Використання поняття визначеного інтегралу
в економіці
1. Визначення загального обсягу випущеної продукції
Нехай деяка фірма випускає один вид продукції, використовуючи один ресурс. Виробнича функція фірми має вигляд q=q(x), де x - затрати ресурсу, а q - обсяг випуску. Затрати ресурсу x є функцією від часу t, наприклад, x=x(t).
Тоді загальний обсяг продукції Q за час від T0 до T1 обчислюється за допомогою визначеного інтегралу
EMBED Equation.3 .
При EMBED Equation.3, x(t)=100e0,2t, T0=0 та T1=5 (років) загальний обсяг випущеної за п’ять років продукції
EMBED Equation.3
2. Визначення коефіцієнта Джинні
Нехай y=y(x) - частка (доля) приватного капіталу деякої країни, яка перебуває у власності групи людей, що становлять частку (долю) x населення цієї країни.
Наприклад, у тому випадку, коли 30% населення володіє 10% капіталу, 60% населеня 35% капіталу, і 85% 60% капіталу, маємо таке:
y(0,3)=0,1;
y(0,6)=0,35;
y(0,85)=0,6.
Очевидно, що завжди y(0)=0 та y(1)=1.
На рис. 7.6 зображена відповідна крива (крива Лоренца).
y

0,6
0,1
x
0,3 0,85 1
Рис. 7.6.
Очевидно, що у разі абсолютно рівномірного розподілу багатства в країні крива Лоренца є бісектрисою прямого кута (прямою y = x). Зі збільшенням нерівності збільшується площа між кривою y=y(x) та прямою y = x. Числове значення цієї площі K (0<K<1/2) називають коефіцієнтом Джинні.
Приклад. Крива Лоренца деякої країни має вигляд EMBED Equation.3 .Знайти коефіцієнт Джинні цієї країни.
Із визначення коефіцієнта Джинні випливає, що для кривої Лоренца EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Для кривої Лоренца y=x2 маємо такий коефіцієнт Джинні:
EMBED Equation.3.
3. Обчислення дисконтованого значення грошових потоків
Як відомо з теми 3, теперішню вартість майбутніх грошей обчислюють за формулою
EMBED Equation.3,
де r - ставка відсотка.
Останню формулу для невеликих значень можна записати у вигляді
EMBED Equation.3 ,
оскільки ln(1+r)?r (справді, ln1,03=0,0296; ln1,05=0,0488; ln1,08=0,077 )
Нехай деяка фірма здійснює потік інвестицій FV1, FV2,…, FVn в моменти часу t1, t2,…,tn=T. Тоді дисконтована (чиста) теперішня вартість NPV потоку інвестицій представляє собою суму
EMBED Equation.3
У тому випадку, коли окремі інвестиції роблять невеликими порціями досить часто (всі ?i =ti-ti-1 -малі, де t0=0; i=1,…,n), NPV можна вважати інтегральною сумою, яка в неперервному випадку ( n??; всі ?i?0; послідовність значень FV1=FV(t1), FV2=FV(t2),…, FVn=FV(T) описує деяка функція FV(t), 0?t?T ) перетворюється в інтеграл
EMBED Equation.3 .
Приклад. Нехай потік інвестицій задає функція FV(t)=100-10t . Ставка відсотка r=10% (r=0,1). Довжина періоду інвестування T=5 (років). Визначити дисконтовану теперішню вартість потоку (рис.7.7,б):
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Для порівняння визначимо недисконтовану вартість цього потоку (рис 7.7,а):
EMBED Equation.3.
100 100

(5;50)
(5;30,3)
5 5
а б
Рис.7.7.
4. Розрахунок надлишку виробника та надлишку споживача
З курсу мікроекономіки відомо, що в умовах досконалої конкуренції ринкова (рівноважна) ціна на кожен товар відповідає точці перетину кривої попиту D=D(Q) та кривої пропозиції S=S(Q) (рис. 7.8).
Кожна точка (P;Q) на кривій попиту визначає кількість товару Q, який був би проданий за ціни P. Незважаючи на те, що на ринку весь товар реально продають за ціною P?, деяка i-та (i=1,…,n) частина споживачів згідна була б купити свою частку товару ?Q?i, заплативши і дещо вищу ціну Pi>P? (щоправда, за ціни Pi всього буде продано тільки Qi одиниць товару). Отже, кожна i-та частина споживачів завдяки ринковому механізмові виграє в ціні на (Pi-P?)?Q?i . Вважаючи, що за деякої досить високої ціни P0? товар не купуватимуть взагалі, маємо такий загальний виграш (надлишок) усіх споживачів:
EMBED Equation.3 ,
де i=1 відповідає ціні P0? , а i=n  ціні P?.
Очевидно, що в неперервному випадку надлишок (виграш) споживачів дорівнює площі S1 фігури P0?E P? (рис.7.8).
Кожна точка (Q;P) на кривій пропозиції визначає кількість товару Q, яка була б продана на ринку за ціни P. Оскільки деяка j–та (j=1,…,m) частина виробників згідна виробляти та постачати на ринок частку товару ?Qj  і за ціни Pj<P? (однак не нижчою від P?0), то завдяки ринковому механізму (який визначив ціну P?) загальний надлишок (виграш) усіх виробників дорівнює (де j=1 відповідає ціні P0? , а j=m  ціні P?)
EMBED Equation.3 ,
тобто площі S2 фігури P?EP?0 (див. рис. 7.8).
P(ціна)
P?0 S(Пропозиція)

Pi S1
P? S2 E D(Попит)
P?0
Q(Кількість)
Q0 Qi ?Qi Q?
Рис. 7.8.
Приклад. В умовах досконалої конкуренції крива попиту має вигляд D(Q)=(Q-10)2+200, а крива пропозиції – S(Q)=Q2+100. Знайти загальний надлишок споживача та загальний надлишок виробника, якщо максимальна ціна споживача – 225 одиниць, а виробника – 125 одиниць.
Точку рівноваги знаходимо з рівняння
D(Q)= S(Q);
(Q-10)2+200=Q2+100;
Q?=10;
P?=200.
Цінам P0?=225 та P0?=125 відповідає мінімальна кількість товару в обсязі Q0=5.
Надлишок (виграш) споживача дорівнює площі фігури S1, тобто його обчисдюють за допомогою визначеного інтеграла
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Надлишок (виграш) виробника дорівнює площі фігури S2, тобто знаходиться зи допомогою визначеного інтеграла
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3EMBED Equation.3.
5. Дослідження функцій густини розподілу ймовірностей
У курсі “Теорія ймовірності і математична статистика” буде з’ясовано, що ймовірність потрапляння неперервної випадкової величини x в інтервал [a;b] дорівнює інтегралу EMBED Equation.3, де f(x) - диференціальна функція (функція густини) розподілу ймовірностей величини x.
Знайдемо невласні інтеграли від деяких таких функцій.
Диференціальна функція (густина) рівномірного розподілу ймовірностей (рис. 7.9,а) EMBED Equation.3 дорівнює
EMBED Equation.3.
Диференціальна функція (густина) показникового розподілу ймовірностей (рис. 7.9,б) f(x)=kxe-kxEMBED Equation.3дорівнює
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Диференціальна функція (густина) нормального закону (закону Гауса) розподілу (рис. 7.9,в) EMBED Equation.3 .
За допомогою спеціальних методів можна показати, що
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .

1/(b-a)
а б в
Рис. 7.9.
Ці інтеграли широко застосовуються в курсі “Економетрія”.