Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і механічний зміст. Кривизна кривої.
План
Диференціал дуги
Кривизна плоскої кривої
Векторна функція скалярного аргументу
Кривизна плоскої кривої
Кривизна просторової кривої
Кручення просторової лінії
Формули Серре-Френе
1. Диференціал кривої
Поняття довжини кривої буде розглянуто в розділі інтегрального числення. Криві, для яких можна установити поняття довжини, називають в математичному аналізі спрямними.
Умова спрямності кривої для плоскої кривої, заданої параметричними рівняннями INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET , полягає в такому: на спрямному відрізку кривої функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET мусять мати неперервні похідні за параметром INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET : INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET . Аналогічною є умова спрямності просторової кривої, заданої рівняннями INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET ; вона полягає в неперервності похідних INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET .
Для всякої спрямної кривої як просторової, так і плоскої, наслідком її спрямності є така геометрична властивість: границя відношення нескінченно малої дуги кривої до стягуючої її хорди дорівнює одиниці за умови, що хорда стикується в точку.
Якщо довжину малої дуги INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET кривої позначити через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET , а довжину відповідної хорди – через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET (рис. 7.4), то
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET (7.4)
Виходячи саме з цієї властивості, знайдемо вирази для диференціала дуги як плоскої, так і просторової кривої.
На плоскій спрямній кривій, рівняння якої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET ,
візьмемо дві сусідні точки. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET , що
відповідають значенням параметра INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET (рис. 7.2).
Довжина хорди INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET знаходиться за формулою
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET (7.5)
Похідна від довжини дуги кривої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET за параметром INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET .
Замінимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET його виразом за формулою (7.5):
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.6)
Звідси
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.7)
Якщо крива задана рівнянням INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET , то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET можна прийняти за параметр кривої: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET .
Диференціал дуги
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET
Якщо крива задана рівнянням в полярних координатах INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET , то за параметр кривої можна прийняти полярний кут INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET .
Диференціюємо по INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET рівності
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET
Маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET ,
тому
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.9)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.7.4 Рис.7.5
Приклади.
1. Знайти диференціал дуги циклоїди
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET .
Р о з в ’ я з о к. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET .
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET .
2. Знайти диференціал дуги кардіоїди INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET .
Р о з в ’ я з о к. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET ,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET .
Диференціал дуги просторової кривої, заданої параметричними рівняннями INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET , можна знайти аналогічно.
Відміна від попереднього полягає лише в тому, що довжина хорди, яка з’єднує точки просторової кривої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET визначається за формулою
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET .
Формула диференціала дуги просторової кривої
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.10)
Приклад. Знайти диференціал дуги гвинтової лінії:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET .
Р о з в ’ я з о к. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET .
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET .
Формулам (7.9) і (7.10) часто надають такого вигляду :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET (для плоскої кривої); (7.11 INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET (для просторової кривої); (7.12)
Диференціал дуги плоскої кривої має такий геометричний зміст: він дорівнює довжині відрізка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET дотичної до кривої (рис.7.5).
2.Кривизна плоскої кривої
Вивчаючи ту чи іншу криву, бачимо, що в різних точках вона має неоднаковий ступінь викривлення. Так, парабола INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET поблизу початку координат більше викривлена, ніж в точках, які знаходяться далі від початку координат. Коло в усіх своїх точках має однакове викривлення. Різні криві також відрізняються одна від одної своїм ступенем викривлення. Коло малого радіуса більше викривлено, ніж коло великого радіуса.
Виникає запитання: що ж брати за міру кривизни кривої в її окремих точках? Щоб відповісти на нього, припустимо, що до кривої в кожній точці можна провести дотичну і що крива є спрямлюваною.
Візьмемо на кривій дві точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET (рис. 7.6) і в цих точках проведемо дотичні прямі. Нехай дотична INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image058.gif" \* MERGEFORMATINET утворює з додатним напрямом осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET кут INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET , а пряма INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET - кут INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image062.gif" \* MERGEFORMATINET .
Довжину дуги позначимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET . Модуль відношення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET - величина кута в радіанах, на який повертається дотична, коли точка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET переміститься вздовж кривої в точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET , називається середньою кривизною дуги INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET .
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.7.6
Означення. Границя (якщо вона існує) середньої кривизни дуги даної кривої, коли точка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET наближається вздовж кривої до точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET , називається кривизною кривої в точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET і позначається
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.13)
Виведемо формулу для обчислення кривизни. Нехай крива задана в декартовій системі координат рівнянням
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image068.gif" \* MERGEFORMATINET на відрізку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image069.gif" \* MERGEFORMATINET має похідні до другого порядку включно.
Скористаємося формулою (7.13). Очевидно, що коли точка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET , то довжина дуги INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image071.gif" \* MERGEFORMATINET . Тому формулу (7.13) можна
записати ще так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image072.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.14)
З другого боку, якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET - кут, утворений дотичною до кривої в точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET з додатним напрямом осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET , то
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image074.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image076.gif" \* MERGEFORMATINET .
Тоді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET .
Підставляючи в формулу (7.14) значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET і значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET , дістаємо формулу для кривини кривої:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image080.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.15)
З цієї формули легко дістати формулу для кривизни кривої,
коли остання задана параметричними рівняннями INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET . Справді,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image082.gif" \* MERGEFORMATINET ,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET .
Тоді, підставляючи значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image084.gif" \* MERGEFORMATINET у формулу (7.15), маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.16)
Якщо крива задана в полярній системі координат рівнянням INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image086.gif" \* MERGEFORMATINET , то
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.17)
Величину, обернену до кривої в заданій точці, називають радіусом кривизни кривої і позначають через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image088.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.18)
Коло, яке з даною кривою має в даній точці спільну дотичну, спільну кривизну і однаковий напрямок вгнутості, називається колом кривизни, а його центр – центром кривизни кривої в даній точці. Радіус кола кривизни
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET .
Для всіх плоских кривих (за винятком кола) центри кривизни різні в різних точках кривої. Геометричне місце центрів кривизни даної кривої називається її еволютою, а сама крива по відношенню до еволюти називається евольвентою.
7.5. Векторна функція скалярного аргументу
Простішим способом задання просторової кривої є задання її векторним рівнянням
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image090.gif" \* MERGEFORMATINET , (7.19)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET - радіус – вектор точки кривої; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET - параметр, який визначає положення точки на кривій. Змінний вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET є функція скалярного аргументу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET ; такі функції в математичному аналізі називають векторними функціями скалярного аргументу.
Розкладемо вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET по осях координат. Рівняння просторової кривої (7.19) набуває вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET (7.20)
( INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET - орти координатних осей). Звідси від векторного рівняння кривої можна перейти до її параметричного рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image094.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.21)
Це показує, що задання однієї векторної функції від скалярного аргументу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET рівнозначно заданню трьох скалярних функцій від того самого аргументу.
По відношенню до векторної функції (7.19), яка задає дану криву, сама крива називається годографом цієї векторної функції.
Розглянемо дві близькі точки кривої, заданої рівнянням (7.19): точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET , відповідну значенню параметра INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , і точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET , відповідну значенню параметра INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image097.gif" \* MERGEFORMATINET (рис.7.5).
Радіуси – вектори цих точок:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image098.gif" \* MERGEFORMATINET .
Вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET - називається приростом векторної функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image100.gif" \* MERGEFORMATINET , відповідним приросту її аргументу, і позначається
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image101.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.22)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image102.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.7.7
Векторна функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET - неперервна функція аргументу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET . Похідну від функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET введемо так само, як у випадку скалярної функції: розділимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image106.gif" \* MERGEFORMATINET і перейдемо до границі при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image107.gif" \* MERGEFORMATINET ; якщо ця границя існує, то її назвемо похідною від векторної функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET за аргументом INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image108.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.23)
Установимо напрямок вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image109.gif" \* MERGEFORMATINET . Зрозуміло, що вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image110.gif" \* MERGEFORMATINET - колінеарний з вектором INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET і при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image111.gif" \* MERGEFORMATINET направлений в той самий бік, що і вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image112.gif" \* MERGEFORMATINET , а при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image113.gif" \* MERGEFORMATINET - в протилежний бік. У першому випадку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image114.gif" \* MERGEFORMATINET , в другому - INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image115.gif" \* MERGEFORMATINET . Отже, вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image110.gif" \* MERGEFORMATINET завжди направлений по січній годографа функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET в бік зростання параметра INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET .
При INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image107.gif" \* MERGEFORMATINET сусідня точка кривої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET намагається співпасти з точкою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET і січна годографа в границі переходить в дотичну до нього. Тому вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image109.gif" \* MERGEFORMATINET направлений по дотичній до годографа в бік зростання параметра INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET .
Якщо використати розклад (7.20) вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET за ортами, то вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET можна записати у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image116.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image117.gif" \* MERGEFORMATINET ,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image118.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси, поділивши на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image106.gif" \* MERGEFORMATINET і перейшовши до границі при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image107.gif" \* MERGEFORMATINET , знаходимо для похідної вектора такий вираз:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image119.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.24)
Із означення похідної від векторної функції (7.23) можна вивести, що правила диференціального числення відносно диференціювання суми і добутку залишаються в силі як для сум векторних функцій, так і для добутків будь-якого вигляду. Мають місце такі формули:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image120.gif" \* MERGEFORMATINET ; (7.25)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image121.gif" \* MERGEFORMATINET ; (7.26)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image122.gif" \* MERGEFORMATINET ; (7.27)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image123.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.28)
Тут INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image124.gif" \* MERGEFORMATINET - векторні функції; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET - скалярна функція аргументу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET .
Зауваження. Розглянемо випадок змінного вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET , довжина якого стала: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image126.gif" \* MERGEFORMATINET .
Остання рівність дозволяє записати:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image127.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image128.gif" \* MERGEFORMATINET - скалярний квадрат вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET .
Диференціюванням знаходимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image129.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже, вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image109.gif" \* MERGEFORMATINET в цьому випадку перпендикулярний до вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET .
Зокрема, якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image130.gif" \* MERGEFORMATINET , то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image131.gif" \* MERGEFORMATINET .
3. Кривизна просторової кривої
Зміна напрямку одиничного вектора дотичної до просторової кривої (вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET ) пов’язана із зміною напрямку дотичної до просторової кривої і характеризує кривизну кривої. За міру кривизни приймемо границю відношення кута суміжності (кута повороту дотичної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET ) до довжини відповідної дуги, коли остання прямує до нуля:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image133.gif" \* MERGEFORMATINET , (7.29)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image134.gif" \* MERGEFORMATINET - кривизна, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image135.gif" \* MERGEFORMATINET - кут суміжності, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET - довжина дуги. З іншого боку, оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET - одиничний вектор, то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image136.gif" \* MERGEFORMATINET перпендикулярний до нього. Модуль вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image136.gif" \* MERGEFORMATINET пов’язаний з обертанням вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET формулою
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image137.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.30)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image138.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.31)
Величина, обернена до кривизни, називається радіусом кривизни лінії в даній точці і позначається через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image139.gif" \* MERGEFORMATINET тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image140.gif" \* MERGEFORMATINET
Вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image141.gif" \* MERGEFORMATINET назвемо вектором кривизни просторової кривої, його напрямок, перпендикулярний до напрямку дотичної, є напрямком нормалі до просторової кривої. Але просторова крива має в кожній точці не одну, а нескінченну множину нормалей, які всі лежать в площині, що проходить через дану точку кривої і перпендикулярну до дотичної до кривої. Цю площину назвемо нормальною площиною просторової кривої. Та із нормалей кривої, по якій напрямлений вектор кривизни кривої в даній точці, називається головною нормаллю просторової кривої. Отже, введений нами вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET - одиничний вектор головної нормалі.
Побудуємо в даній точці просторової кривої третій одиничний вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET , який дорівнює векторному добутку векторів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image144.gif" \* MERGEFORMATINET .
Вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET , так само як і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET , лежить в нормальній площині; його напрямок називають напрямком бінормалі просторової кривої в даній точці.
Три вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image145.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET складають трійку взаємно перпендикулярних одиничних векторів, напрямок яких пов’язаний з вибором точки на просторовій кривій і змінюється від точки до точки. Ці три вектори утворюють тригранник, який називається супровідним тригранником (тригранник Френе) просторової кривих (рис. 7.8). Взаємна орієнтація векторів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image145.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET - така сама, що і в координатних векторів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET .
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image146.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.7.8 Рис.7.9
Взяті попарно вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET визначають три площини, які проходять через дану точку просторової кривої і складають границі супровідного тригранника (рис. 7.9).
Площина, яка містить вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET , називається нормальною площиною; площина, що містить вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET , співдотичною площиною просторової кривої; площина, яка містить вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET - її спрямною площиною.
4. Кручення просторової кривої.
Формули Серре-Френе
Співдотична площина просторової кривої при переміщенні вздовж кривої не залишається постійного напрямку; зміну її напрямку можна охарактеризувати зміною напрямку перпендикулярного до неї вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET - одиничного вектора бінормалі.
Зміна напрямку вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET характеризується вектором INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image147.gif" \* MERGEFORMATINET , який називають вектором другої кривизни або вектором кручення просторової кривої. Модуль цього вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image147.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнює границі відношення кута суміжностей бінормалей INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET (кута, на який повертається бінормаль при переході від даної до сусідньої точки кривої) до довжини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET відповідної дуги кривої, коли довжина дуги прямує до нуля:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image149.gif" \* MERGEFORMATINET ,
тобто швидкості обертання вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET при переміщенні точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET по кривій. Знайдемо вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image147.gif" \* MERGEFORMATINET .
Диференціюємо рівність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image150.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image151.gif" \* MERGEFORMATINET .
Але INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image141.gif" \* MERGEFORMATINET , тому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image152.gif" \* MERGEFORMATINET . Отже,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image153.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси випливає, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image147.gif" \* MERGEFORMATINET є вектор, що перпендикулярний до вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET ( за означенням векторного добутку) і до вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET , як до одиничного вектора). Значить INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image147.gif" \* MERGEFORMATINET колінеарний вектору INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image154.gif" \* MERGEFORMATINET Позначивши довжину вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image155.gif" \* MERGEFORMATINET через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image156.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image157.gif" \* MERGEFORMATINET , будемо мати
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image158.gif" \* MERGEFORMATINET (7.33)
Скалярний множник при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET в правій частині формули (7.33) називають крученням просторової кривої. д INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image159.gif" \* MERGEFORMATINET - кручення, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image160.gif" \* MERGEFORMATINET радіус кручення.
Знайдемо вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image161.gif" \* MERGEFORMATINET . Для цього диференціюємо рівність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image162.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image163.gif" \* MERGEFORMATINET ,
або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image164.gif" \* MERGEFORMATINET
Формули
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image165.gif" \* MERGEFORMATINET (7.34)
називаються формулами Серре-Френе, це основні формули геометрії просторових кривих.
Виведемо формули для кривизни INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image134.gif" \* MERGEFORMATINET та кручення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image159.gif" \* MERGEFORMATINET просторової кривої, яка задана векторним рівнянням INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image166.gif" \* MERGEFORMATINET .
Перша із формул Серре-Френе дає
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image167.gif" \* MERGEFORMATINET , (7.35)
оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image168.gif" \* MERGEFORMATINET . Домножимо другу із формул Серре-Френе скалярно на вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image169.gif" \* MERGEFORMATINET .
Але
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image170.gif" \* MERGEFORMATINET ,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image171.gif" \* MERGEFORMATINET ,
тому
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image172.gif" \* MERGEFORMATINET .
(7.36)
В координатній формі ці формули мають такий вигляд INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image173.gif" \* MERGEFORMATINET
(7.37)
Якщо вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET заданий як функція довільного параметру INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET ( а не довжини дуги INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image174.gif" \* MERGEFORMATINET ), то формули (7.35) і (7.36) набувають вигляду:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image175.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image176.gif" \* MERGEFORMATINET (7.38)
Вектори, колінеарні одиничним векторам INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image177.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET будемо позначати INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image178.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image179.gif" \* MERGEFORMATINET . Щоб написати рівняння дотичної, головної нормалі, бінормалі та будь-якої із площин супроводжуючого тригранника, достатньо лише в канонічних рівняннях прямої
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image180.gif" \* MERGEFORMATINET (7.39)
і в рівнянні площини, яка проходить через дану точку
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image181.gif" \* MERGEFORMATINET , (7.40)
взяти за INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image182.gif" \* MERGEFORMATINET координати вибраної на просторовій кривій точки, а за INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image183.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image184.gif" \* MERGEFORMATINET або відповідно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image185.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image186.gif" \* MERGEFORMATINET - координати того із векторів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image187.gif" \* MERGEFORMATINET або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image188.gif" \* MERGEFORMATINET , який визначається напрямком шуканої прямої або нормалі до шуканої площини: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image189.gif" \* MERGEFORMATINET для дотичної та нормальної площини, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image190.gif" \* MERGEFORMATINET - для головної нормалі та спрямної площини, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image179.gif" \* MERGEFORMATINET - для бінормалі та співдотичної площини.
Нехай просторова крива задана векторним рівнянням INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image090.gif" \* MERGEFORMATINET , або, що те саме, рівнянням
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET .
За вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image189.gif" \* MERGEFORMATINET , який має напрямок дотичної до кривої, можна взяти вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image191.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image192.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.41)
Для відшукання векторів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image190.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image179.gif" \* MERGEFORMATINET , що мають напрямок головної нормалі та бінормалі, знайдемо спочатку розклад вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image193.gif" \* MERGEFORMATINET за векторами INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image194.gif" \* MERGEFORMATINET .
Оскільки
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image195.gif" \* MERGEFORMATINET .
то
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image196.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image197.gif" \* MERGEFORMATINET . (7.42)
Перемножимо вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image198.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image199.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image200.gif" \* MERGEFORMATINET (7.43)
Звідси
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image201.gif" \* MERGEFORMATINET (7.44)
Тоді за вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image190.gif" \* MERGEFORMATINET через його перпендикулярність до векторів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image189.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image179.gif" \* MERGEFORMATINET можна взяти векторний добуток цих двох векторів:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\28_files\\image202.gif" \* MERGEFORMATINET (7.45)
Цим самим ми дістали можливість в будь-якій точці просторової кривої визначити всі елементи його супровідного тригранника.
