Відповідності, функції, відображення
1. Відповідності та композиції відповідностей
1. Визначити R(a), R-1(b), R(X), R-1(Y), де
R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,1)}, a=1, b=2, X={2, 3}, Y={2, 3};
R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,1)}, a=2, b=1, X={1, 3}, Y={1, 3};
R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3)}, a=1, b=2, X={1, 3}, Y={1, 3};
R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3)}, a=3, b=3, X={1, 2}, Y={1, 2};
R={(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,3)}, a=1, b=1, X={2, 3}, Y={2, 3};
R={(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,3)}, a=2, b=3, X={1, 3}, Y={1, 2};
R={(1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}, a=3, b=3, X={1, 2}, Y={1, 2};
R={(1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}, a=3, b=2, X={1, 2}, Y={1, 3};
R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}, a=2, b=2, X={1, 3}, Y={1, 3};
2. Побудувати композицію R?P відповідностей R і P, де R?A?B, P?B?C:
A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,1), (z,2)}, P={(1,7), (2,5), (3,5), (3,6), (3,7)};
A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (x,3), (y,1), (z,2)}, P={(1,6), (2,5), (2,6), (3,6), (3,7)};
A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (y,2), (z,3)}, P={(1,5), (1,6), (1,7), (2,6), (2,7)};
A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,3), (y,1), (y,3), (z,2)}, P={(1,7), (2,5), (2,6), (3,5), (3,7)};
A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (x,3), (z,2), (z,3)}, P={(1,5), (1,6), (2,7), (3,6), (3,7)};
A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (y,2), (y,3)}, P={(1,6), (1,7), (2,5), (3,6), (3,7)};
A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,3), (y,1), (z,1), (z,3)}, P={(2,5), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6)};
A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,2), (z,3)}, P={(1,7), (2,5), (3,5), (3,7)};
A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,1)}, P={(1,5), (1,6), (2,5), (3,6), (3,7)};
3. Довести, що:
?R?P=R-1(?R??P);
?R?P=P(?R??P).
4. Нехай R?A?A. Довести, що R=iA тоді й тільки тоді, коли R?R1=R1?R=R1 при будь-якому R1?A?A.
5. Довести, що за довільних відповідностей R, P, Q:
R?(P?Q)=(R?P)?Q;
(R?P)-1=P-1?R-1;
(R?P)?Q=R?Q?P?Q;
Q?(R?P)=Q?R?Q?P;
(R?P)?Q?R?Q?P?Q;
Q?(R?P)?Q?R?Q?P;
Для завдань (5)–(6) навести приклад R, P, Q, таких, що включення не можна замінити рівністю.
2. Функції та відображення
6. Указати, чи має властивості ін'єктивності, сюр'єктивності та чи є відображенням функція f:R?R, де R – множина дійсних чисел, а f(x) – це:
x;
x-1;
x2;
x2/3;
x3/4;
x?;
ex;
log x;
|x|;
sin x;
cos x;
tg x;
ctg x;
arcsin x;
arccos x;
arctg x;
arcctg x.
3.7. Довести, що:
об'єднання
перетин
двох функцій f1 і f2 з A в B є функцією тоді й тільки тоді, коли f1=f2.
7. Довести, що за будь-якої функції f і множин A і B, що є підмножинами її області означення, справджується:
f(A?B)=f(A)?f(B);
f(A?B)?f(A)?f(B);
f(A)\f(B)?f(A\B);
f(A)?f(B)?f(A?B).
Для завдань (2)–(4) навести приклади f, A, B, таких, що включення не можна замінити рівністю.
8. Довести, що f є 1-1-функцією тоді й тільки тоді, коли при будь-яких підмножинах A і B області означення функції:
f(A?B)=f(A)?f(B);
f(A)\f(B)=f(A\B);
f(A)?f(B)=f(A?B).
9. Довести, що за будь-якої функції f і множин A і B, що є підмножинами її області значень, справджується:
f-1(A?B)=f-1(A)?f-1(B);
f-1(A?B)=f-1(A)?f-1(B);
f-1(A)\f-1(B)=f-1(A\B);
f-1(A)?f-1(B)=f-1(A?B).
10. Довести, що при A??f, B??f справджується:
A?f-1(f(A));
B?f(f-1(B));
f(A)?B=f(A?f-1(B));
f(A)?B=? ? A?f-1(B)=?;
f(A)?B ? A?f-1(B);
3. Бієкції
11. Означити бієкцію між множинами:
An і A{1, 2, …, n};
AB і CD, де A бієктивно відображається на C, а B – на D;
A?B і B?A;
(A?B)?C і A?(B?C);
(A?B)C і AC?BC;
(AB)C і AB?C;
AB?C і AB?AC, якщо B?C=?.
12. Нехай f:A?A – підстановка множини A. Довести, що f-1 – також підстановка множини A.
3.13. Нехай f:A?B – бієкція. Довести, що:
f-1 – бієкція;
f-1?f=iB;
f?f-1=iA.
4. Характеристичні функції
14. Нехай U – непорожня множина. Для будь-якої її підмножини A означимо функцію ?U,A, що називається характеристичною функцією множини A:
?U,A(x)= EMBED Equation.3
Неважко переконатися, що підмножини множини U та їхні характеристичні функції взаємно однозначно відповідають одне одному. Довести, що при будь-якому x?U:
?U,U(x)=0;
?U,?(x)=1;
?U,U\A(x)=1–?U,A(x);
?U,A?B(x)=?U,A(x)??U,B(x);
?U,A?B(x)=?U,A(x)+?U,B(x)–?U,A(x)??U,B(x);
?U,A\B(x)=1–?U,B(x)+?U,A?B(x);
?U,A?B(x)=min{?U,A(x), ?U,B(x)};
?U,A?B(x)=max{?U,A(x), ?U,B(x)};
?U,A?B(x)=min{1–?U,B(x)+?U,A?B(x), 1–?U,A(x)+?U,A?B(x)}.
Характеристичну функцію множини A можна означити інакше:
?U,A(x)= EMBED Equation.3
За такого означення довести, що при будь-якому x?U:
?U,U(x)=1;
?U,?(x)=0;
?U,U\A(x)=1–?U,A(x);
?U,A?B(x)=?U,A(x)+?U,B(x)–?U,A(x)??U,B(x);
?U,A?B(x)=?U,A(x)??U,B(x);
?U,A\B(x)=?U,A(x)(1–?U,B(x));
?U,A?B(x)=max{?U,A(x), ?U,B(x)};
?U,A?B(x)=min{?U,A(x), ?U,B(x)};
?U,A?B(x)=max{?U,A(x)(1–?U,B(x)), ?U,B(x)(1–?U,A(x))}.