, D EMBED Equation.3 + 2 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Задача 28. Знайти ймовірність того, що подія А настурить рівно 70 раз в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випрбуванні дорівнює 0,25.
Розв’язування. Скористаємося локальною теоремою Лапласа:
EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 . Так як n=243, k=70 , p=0,25, EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 Шукана ймовірність дорівнює EMBED Equation.3
Задача 29. Ймовірність появи події А в кожному із 100 незалежних випробовувань постійна і дорівнює р=0, 8. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться: а) не менше 75 раз і не більше 90 раз;б) не менше 75 разів.
Розв’язування. а) Скористаємося інтегральною теоремою Муавра – Лапласа:
EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 - функція Лапласа,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто EMBED Equation.3 одержимо EMBED Equation.3
Відповідь.б) EMBED Equation.3 )).
Задача 30. Магазин одержав 1000 бутилок мініральної води. Ймовірність того, що при перевезенні бутилка дуде розбитою, дорівнює 0,003. Знайти ймоварність того, що магазин одерже розбитих бутилок: а) рівно дві; б) не менше двох; в) більше двох; г) принаймі одну. ( Вказівка. EMBED Equation.3 ; а) EMBED Equation.3 ; б) EMBED Equation.3 ; в) EMBED Equation.3 ; г) EMBED Equation.3 ).
3 Абсолютно неперервні випадкові величини.
Функція розподілу випадкової величини ? - це ймовірність F(x)=P{?<x}. Функція розподілу F(x): а) неперервна зліва; б) неспадна на (-?, +?); в) F(-?)=0, F(+?)=1
Для кожної функції F(x), яка має ці властивості можна побудувати ймовірний простір (?, ?, Р) і випадкову величину ?(?) на ньому, яка має функцію розподілу F(x).
Випадкова величина EMBED Equation.3 називається абсолютно неперервною, якщо існує невід’ємна функція р(х), яка називається щільністю ймовірності , така що [ 5] EMBED Equation.2 .
Майже при всіх х виконується рівність F?(x)=p(x). Для щільністі розподілу мають місце рівністі EMBED Equation.3 , P{a ? ? ? b}= EMBED Equation.3 = F(b)- F(a) (a<b).Якщо р(х) – неперервна функція, то
Р{ x ? ? ? ?x} = p(x) ?x + 0(?x).

Рівномірний розподіл. Випадкова величина ? має рівномірний розподіл на відрізку [a, b], якщо щільність розподілу ? дорівнює
EMBED Equation.3 p(x)= EMBED Equation.3
0, EMBED Equation.3
Нормальний розподіл N(a, ?2). Випадкова величина має нормальний N(a, ?2) розподіл, якщо щільність розподілу ? дорівнює
p(x)= EMBED Equation.3 exp EMBED Equation.3 , - EMBED Equation.3
Показниковий розподіл. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром ?, якщо щільність розподілу ? дорівнює
p(x)= EMBED Equation.3
0, EMBED Equation.3
Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.
Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

Функція розподілу випадкового вектора (?1,…, ?n) – це ймовірність
F(x1,…,xn)=P{?1 < x1…, ?n < xn}.
Незалежні випадкові величини. Випадкові величини ?1,…, ?n незалежні, якщо
P{?1< x1,…, ?n< xn}= P{?1< x1}… P{?n< xn}.
Теорема. Випадкові величини EMBED Equation.3 1, EMBED Equation.3 2,…., EMBED Equation.3 n незалежні тоді і тільки тоді, коли
EMBED Equation.3 (х1,х2,….,хn)= EMBED Equation.3 х1) EMBED Equation.3 х2)… EMBED Equation.3 хn).
Щільність розподілу випадкового вектора. Якщо функцію розподілу F(x1,…,xn) вектора (?1,…, ?n) можна подати у вигляді
F(x1,…,xn)= EMBED Equation.3
то кажуть, що випадковий вектор (?1,…, ?n) має щільність розподілу р(x1,…,xn). Щільність розподілу р(x1,…,xn) випадкового вектора (?1,…, ?n) є невід`ємна функція і
EMBED Equation.3 .

Для неї майже всюди має рівність EMBED Equation.3
Знаючи щільність розподілу випадкового вектора, можна знайти щільність розподілу кожної його компоненти
EMBED Equation.3 .
Математичне сподівання випадкової величини. Нехай ?(?) – випадкова величина на ймовірному просторі (?,?, Р).
Випадкова величина ?(?) має математичне сподівання, якщо існує інтеграл
М?= EMBED Equation.3 ,
де р (х)- щільність розподілу ?(?).
Якщо g(x) – однозначна функція і EMBED Equation.3 , то
Мg(?)= EMBED Equation.3 .
Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.
Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.
Дисперсія випадкової величини.
D EMBED Equation.3 = M( EMBED Equation.3 -M EMBED Equation.3 )2=M EMBED Equation.3 2- (M EMBED Equation.3 )2= EMBED Equation.3 .

Випадковий вектор (?1,…, ?n) має нормальний розподіл, якщо його щільність розподілу дорівнює
EMBED Equation.3 де , EMBED Equation.3 = M EMBED Equation.3 i ,
( i =1,…,n ), EMBED Equation.3 - визначник, який складений з елементів матриці коваріацій,
EMBED Equation.3 -елементи оберненої до матриці EMBED Equation.3 .
Задача 1.В книзі Г.Крамера дана функція розподілу рівних доходів осіб, які обкладаються податком:
EMBED Equation.2
Визначити розмір річного доходу, який для випадково вибраного платника податку може бути перевершеним з ймовірністю 0,5.
Розв’язування. Р{? ? x}= 0,5, за умовою задачі.
Р{? ? x}=1 - Р{? < x}=1-1+ (х0 ?х)? = 0,5 ? (х0 ?х)? = 1?2, х0 ?х=(1/2)1/? , х0 = (1/2)1/? х, х=2? х0
Задача 2 .Нехай ? - випадкова величина з неперервною функцією розподілу F(x) і ? = F(?). Обчислити функцію розподілу ?.
Розв’язування. Нехай EMBED Equation.2 Тоді EMBED Equation.2 При EMBED Equation.2 (так як F(x) – функція розподілу), при EMBED Equation.2 Отже, ? має рівномір-ний розподіл на [0,1).
Задача 3.Нехай ? ? рівномірно розподілена на [0, 1] випадкова величина. Знайти функцію розподілу випадкової величини ? = 1?? ln(1-?). (Відповідь: показниковий розподіл з параметром ?).
Задача 4. Нехай випадкова величина? має нормальний розподіл N(а, ?2). Показати, що EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Задача 5.Випадкова величина ? має нормальний розподіл N(0,?2). При якому ? ймовірність попадання в інтервал (а,b) буде максимальною?
Розв’язування. EMBED Equation.2
EMBED Equation.2 .

Задача 6.Нехай ? ? має показниковий розподіл з параметром ?. Обчислити а) М? ; б) D? ; в) Р{? ?1}.( Вказівка. EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ).
Задача 7.Нехай ? ? випадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром ?. Знайти розподіл випадкової величини ? = [?]. Обчислити М?.
( Відповідь.Геометричний розподіл з параметром р=1- е-?).
Задача 8 а) Знайти М|? |, якщо випадкова величина ? розподілена нормально з параметрами (0, ? 2).б) Нехай ? ? нормально розподілена з параметрами (а, ? 2). Обчислити М|? -а|. Відповідь EMBED Equation.3 .
Задача 9 . Нехай ? ? випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку [-a, a]. Обчислити: а) М? ; б) D? ; в) Р{ |? | > a/2 }
Задача 10. Щільність випадкової величини ? має вигляд р(х)=Ае-х при х?0 й р(х)=0 при х<0. Знайти коефіцієнт А. Обчислити дисперсію ? .
Задача11. Випадкова величина ? рівномірно розподілена на проміжку EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , а та ? ? додатні постійні. Знайти математичне сподівання та дисперсію ?. ( М? = 0 ; D? = а2?2 )
Задача12. Випадкова величина ? має щільність EMBED Equation.2 Знайти математичне сподівання та дисперсію. Відповідь М?=0, EMBED Equation.2 .
Задача13. Нехай випадкова величина ? задана наступним чином:.
EMBED Equation.2 Знайти а) коефіцієнт А й функцію розподілу; б) математичне сподівання та дисперсію ? . (А=1/2, F(x)=1/2 (sin x –1) при -?/2<x??/2, F(x)=0 при х?-?/2, F(x)=1 при х?-?/2; б) М?=0; D?=?2/4?2.
Задача14. Випадкова величина ? розподілена по закону Лапласа, тобто її щільність дорівнює р (х)= EMBED Equation.3 .Знайти математичне сподівання та дисперсію?..
Задача 15. Випадкова величина ? має щільність EMBED Equation.2 (закон Коші) а) коефіцієнт А та функцію розподілу ?; б) знайти ймовірність нерівності -1?х?1, в) яке математичне сподівання, цього розподілу?( Відповідь. А=1/? ; EMBED Equation.2 ; Р?-1???1?=1/2; математичного сподівання не існує).
Задача 16 .Випадкова величина ? розподілена логарифмічно нормально, тобто її щільність р(х)=0, при х?0 й EMBED Equation.2 , при х>0. (? ? довільне число, ? ? додатнє). Знайти М? та D? . (Відповідь EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 ). EMBED Equation.2 ).
Задача 17 . Нормальний розподіл з щільністю EMBED Equation.2 зрізано значенням х=b, а значення менше b відкинуті. Знайти математичне сподівання та дисперсію цього розподілу.
(відповідь: Щільність зрізаного розподілу
EMBED Equation.2
54
EMBED Word.Picture.8
EMBED Equation.2
Задача 18. Нехай випадковий вектор (? EMBED Equation.3 , ? EMBED Equation.3 ) має нормальний розподіл
N(а EMBED Equation.3 ,а EMBED Equation.3 , ? EMBED Equation.3 , ? EMBED Equation.3 , ?) EMBED Equation.3 на площині. Показати, що кожна з величин ? EMBED Equation.3 і ? EMBED Equation.3 має відповідно нормальний розподіл N(а EMBED Equation.3 , ? EMBED Equation.3 ) і N(а EMBED Equation.3 , ? EMBED Equation.3 ).
Розв’язування. Випадковийо вектор ( EMBED Equation.3 1, EMBED Equation.3 2)має нормальний розподілN ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) на площині, якщо його щільність
EMBED Equation.3 (х,у)= EMBED Equation.3 ехр {- EMBED Equation.3 [ EMBED Equation.3 - 2 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ] }. EMBED Equation.3 При цьому EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Зробимо заміну змінних
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 v
та врахуємо, що EMBED Equation.3 .
55
Одержимо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
або EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .

Задача19. Випадкові величини EMBED Equation.3 незалежні і мають нормальні розподіли EMBED Equation.3 ), EMBED Equation.3 ). Довести, що випадкова величина EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 має
нормальний розподіл EMBED Equation.3 ). (Скористатись формулою
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 -щільності випадкової величини EMBED Equation.3 , і=1,2.).
Задача 20. Випадковий вектор ( EMBED Equation.3 ) з невід’ємними компонентами має функцію розподілу
F(х,у)=1- EMBED Equation.3 .
Знайти математичне сподівання та матрицю коваріацій цього вектора. Залежні чи незалежні його компоненти? ( Відповідь. Випадкові величини EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 незалежні. M EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , M EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , D EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , D EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ).
Задача21. Випадкова величина EMBED Equation.3 рівномірно розподілена на інтервалі (-1 , 1), EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 m (m-ціле додатнє число). Знайти коефіцієнт кореляції EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 . Розлянути випадки парного та непарного n.
Задача 22. Випадковий вектор ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) має щільність р(х,у)= EMBED Equation.3 .
Знайти коефіцієнт EMBED Equation.3 . Знайти одновимірні щільності випадкових величин EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 . Установити, залежні чи ні випадкові величини EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 .