Історію української математики можна починати ще з давніх часів, однак найбільш повно українська математична наука почала себе проявляти в першій половині ХХ ст.
Так, у 1910 році проф. Граве організовує в Київському університеті свій знаменитий семінар, у якому в 1910-1912рр. навчались і робили перші кроки в науці М.Ф.Кравчук, О.Ю.Шмідт, Б.М.Делоне, М.Г.Чеботарьов, А.М.Островський та інші. Проф.Граве не вагаючись ставив перед учнями складні проблеми з теорії груп і теорії алгебраїчних чисел. І такий педагогічний підхід дав блискучі результати. Так, ще в студентські роки О.Ю.Шмідт (згодом академік АН СРСР) публікує дві видатні праці з теорії груп і теорії Галуа. У першій з них доведено теорему про розклад скінченних груп у прямий добуток прямо нерозкладних множників, яку нині називають теоремою Ремака-Шмідта (або Круля-Шмідта). А в 1916 р. 25-річний випускник друкує у видавництві Київського університету свою монографію “Абстрактна теорія груп”, за якою вивчали теорію груп кілька поколінь алгебраїстів СРСР (друге видання книги вийшло в 1933р. в Москві). Після революції 1917р. О.Ю.Шмідт переїздить до Москви, де займається різноманітною громадською, політичною і науковою діяльністю. З 1930р. він очолює кафедру вищої алгебри Московського університету, організовує теоретико-груповий семінар, який згодом перетворився у Московську алгебраїчну школу.
У Києві традиції Граве продовжував розвивати академік АН України, професор М.Ф.Кравчук. Він викладав у Київському університеті та Київському політехнічному інституті, деякий час був директором Інституту математики АН України. Математик широкого профілю М.Ф.Кравчук відомий своїми працями з геометрії, аналізу, теорії диференціальних рівнянь. Алгебраїстам добре відомі його роботи з теорії перемінних (комутуючих) матриць, теорії білінійних та квадратичних форм, а введені ним многочлени —тепер відомі як многочлени Кравчука — є одним з основних робочих інструментів сучасної алгебраїчної комбінаторики.
Але в кінці 30-х років Київська алгебраїчна школа зазнала страшного удару. Академіка М.Ф.Кравчука та його учнів звинуватили в українському націоналізмі та контрреволюційному саботажі, бо замість застосувань математики до практичних завдань будівництва соціалізму вони буцім-то штовхали її на ідеалістичні манівці (що для створення атомної бомби треба знати теорію груп, більшовики довідаються пізніше). Більшість київських алгебраїстів зазнала цькувань і репресій, академік М.Ф.Кравчук загинув у таборах. Перед початком Другої Світової війни Київ повністю втратив свою роль одного з алгебраїчних центрів.
Відродження алгебри в Київському університеті почалося з 1955 року, після приїзду в Київ добре відомого на той час математика-алгебраїста, професора Берлінського університету Льва Аркадійовича Калужніна. Лев Аркадійович був людиною нелегкої, але дуже цікавої долі. Народився він 30 січня 1914р. в Москві. В 1923 році мати з 9-річним Львом емігрує до Німеччини, де він закінчує реальне училище, навчається спочатку в Берлінському, а потім у Гамбурзькому університетах. У 1938 році Лев Аркадійович переїздить до Франції, де слухає лекції в Сорбонні. Його вчителями в студентські роки були, зокрема, такі видатні математики як І.Шур, Е.Артін, Х.Гекке, Г.Цасенгауз, Е.Картан.
Великий вклад у розвиток математики вніс український математик Ігор Васильович Скрипник. Народився Ігор Васильович Скрипник у 1940 році, м. Жмеринка. Академік АН України, академік-секретар Відділення математики АН.
В внесок українського математика Віктора Михайловича Глушкова у математику, кібернетику та обчислювальну техніку був добре помітний і високо оцінений ще за життя вченого. Але чим далі, тим очевиднішим стає те, що у процесі творчої діяльності він зумів спрямувати свої величезні знання на формування нового наукового напряму, зорієнтувавши створений і керований ним науковий колектив на розробку інформаційних технологій.
З початком війни Німеччини проти Радянського Союзу Льва Аркадійовича було інтерновано. Майже 4 роки, аж до середини квітня 1945р., він був в’язнем кількох концтаборів. Після визволення Лев Аркадійович повертається у Францію, де поновлює заняття математикою, інтенсивно публікується, готує до захисту докторську дисертацію. Для проведення захисту потрібен був спеціальний дозвіл Вищої Атестаційної Комісії Франції, бо диплома про вищу освіту Лев Аркадійович так і не отримав. У 1948р. він захистив у Сорбонні докторську дисертацію “Будова силовських p-підгруп симетричних груп та їх узагальнень”. Після захисту Лев Аркадійович публікує ряд фундаментальних праць, доповідає про свої результати на міжнародних конференціях. У 1951 році він переїжджає до Німецької Демократичної Республіки, де розпочинає читати лекції в Берлінському університеті спочатку як доцент, а після захисту габілітаційної дисертації “Стабільні групи автоморфізмів” як професор математичного факультету.
Після переїзду до Києва Льва Аркадійовича відразу було затверджено в званні професора і він почав працювати на кафедрі алгебри, аналізу і теорії ймовірностей. В 1957р. Л.А.Калужнін захистив докторську дисертацію на тему “Силовські p-підгрупи симетричних груп. Вінцеві добутки груп. Узагальнена теорія Галуа”, ставши (без диплома про вищу освіту) унікальним володарем докторських ступенів трьох країн.
В 1963р. було відкриту Республіканську фізико-математичну школу-інтернат при Київському університеті. Викладачі кафедри з самого початку беруть діяльну участь у її становленні. Особливо значна роль тут належить доц.В.А.Вишенському, який уклав програми з математики для цієї школи, брав безпосередню участь у навчальному процесі, викладаючи курс алгебри, керував роботою гуртків і підготовкою учнів школи до математичних олімпіад. В цей же час В.А.Вишенський стає лектором українського телебачення з математики, де протягом 25 років читає курси лекцій для студентів-заочників, веде телевізійну математичну школу для школярів.
В 1970р. під жорстким тиском тодішнього керівництва Київського університету, який здійснювався виключно з політичних мотивів, Л.А.Калужнін був змушений залишити посаду завідувача кафедрою і з цього часу до 1985р. займав посаду професора кафедри алгебри і математичної логіки. Немалу роль тут зіграли “не ті” міжнародні зв’язки Льва Аркадійовича, а також той факт, що серед його учнів і близьких друзів були вчені (В.А.Вишенський, В.Г.Боднарчук, М.І.Білецький, А.В.Скороход), які підписали в 1968 році відомого листа до ООН про закриті судові політичні процеси в Україні.
Завідувачем кафедрою став вихованець Московської алгебраїчної школи, учень відомого вченого-алгебраїста О.Г.Куроша професор С.Т.Завало. Проф. Завало народився в 1919 році на Черкащині. З відзнакою закінчив Московський університет, воював на фронтах Великої Вітчизняної війни, закінчивши її у військовому званні майора. Після війни закінчив аспірантуру при кафедрі вищої алгебри Московського університету, захистив кандидатську дисертацію про будову операторних вільних груп, працював деканом математичного факультету Черкаського педінституту. В Київський університет прийшов 1970 року з посади заступника міністра освіти України. Майже одночасно С.Т.Завало було обрано деканом механіко-математичного факультету. Сергій Трофимович — автор 10 праць з теорії груп, ряду статей з методики викладання математики, багатьох книг, в тому числі підручників “Курс алгебри” (для університетів), “Алгебра і теорія чисел” (для педагогічних інститутів) у співавторстві з В.М.Костарчуком і Б.М.Хацетом.
У сімдесяті роки починають виділятися такі вчені як В.І.Сущанський, В.В.Сергійчук, О.Г.Ганюшкін. В цей час продовжуються дослідження з теорії груп підстановок, універсальних алгебр, теорії зображень та структурної теорії кілець. У працях Л.А.Калужніна та В.І.Сущанського подальший розвиток дістали дослідження будови вінцевих добутків груп, розпочалось систематичне вивчення операцій на групах підстановок. В.І.Сущанський застосував вінцеві добутки за нескінченними послідовностями груп підстановок для побудови нових прикладів груп бернсайдового типу — нескінченних періодичних груп зі скінченним числом твірних. Запропоновані ним конструкції стали найвідомішими результатами з теоретико-групових досліджень на кафедрі цього періоду.
В цей же час Л.А.Калужнін разом зі своїми учнями В.О.Устименком, М.Х.Кліном розробляє метод інваріантних відношень в теорії груп підстановок. За його допомогою було побудовано першу нескінченну серію максимальних примітивних підгруп симетричних груп (Л.А.Калужнін, М.Х.Клін), досліджено на максимальність експоненціювання симетричних груп (В.О.Устименко). Значні результати в напрямку так званої гіпотези Тітса-Кантора про максимальність лінійних груп над скінченними полями отримав В.О.Устименко. Розвитком методу інваріантних відношень є техніка обчислень у V-кільцях груп перетворень, яку було успішно застосовано до розв’язання різноманітних задач комбінаторики: побудови сильно регулярних графів, симетричних блок-схем, метричних схем відношень, класифікації бульових функцій (В.О.Устименко, М.Х.Клін, В.І.Сущанський, В.В.Ждан-Пушкін).
Під впливом теорії цілочисельних зображень і зображень скінченновимірних алгебр в цей період почався розвиток нового напрямку — теорії матричних задач. Ряд важливих результатів у цьому напрямку одержано співробітниками кафедри. Зокрема, Ю.А.Дрозд розробив метод приведення матриць, застосовний до широкого класу задач, що дало йому змогу довести так звану розширену гіпотезу Брауера-Тролла. Разом з В.М.Бондаренком він одержав критерій “ручності типу” групової алгебри скінченної групи, відомий як теорема Дрозда про альтернативу “ручність-дикість” для вільних боксів та скінченновимірних асоціативних алгебр. В.В.Сергійчук розвинув техніку інволютивних матричних задач, що дало можливість класифікувати системи лінійних операторів та білінійних форм. С.А.Овсієнко одержав ряд глибоких результатів щодо зв’язку матричних задач з цілочисловими квадратичними формами. Техніку матричних задач було застосовано до класифікації скінченних p-груп та інверсних напівгруп (В.В.Сергійчук та В.В.Плахотник).
Природним продовженням праць про будову порядків стали дослідження із структурної теорії кілець, які проводив доц. В.В.Кириченко зі своїми учнями О.Г.Завадським та Н.М.Губарені. Було одержано важливі результати про будову спадкових, узагальнено однорідних та деяких інших типів кілець і модулів над ними.
Із середини 70-х років на кафедрі розпочинаються дослідження з комп’ютерної алгебри, які проводяться в рамках співробітництва з Інститутом кібернетики АН України. Розробляються алгоритми і програми для обчислень в теорії груп та алгебраїчній комбінаториці, випускається два збірники наукових праць з цієї проблематики.
В 1981р. С.Т.Завало переходить на посаду професора кафедри, на якій працює до своєї передчасної смерті в 1989р. Завідувачем кафедрою стає доц. Ю.А.Дрозд.
Ю.А.Дрозд народився у 1944 році в Києві. Ще в шкільні роки проявив себе як переможець республіканських та всесоюзних олімпіад. Є вихованцем механіко-математичного факультету, який закінчив у 1966 році. По його закінченні навчався в аспірантурі Інституту математики ім.В.А.Стєклова у Москві під керівництвом члена-кореспондента АН СРСР І.Р.Шафаревича. Працює на кафедрі з 1968 року, після захисту кандидатської дисертації. В 1981 році захистив докторську дисертацію, а через рік отримав наукове звання професора. Має номінацію Соросівського професора. Створив потужну власну наукову школу з теорії зображень, яка нині широко відома в усьому світі. Юрій Анатолійович є автором понад 130 наукових праць, в тому числі 4 навчальних посібників. Під його керівництвом захищено 18 кандидатських дисертацій, троє з його учнів стали докторами наук. Юрій Анатолійович є керівником кількох міжнародних наукових програм, головним редактором журналу "Algebras and Representation Theory" видавництва Kluwer Academic Publishers.У 80-ті роки на кафедрі відбувається ряд кадрових змін. На місце Л.А.Калужніна (вийшов на пенсію в 1986р.), В.В.Кириченка (після захисту докторської дисертації у 1986р. став завідувачем кафедри геометрії і топології) та С.Т.Завало (помер у 1989р.) доцентами кафедри стають В.О.Устименко та С.А.Овсієнко, які деякий час працювали в наукових лабораторіях факультету, з кафедри математичного аналізу на посаду асистента переводиться к.ф.-м.н. В.М.Футорний, а після закінчення аспірантури асистентом зараховується також В.В.Бавула.
Поступово змінюється і проблематика наукових досліджень членів кафедри. Вони розвиваються, в основному, у двох напрямках: категорно-геометричні методи зображень алгебр Лі та асоціативних алгебр, і теорія груп перетворень та її застосування в алгебраїчній комбінаториці. Найбільш вагомими результатами цього періоду можна назвати ініційовані роботою Ю.А.Дрозда про зображення алгебри Лі INCLUDEPICTURE "http://www.mechmat.univ.kiev.ua/ua/sections/ALGEBRA/Image75.gif" \* MERGEFORMATINET дослідження алгебр Лі та асоціативних алгебр, близьких до універсальних обгортуючих, створення В.М.Футорним загальної теорії узагальнених модулів Верма для класичних простих алгебр Лі, результати В.В.Кириченка про будову однорядних і квазіфробеніусових кілець, розв’язання В.І.Сущанським за допомогою оригінальних конструкцій відомих проблем теорії факторизовних груп, нові методи побудови і дослідження екстремальних схем інцидентності і геометрій, започатковані В.О.Устименком. Наукове життя на кафедрі в цей період стає більш інтенсивним. Працюють наукові семінари з теорії груп та напівгруп, теорії зображень, комп’ютерної алгебри. Регулярно проходять засідання студентських математичних гуртків, істотно збільшується число аспірантів при кафедрі. Співробітники кафедри регулярно виступають з доповідями (в тому числі і пленарними) на Всесоюзних алгебраїчних конференціях, конференціях з теорії груп, теорії кілець та модулів, математичної логіки.
Розробляється новий набір спеціальних курсів, істотно модернізується програма нормативних курсів з алгебри та математичної логіки. Кафедрі передаються нормативні курси “Педагогіка і методика викладання математики”, “Історія математики”, для яких створено нові програми.
З 1993 року при механіко-математичному факультеті функціонує спеціалізована Вчена Рада по захисту докторських дисертацій зі спеціальності 01.01.06 “Математична логіка, алгебра і теорія чисел” під головуванням професора Ю.А.Дрозда. В 1995 році на базі спеціальності 01.01.06 було створено дві нові спеціальності: 01.01.06 “Алгебра і теорія чисел” та 01.01.08 “Математична логіка, теорія алгоритмів і дискретна математика” і Раду було перезатверджено ВАК України з цих двох спеціальностей.
Першими докторськими дисертаціями, які захищалися на новій Раді, були дисертації співробітників кафедри доц.В.О.Устименка та доц.В.В.Сергійчука (хоча останній у 1992 році перейшов на роботу в Інститут математики АН України, фактично всі результати своєї дисертаційної роботи він отримав, працюючи на кафедрі). В 1995р. професор В.О.Устименко перейшов на нову роботу, зайнявши посаду завідувача кафедрою математики Києво-Могилянської Академії. Нині перебуває в закордонному відрядженні, виконуючи обов’язки директора відділення математики університету ЮНЕСКО на Островах Фіджі.
З 1989 по 1996рр. на кафедрі працював на посаді асистента В.В.Бавула. В.В.Бавула досліджував зображення узагальнених алгебр Вейля. Узагальнюючи результати Р.Блоха, описав незвідні модулі над ними. Ці дослідження привели до введення нових понять теорії некомутативних кілець. В 1996 році він захистив докторську дисертацію і змінив місце роботи.
У 90-ті роки кафедра розпочинає готувати кадри вищої кваліфікації через докторантуру. В 1995 році докторантуру закінчує асистент кафедри В.М.Футорний і захищає докторську дисертацію. В 1999р. в зв’язку з довготерміновим закордонним відрядженням він переходить на посаду старшого наукового співробітника. У 1995-1998рр. перебуває в докторантурі доц.С.А.Овсієнко. Одночасно він стає Гумбольтівським стипендіатом і стажується протягом 1,5 року в Білефельдському університеті. В 1998-1999рр. Гумбольтівським стипендіатом був асистент кафедри В.С.Мазорчук, який також стажувався в Білефельдському університеті.
В 1998 році в зв’язку з довготерміновим закордонним відрядженням Ю.А.Дрозд звільнився з посади завідувача кафедрою і новим завідувачем, а також новим головою спеціалізованої Ради став д.ф.-м.н., професор В.І.Сущанський.
В.І.Сущанський народився в 1946 році на Житомирщині. Закінчив Київський університет в 1969 році і аспірантуру по кафедрі алгебри і математичної логіки в 1971 році. Кандидатську дисертацію виконав під керівництвом професора Л.А.Калужніна. Докторську дисертацію захистив у 1991 році, звання професора отримав у 1993 році. Має номінацію Соросівського професора, є автором понад 120 наукових праць, в тому числі 5 навчальних посібників та науково-популярних видань. Під керівництвом Віталія Івановича захищено 19 кандидатських дисертацій, один його учень подав до захисту докторську дисертацію.
В.І.Сущанський разом зі своїми учнями отримав ряд важливих результатів про будову груп автоморфізмів дерев, заклав основи теорії груп та напівгруп автоматних перетворень. Досліджено класи спряженості в групах автоморфізмів різних типів дерев, описано нормальну будову груп автоморфізмів шарово-однорідних дерев, охарактеризовано широкі класи підгруп бернсайдового типу в групах автоморфізмів однорідного кореневого дерева.
Ю.А.Дрозд у співробітництві з німецькими математиками розробив теорію модулів Коена-Маколея над одновимірними особливостями, описав векторні розшарування над проективними кривими, отримав класифікацію стабільних гомотопічних типів поліедрів у кількох нових випадках, описав квадратичні та деякі класи кубічних модулів. Разом з С.А.Овсієнком довів збіжність зображувальних типів локально скінченновимірної матричної задачі та її фактора за вільною дією групи без скруту.
В.М.Футорний побудував квантові аналоги для узагальнених модулів Верма деяких параболічних підалгебр в простих алгебрах Лі та афінних алгебрах Лі, дослідив узагальнені модулі типу Верма для тороїдальних алгебр Лі.
В.А.Вишенський продовжував свої дослідження в галузі створення конкретних методик. Запропоновано нові методичні розробки ряду тем для шкіл і ліцеїв фізико-математичного профілю, зокрема, пов’язаних із впровадженням до навчального процесу різноманітних математичних ігор.
О.Г.Ганюшкін разом з учнями дослідив будову нільпотентних піднапівгруп в класичних напівгрупах перетворень, разом з В.С.Мазорчуком ввів до розгляду і дослідив будову факторстепенів напівгруп перетворень, а разом з В.І.Сущанським охарактеризував скінченні однорідні метричні простори з широким спектром значень метрики.
С.А.Овсієнко побудував теорію дуальності для INCLUDEPICTURE "http://www.mechmat.univ.kiev.ua/ua/sections/ALGEBRA/Image76.gif" \* MERGEFORMATINET -категорій, на основі чого дав широке узагальнення дуальності Рінгеля та встановив зв’язки між нею та Кошулівськими дуальностями. Ним досліджена категорія модулів Гельфанда-Цейтліна над повною лінійною алгеброю Лі, доведено теорему про локальну скінченність блоків цієї категорії.
В.І.Беккерт одержав список точних серій та точних шурівських категорій векторних просторів, для широких класів шурівських векторних просторів побудував сагайдаки Ауслендера-Райтен, спільно з В.В.Бавулою одержав критерій ручності категорій вагових та узагальнених вагових модулів для широкого класу узагальнених алгебр Вейля.
В.С.Мазорчук отримав критерій вкладеності узагальнених модулів Верма над напівпростими алгебрами Лі, описав носії простих модулів над узагальненими алгебрами Вірасоро, побудував та описав структуру параболічних аналогів однієї з важливих для теорії зображень категорії, дав абстрактне визначення перетворення Енрайта та застосував його до вивчення цієї категорії.
За свої наукові дослідження в 1997р. В.С.Мазорчук отримав премію НАН України для молодих вчених. На початку 2000 року він (у 27-річному віці) захистив докторську дисертацію.
О.О.Безущак отримала (разом з В.І.Сущанським) характеризацію груп ізометрій узагальнених метрик берівського типу, описала класи спряженості в групах ізометрій берівських метрик.
В.В.Некрашевич побудував теорію неаменабельності для рівномірно обмежених метричних просторів, встановив зсувну еквівалентність сіток та підгруп скінченного індекса в скінченно породжених неаменабельних групах, біліпшицеву еквівалентність квазіізометричних неаменабельних груп. Дослідив динаміку дій автоморфізмів кореневого дерева на його границі та описав класи спряженості основних груп автоморфізмів дерев (разом з В.І.Сущанським).
А.С.Олійник довів, що в категорному розумінні Бера більшість скінченно породжених піднапівгруп напівгрупи автоматних перетворень є вільними, вказав серії вільних напівгруп автоматних перетворень, побудував приклади вільних груп скінченно автоматних підстановок і (разом з В.І.Сущанським) нескінченних унітрикутних матриць.
Як бачином, є чимало українських видатних математиків зі світовими іменами.
