Вектори, лінійні операції над ними.
План
Вектори і скаляри.
Множення вектора на число.
Додавання та віднімання векторів.
Проекція вектора на вісь.
1. Вектори і скаляри
У природі існують величини двох видів: такі, що характеризуються лише своїм числовим значенням, і такі, для характеристики яких крім числового значення ще потрібно знати їх напрямок у просторі. Перші з них називаються скалярними, а другі –векторними.
Так, маса, температура, час, густина, площа, об’єм, довжина відрізка, електричний заряд, опір провідника - скаляри, а сила, момент сили, швидкість, прискорення, напруженість силового поля - векторні величини.
Слід мати на увазі, що одна і та сама величина може розглядатись і як скаляр, і як вектор. Наприклад: сила струму - величина скалярна, бо вона визначається лише величиною заряду незалежно від того, в якому напрямку і під яким кутом до площадки рухаються частинки, що несуть заряд.
Але така характеристика електричного струму неповна. У багатьох випадках потрібно розглядати напрямок, в якому рухаються заряджені частинки. Для врахування напрямку переносу зарядів вводиться вектор густини струму.
Векторна величина геометрично зображається з допомогою направленого відрізка певної довжини і певному масштабі після вибору одиниці масштабу.
Вектор позначається на письмі двома буквами, причому перша-початок вектора, друга - його кінець з вказанням стрілкою напрямку. Наприклад, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET - вектор, початок якого збігається з точкою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET , а кінець - з точкою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET , напрямок – від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET . Довжина вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET (інакше - модуль вектора) записується так: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET .
Часто вектор позначають однією буквою, наприклад INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET . Якщо вектор позначений однією буквою, то часто в книгах її виділяють жирним шрифтом, але без риски. Вектор можна позначати і так: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET .
Два вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих.
Вектори називаються компланарними, якщо вони паралельні деякій площині (або лежать в одній площині).
Два вектори називаються рівними тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову довжину і однаковий напрямок, тобто вони розміщені на паралельних прямих.
Звідси випливає, що при паралельному перенесенні вектора одержуємо вектор, рівний даному. Тому початок вектора можна розміщувати у будь-якій точці простору.
Якщо ряд векторів розміщені на різних прямих у просторі (паралельних або непаралельних), то, виходячи з попередніх міркувань, можна вибрати довільну точку в просторі, наприклад INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET , і всі дані вектори перенести паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися з точкою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET (рис.2.1).
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.2.1
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним.
Очевидно, що коли дано довільний вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET , то поділивши його на його довжину INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , одержимо одиничний вектор, наприклад INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET , напрямок якого збігається з напрямком вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим. Він не має конкретного напрямку.
2. Лінійні операції над векторами
Сумою двох векторів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET називається вектор, що є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних векторах як на сторонах паралелограма (рис.2.2).
Оскільки вектор можна переносити паралельно самому собі, то з рис.2.2 зрозуміло, що вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET можна сумістити з відрізком INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET ,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.2.2
тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET , а сума INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET Звідси випливає, що суму двох векторів можна побудувати за правилом трикутника.
У кінці вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET будуємо вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET і початок вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET з’єднуємо з кінцем вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET . В результаті одержимо вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET , що дорівнює сумі векторів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET . Це правило можна узагальнити на суму довільної кількості векторів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET .
Для знаходження суми заданих INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET - векторів будуємо вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET , в його кінці вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET і т.д., в кінці вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET будуємо вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET . Якщо тепер з’єднати початок вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET з кінцем вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET , одержимо вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET , що дорівнюватиме сумі двох векторів. Це правило додавання векторів називається правилом многокутника.
Якщо задано вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET , то вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET матиме ту саму довжину, що і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET , але оскільки напрямки цих двох векторів протилежні, то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET . Тому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто різницю векторів завжди можна замінити сумою. Звідси випливає правило віднімання векторів.
Щоб від вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET відняти вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET , треба до вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET додати вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET , або, що те саме, до вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET додати вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET з протилежним знаком.
В результаті множення вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET на скаляр INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET одержується вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET , напрямок якого збігається з напрямком INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET , якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET , і протилежний напрямку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET , якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET . Довжина одержаного вектора дорівнює INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET . Очевидно, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET .
Ділення вектора на скаляр зводиться легко до множення вектора на скаляр:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET
Поняття “більше”, “менше” для векторів незастосовні. Для лінійних операцій над векторами векторів вірні такі властивості:
10. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET - комутативний (переставний) закон додавання;
20. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET - асоціативний (сполучний)закон додавання;
30. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET - дистрибутивний (розподільчий) закон множення;
40. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET - скаляри (числа).
Вираз
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET
називається лінійною комбінацією векторів. Числа INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET називаються її коефіцієнтами.
Лінійні комбінації векторів мають такі властивості: якщо вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET колінеарні, то довільна їх лінійна комбінація їм колінеарна; якщо вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET компланарні, то довільна їх лінійна комбінація з ними компланарна. Це випливає із того, що вектор INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET колінеарний INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET а сума векторів лежить в тій же площині, що й доданки, і навіть на тій же прямій, якщо вони колінеарні.
Приклад. Знайти вектор, що ділить кут між векторами INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET пополам.
Р о з в ’ я з о к. Відомо, що діагональ ромба ділить кути ромба пополам. Переносячи один з векторів паралельно самому собі так, щоб його початок збігався з початком другого вектора, одержимо кут INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET . Щоб побудувати тепер ромб, поділимо кожний з векторів на свою довжину. В результаті матимемо одиничні вектори INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET . Вектор, що збігається з діагоналлю ромба, в даному випадку і буде сумою цих векторів, тобто шуканий вектор матиме вигляд INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET .
3. Проекція вектора на вісь
Проекцією вектора INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET на вісь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET називається довжина відрізка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET , що міститься між проекціями початкової точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET і кінцевої точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET , взята із знаком “+”, якщо напрямок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image058.gif" \* MERGEFORMATINET збігається з напрямком осі проекції, та із знаком “-”, якщо ці напрямки протилежні.
Легко довести основні положення теорії проекцій:
10. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET
(читається: проекція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET на вісь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнює …) (рис.2.3).
20. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET
(рис.2.4).
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image062.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис. 2.3
.
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.2.4
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\02_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET
