Вектори та матриці в системі DERIVE
В цьому розділі описується, як вводити вектори та матриці і як маніпулювати ними за допомогою вбудованих в DERIVE функцій і операторів. Для демонстрації вказаних можливостей завантажте файл MATRIX.MTH, використовуючи команду Transfer Demo (або Transfer Load).
Введення векторів і матриць
Виконавши команду Author, ви можете ввести вектор в формі
[x1,x2,...,xn] .
Другий спосіб введення вектора полягає в наступному. Виконайте команду DeclarevectoR, визначить його розмірність і задайте його компоненти.
Виконавши команду Author, ви можете ввести матрицю в формі
[[a11,a12,...,a1n],...,[am1,am2,...,amn]] .
Другий спосіб введення матриці полягає в наступному. Виконайте команду DeclareMatrix, визначить її розмірність і задайте її компоненти.
Генерування векторів і матриць
Функція VECTOR(u,k,n) генерує вектор за виразом u, що залежить від k, в границях від 1 до n з кроком 1. Наприклад,
VECTOR(x^2,x,5)
після спрощення дає
[1, 4, 9, 16, 25] .
Функція VECTOR(u,k,m,n,s) генерує вектор за виразом u, що залежить від k, в границях від m до n з кроком s. Наприклад,
VECTOR(x!,x,1,7,2)
після спрощення дає
[1, 6, 120, 5040] .
Застосовуючи функцію VECTOR послідовно, можна генерувати матриці. Наприклад,
VECTOR(VECTOR(j+k,k,1,4),j,1,3)
після спрощення дає
Функція IDENTITY_MATRIX(n) генерує одиничну матрицю розмірності nSYMBOL 180 \f "Symbol"n.
Вибирання елементів
Функція ELEMENT(v,n) вибирає n-й елемент вектора v.
Функція ELEMENT(m,j,k) вибирає елемент матриці m, який знаходиться в j-у рядку та k-у стовпці.
Операції над векторами
Так як матриця є вектором, компонентами якого є вектори, то операції, що описуються тут, можна застосовувати також і до матриць.
Функція CROSS(u,v) обчислює векторний добуток векторів u і v.
Функція DIMENSION(v) повертає розмірність вектора v.
Функція OUTER(u,v) обчислює зовнішній добуток векторів u і v.
Операції над матрицями
Операції, що описуються тут, можна застосовувати тільки до матриць!
Транспонування матриці здійснюється оператором ` (обернена одинарна лапка).
Оператор DET(m) обчислює детермінант (визначник) квадратної матриці m.
Оператор TRACE(m) обчислює слід (суму діагональних елементів) квадратної матриці m.
Оператор ^ використовується для піднесення до степеня квадратної матриці. Якщо показник дорівнює SYMBOL 150 \f "Arial Cyr"1 і матриця несингулярна, то вказаний оператор обчислює обернену матрицю.
Використовуючи вектори, матриці та операції над ними, можна розв'язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Нехай, наприклад, розглядається система рівнянь
5 x + 3 y SYMBOL 45 \f "Symbol" 7 z = 4,
2 x SYMBOL 45 \f "Symbol" 8 y + z = 6,
SYMBOL 45 \f "Symbol" x + 9 y + 4 z = 5,
яка в матричній формі має вигляд
Розв'язок вказаної системи дається виразом
Використовуючи команду approX, одержимо вектор, який є розв'язком системи, що розглядається,
Рядково-ешелонна форма
Другий метод розв'язування сингулярних і несингулярних систем лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в зведенні матриці до рядково-ешелонної форми (Row Echelon Form). Більше того, цей метод дозволяє одночасно визначити розв'язок для більше, ніж однієї множини констант правих частин рівнянь.
Матриця має рядково-ешелонну форму, якщо
SYMBOL 183 \f "Symbol" \s 10 \h перший ненульовий елемент кожного рядка є 1;
SYMBOL 183 \f "Symbol" \s 10 \h перший ненульовий елемент кожного рядка стоїть праворуч від першого ненульового елемента рядка, розташованого вище;
SYMBOL 183 \f "Symbol" \s 10 \h всі елементи, розташовані вище першого ненульового елемента рядка, суть 0.
Приведення матриці до рядково-ешелонної форми здійснюється в системі DERIVE функцією ROW_REDUCE(A,B) за допомогою елементарних перетворень Гаусса. Аргументами вказаної функції є матриці A та B матричного рівняння A X = B.
Якщо матриця A SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" несингулярна, то рядково-ешелонна форма являє собою розв'язок X з приєднаною зліва одиничною матрицею. Наприклад,
EMBED Equation
після спрощення дає
EMBED Equation .
Якщо матриця A SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" сингулярна і після перетворення в деякому її рядку на діагоналі стоїть 0, то система сумісна, якщо тільки в цьому ж рядку права частина обертається в 0. Наприклад,
EMBED Equation
після спрощення дає
EMBED Equation .
Таким чином, для першого стовпця матриці B система сумісна, для другого SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" ні.
Власні значення
Характеристичний поліном квадратної матриці A задається виразом DET(ASYMBOL 150 \f "Arial Cyr"xE)=0, де E SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" одинична матриця, і може бути знайдений в системі DERIVE за допомогою оператора CHARPOLY(A,x).
Власні значення квадратної матриці A є коренями її характеристичного полінома і можуть бути знайдені в системі DERIVE за допомогою оператора EIGENVALUES(A,x).
Диференціальне векторне числення
Функція GRAD(u) обчислює градієнт функції u по змінним x, y, z. Функція GRAD(u,v) обчислює градієнт функції u по змінним, які є компонентами вектора v. Наприклад,
GRAD (c w + x^2 + y^3 + z^4, [w, x, y, z])
після спрощення дає 4-вимірний вектор
[ c, 2 x, 3 y2, 4 z3 ] .
Для інших ортогональних систем координат задайте другий аргумент функції, що розглядається, у вигляді
EMBED Equation ,
де h1, h2,..., hn визначаються співвідношенням
ds2 = (h1 dx1)2 + (h2 dx2)2 + ... + (hn dxn)2 .
В файлі COORD.MTH вказаний вище аргумент для циліндричної та сферичної систем координат об'являється таким чином:
EMBED Equation ,
EMBED Equation .
Функція DIV(v) обчислює дивергенцію вектора v.
Функція LAPLACIAN(u) обчислює лапласіан виразу u.
Функція CURL(v) обчислює вихор вектора v, що має дві або три компоненти.
Інтегральне векторне числення
Функція POTENTIAL(v) обчислює скалярний потенціал вектора v.
Функція VECTOR_POTENTIAL(v) обчислює векторний потенціал 3-вимірного вектора v.
Функція JACOBIAN([f1,...,fn],[SYMBOL 113 \f "Symbol"1,...,SYMBOL 113 \f "Symbol"m]) обчислює матрицю якобіана переходу, що задається співвідношеннями
x1 = f1 (SYMBOL 113 \f "Symbol"1,...,SYMBOL 113 \f "Symbol"m),
. . . . . . . . . . . . . .
xn = fn (SYMBOL 113 \f "Symbol"1,...,SYMBOL 113 \f "Symbol"m).
Функція COVARIANT_METRIC_TENSOR(J) обчислює коваріантний метричний тензор для матриці якобіана J.
Функція SQRT_DIAGONAL(G) обчислює вектор квадратних коренів із діагональних елементів коваріантного метричного тензора G.
Завдання
Спростити вирази:
EMBED Equation
Обчислити:
EMBED Equation
Обчислити значення функції у заданих точках:
EMBED Equation
Побудувати графіки функцій:
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
Знайти границі:
EMBED Equation
Знайти похідні:
EMBED Equation
Знайти розклади за формулою Тейлора в околах точок 0 та 1 до порядку 7 включно функцій:
EMBED Equation
Знайти інтеграли:
EMBED Equation
Знайти суми:
EMBED Equation
Знайти добутки:
EMBED Equation
Розв'язати системи рівнянь:
EMBED Equation
Знайти матриці, обернені до даних матриць, а також їх визначники:
Знайти характеристичний поліном та власні значення матриць:
Знайти градієнти функцій:
EMBED Equation