Векторна алгебра і деякі її застосування.
Вектори.
Означення 1. Вектором називають величину, яка характеризується не тільки своїм числовим значенням (довжиною), але й напрямком.
Вектори позначають EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 або а, b, c.
При позначенні вектора двома літерами (наприклад, EMBED Equation.3 ) перша літера вказує точку початку вектора, а друга – точку його кінця. В економіці вектори часто позначають однією великою літерою.
Довжину (модуль) вектора позначають EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Геометрично вектор зображують як напрямлений відрізок (дивись мал.1)
EMBED Equation.3
А
В
EMBED Equation.3


Мал.1
Зображені на цьому малюнку вектори мають довжину:
EMBED Equation.3 якщо одиниця масштабу: .
Нульовим вектором називають вектор, початок і кінець якого співпадають.
Такий вектор позначають EMBED Equation.3 , його довжина дорівнює нулю, а напрям – довільний.
Рівними називають вектори, які мають однакові довжини та напрямки: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Колінеарними називають вектори, які розташовані на одній прямій або паралельних прямих (дивись мал.2)
EMBED Equation.3

Мал.2
Усі зображені на малюнку 2 вектори – колінеарні.
Протилежними називають колінеарні протилежно спрямовані вектори однакової довжини.
Вектор, протилежний вектору EMBED Equation.3 позначають EMBED Equation.3 .
Ортом вектора EMBED Equation.3 називають вектор EMBED Equation.3 0 довжина якого дорівнює одиниці, а напрям співпадає з EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 0.
Компланарними називають вектори, що лежать в одній площині. В економічних дослідженнях n упорядкованих параметрів розглядають як вектор n вимірного простору Еn.
Матриця-рядок та матриця-стовпець містять упорядковані елементи, тому їх можна розглядати як вектори простору відповідного виміру.
Наприклад, EMBED Equation.3 є Е5 EMBED Equation.3 є Е4
Елементи вектора-рядка та вектора-стовпця називають координатами вектора. Смисл такої назви пояснимо нижче, після визначення проекцій вектора на координатній осі.
Деякі економічні приклади.
В розділі 4 частини 5 наведені приклади застосування векторів до задач мікроекономіки.
Так, використовувались вектор-рядок вартості V = (v1, v2, v3, v4), компоненти якого – вартості різної сировини, палива, робочої людино-години, та вектор-стовпець потреб EMBED Equation.3 інших галузей до продукції цехів 1, 2, 3.
Зараз ознайомимось з іншими прикладами застосування векторів.
Продуктивна функція. При аналізі закономірностей виробництва використовується продуктивна функція, яка, по суті, є співвідношенням між використаними у виробництві ресурсами і випущеною продукцією.
Нехай у деякому виробничому процесі є n виробничих ресурсів. Кількість і-го ресурсу, використованого за проміжок часу t, позначимо хі. Тоді виробничі ресурси – це вектор Х = (х1, х2, … хn).
Нехай підприємство випускає m різних виробів. Кількість j виробу позначемо уі. Тоді випуск усіх виробів буде вектор Y = ( y1, y2, … ym). Нехай EMBED Equation.3 - вектор параметрів виробництва (наприклад, різні види транспортних чи інших витрат). Продуктивна функція пов’язує вектори ресурсів Х, випуска Y та параметрів EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Продуктивна функція задається аналітично або таблично.
Продуктивну функцію, розв’язану відносно Y, тобто вигляду
EMBED Equation.3
називають функцією випуска, а розв’язану відносно вектора Х, тобто вигляду
EMBED Equation.3
називають функцією виробничих витрат.
Зрозуміло, що ці функції у конкретних випадках (коли вказано закони EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 ) використовують правила дій з векторами.
Математичні моделі економічних задач
Навіть найпростіші лінійні статистичні економічні моделі описуються з використанням векторів.
Для дослідження динамічних моделей різних процесів стан вивчаємої економічної системи в момент часу t описується за допомогою вектора Х із n вимірного простору, а керування процесом в той самий момент часу описується за допомогою вектора EMBED Equation.3 із m вимірного простору.
Таким чином, в динамічних моделях використовуються вектори n та m вимірних просторів, координати яких залежать від часу t.
1.3. Координати векторів
Спочатку нагадаємо поняття числової осі та систем координат. Числовою віссю називають пряму, на якій визначено:
напрям (?);
початок відліку (точка 0);
відрізок, який приймають за одиницю масштабу.
Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат на площині (у двомірному просторі Е2).
Три взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат у просторі ( у тривимірному просторі Е3).
На Малюнку 3 зображені:
а) прямокутна декартова система координат на площині;
b) прямокутна декартова система координат у просторі.


Y
y
M(x,y)
0
1
x
X
Z
1
M(x,y,z)
0
1
y
Y
z
x
1
X



a) b)
Мал.3
Вісь 0х називають віссю абсцис; 0у – вісь ординат; 0z – вісь аплікат. Орт осі 0х позначають EMBED Equation.3 , орт осі 0у – вектор EMBED Equation.3 , орт осі 0z – вектор EMBED Equation.3 .
Упорядкована пара чисел (х,у), що відповідає точці М площини х0у, називається декартовими прямокутними координатами точки М, це позначають М(х,у).
Упорядкована трійка чисел (х,у,z), що відповідає точці М простору 0zух, називається координатами точки М декартової прямокутної системи координат у просторі, це позначають М(х,у,z).
Відмітимо, що існують інші системи координат на площині та у просторі.
Дамо поняття проекції вектора на вісь. Нехай заданий вектор EMBED Equation.3 та вісь l. З точок А і В опускаємо перпендикуляри на вісь l. Одержимо точки А1 та В1 – проекції точок А та В.
Означення 2. Проекцією вектора EMBED Equation.3 на вісь називається довжина вектора EMBED Equation.3 , яка взята із знаком “+”, якщо напрям EMBED Equation.3 співпадає з напрямом осі та із знаком “-“, якщо напрями протилежні (див. Мал.4).
Позначають: пр1 EMBED Equation.3 .
Означення 3. Кутом між двома векторами (або між вектором та віссю) називають найменший кут між їх напрямами при умові, що вектори зведені до спільного початку (див. Мал.4).
А1
В1
А1
В1
l
А
B
C
?
А
B
C
?


а) b)
Мал.4.
Знайдемо пр1 EMBED Equation.3 :
У випадку а) маємо: пр1 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
У випадку b) маємо:
пр1 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косінус кута між вектором і віссю.
Означення 4. Координатами називаються проекції вектора на осі координат.
Нехай вектор EMBED Equation.3 має координати ах, ау, аz тобто EMBED Equation.3 = (ах, ау, аz) і утворює з осями координат кути EMBED Equation.3 тоді
ах = | EMBED Equation.3 | EMBED Equation.3 , аy = | EMBED Equation.3 | EMBED Equation.3 , аz = | EMBED Equation.3 | EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 , називають напрямними косінусами вектора EMBED Equation.3 . З попередніх формул маємо:
EMBED Equation.3
Розглянемо вектор EMBED Equation.3 , де М1(х1,y1) – початок вектора, М2(х2,y2) – кінець вектора (див.Мал.5). в цьому випадку
EMBED Equation.3
тобто координати вектора EMBED Equation.3 - це впорядкована пара чисел (х2 – х1; y2 – y1).
Аналогічно одержуємо, що координатами вектора EMBED Equation.3 у просторі буде впорядкована трійка чисел (х2 – х1; y2 – y1; z2 – z1).
Y
y2
M2
0
х1
x2
X
у1
M1



Мал.5
Отже, можна сформулювати правило:
Координати вектора EMBED Equation.3 дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора.
Наприклад, вектор EMBED Equation.3 , початок якого знаходиться в точці М1(2,-3,0), кінець – в точці М2(1,1,2), має координати
EMBED Equation.3 = (1-2; 1+3; 2-0) = (-1; 4; 2)
Зауваження. Вектор EMBED Equation.3 ( де точка 0 – початок координат) називають радіусом-вектором точки А і позначають EMBED Equation.3 . Координати вектора EMBED Equation.3 співпадають з координатами точки А.
По аналогії з векторами EMBED Equation.3 = (ах, ау) із Е2 та EMBED Equation.3 вектор-рядок та вектор-стовпець, які містять n елементів, розглядають як вектори їз n вимірного простору Еn, а їх елементи називають координатами вектора.
Наприклад, EMBED Equation.3