Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду.
План
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду
Права частина виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET
Права частина виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET
1. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
            Розглянемо диференціальне рівняння
                       INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET                            (12.46)
в якому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET - дійсні числа, а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET - функція спеціального виду
            INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET          (12.47)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET - многочлени INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET -го і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET -го степеня, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET - дійсні числа. Виявляється, що це рівняння можна досить легко розв’язати, не вдаючись до методу варіації довільних сталих і навіть без інтегрування. Це надзвичайно важливо, бо багато практичних задач зводиться саме до такого рівняння.
            1. Для простоти розглянемо спочатку частинний випадок функції (12.47), коли INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET .
            Тоді рівняння (12.70) набуває вигляду
                                INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET                 (12.48)
            Його загальний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET як відомий з п.12.9 є сумою загального розв’язку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET відповідного однорідного рівняння та частинного розв’язку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET неоднорідного рівняння: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET З’ясовуємо, що вигляд частинного розв’язку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET залежить від того, збігається чи ні число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET з коренями характеристичного рівняння (12.39).
            а). Нехай число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET не є коренями характеристичного рівняння (12.39): INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET Тоді частинний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET слід шукати у вигляді
                                      INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET                          (12.49)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET - многочлен INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET -го степеня відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET з невизначеними коефіцієнтами INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET
            Систему для визначення цих коефіцієнтів отримують після підстановки функції (12.49) у рівняння (12.48). Справді, така підстановка приводить до рівняння
        INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET      INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET
            Зліва й справа від знака рівності стоять многочлени INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET -го степеня, бо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET многочлен INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET -го степеня, причому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET - многочлени відповідно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET 1-го і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET 2-го степеня. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET зліва й справа рівності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET отримаємо алгебраїчну систему INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET рівнянь з INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET невідомими INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET
            б). Нехай число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET є однократним (простим) коренем характеристичного рівняння (12.39): INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET У цьому разі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET   і зліва в рівності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET фігурує многочлен INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET 1-го степеня. Ця рівність не є тотожністю при жодних сталих
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET Тому частинний         розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET у цьому разі шукатимемо у формі
                                  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET                                      (12.50)
            в). Нехай число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET є двократним коренем характеристичного рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET Зауважимо, що в разі збігу коренів характеристичного рівняння маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET то виконується рівність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET Це означає, що зліва у рівності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET фігурує многочлен INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET 2 -го степеня з невизначеними коефіцієнтами. Щоб отримати многочлен INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET го степеня, слід шукати частинний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET у вигляді
                                INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET                               (12.51)
            Приклад 1.   Розв’язати рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET
            Р о з в ‘я з о к. Загальний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET відповідного однорідного рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET було знайдено в прикладі 1 а) п.12.9:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET
            Дане рівняння є частинним випадком диференціального рівняння (12.48), у якому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET - многочлен першого степеня вигляду: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET             Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET є однократним коренем характеристичного рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET частинний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET диференціального рівняння шукатимемо у формі (12.50)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET - невизначені сталі. Диференціюючи двічі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET , маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET
            Підставляючи INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET в дане рівняння , маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET                            Прирівнюючи вирази при однакових степенях INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET зліва й справа в одержаній рівності отримуємо систему
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image058.gif" \* MERGEFORMATINET
Отже, частинний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET :    INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET
            Загальний розв’язок: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET
            Зауваження 1.   Якби справа в рівнянні прикладу 3 стояв, наприклад, вираз INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET то, переконавшись, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image062.gif" \* MERGEFORMATINET не збігається з коренями характеристичного рівняння відповідного однорідного рівняння, шукали б розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET у формі
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET
            Зауваження 2.   Якби зліва в рівнянні прикладу 3 стояв вираз INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET , то відповідне характеристичне рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET мало б кратні корені: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET В цьому разі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET а розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET шукали б у формі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image068.gif" \* MERGEFORMATINET
2. Розглянемо диференціальне рівняння загального вигляду
            INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image069.gif" \* MERGEFORMATINET
            У цьому разі форма частинного розв’язку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET істотно залежить від того, збігається чи ні комплексне число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET з коренями INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image071.gif" \* MERGEFORMATINET характеристичного рівняння (12.39).
            а). Нехай число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET не є коренем характеристичного рівняння: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image072.gif" \* MERGEFORMATINET Тоді частинний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET шукають у вигляді
            INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET                  (12.52)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image074.gif" \* MERGEFORMATINET   і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET - многочлени з невизначеними коефіцієнтами одного і того самого степеня, що дорівнює найбільшому степеню многочленів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image074.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET .
            б). Якщо число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET   має вигляд
            INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image076.gif" \* MERGEFORMATINET           (12.53)
            Зауваження 3.   Навіть якщо функція (12.47) є “неповним” виразом вигляду   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET , частинні розв’язки (12.52) та (12.53) залишаються незмінними.
            Важливим частинним випадком функції (12.47) є функція вигляду
                             INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image080.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET - сталі числа. При цьому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image082.gif" \* MERGEFORMATINET
            а). Якщо число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукають у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image084.gif" \* MERGEFORMATINET
            б). Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET
            При цьому справедливе зауваження, аналогічне попередньому: ці вирази залишаються “повними”, навіть якщо один з додатків у правій частині формули (12.54) дорівнює нулеві.
            Приклад 2.    Дослідити, чи буде обмеженим при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image086.gif" \* MERGEFORMATINET загальний розв’язок рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image088.gif" \* MERGEFORMATINET - дійсні сталі числа.
            Р о з в ‘ я з о к. Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET ми знайшли в прикладі 1 б) п.12.9:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image090.gif" \* MERGEFORMATINET
            Для знаходження частинного розв’язку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET слід перевірити, чи буде число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET збігатися з коренем відповідного характеристичного рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image094.gif" \* MERGEFORMATINET частинний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET має форму             INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET
            Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image097.gif" \* MERGEFORMATINET розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image098.gif" \* MERGEFORMATINET
            Навіть, не знаходячи чисел INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image100.gif" \* MERGEFORMATINET , можна дослідити розв’язок вихідного рівняння на обмеженість. Справді, в разі, коли
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET загальний розв’язок рівняння
            INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image101.gif" \* MERGEFORMATINET
            При INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image086.gif" \* MERGEFORMATINET функція є необмеженою, якщо хоч одне з чисел INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image100.gif" \* MERGEFORMATINET відмінне від нуля.
            Якщо ж INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET то загальний розв’язок рівняння має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image102.gif" \* MERGEFORMATINET
При INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image086.gif" \* MERGEFORMATINET функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET залишається обмеженою.
            Приклад 3. У природі й техніці часто доводиться зустрічатись з коливаннями – механічними, електромагнітними, акустичними. Коливання іноді призводять до небажаних наслідків. Так, раніше пілотам досить часто доводилося зустрічатися з явищем, відомими під назвою флатер, яке спостерігається в авіації. Класичний флатер – це небезпечні коливання конструкції літака. Вібрація верстата може призвести до браку. Під дією вібрації змінюється внутрішня структура металу, що призводить до руйнування конструкції. З коливаннями пов’язані також випадки руйнування мостів, парових турбін. Причина цих катастроф – явище резонансу, який виникає, коли частота так званих власних коливань системи практично збігається з частотою зовнішньої сили. Розглянемо це на прикладі механічних коливань тягара маси INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET що знаходиться на пружній ресорі, нижня точка якої рухається вертикально за законом INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET . Нехай відновлюючи сила пропорційна відхиленню: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image106.gif" \* MERGEFORMATINET де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image107.gif" \* MERGEFORMATINET жорсткість ресори, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET - відхилення від рівноваги. Згідно з другим законом Ньютона
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image108.gif" \* MERGEFORMATINET     або    INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image109.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image110.gif" \* MERGEFORMATINET
Спрощуючи це рівняння, отримуємо
                               INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image111.gif" \* MERGEFORMATINET                            (12.54)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image112.gif" \* MERGEFORMATINET
Відповідне (12.54) однорідне рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image113.gif" \* MERGEFORMATINET має комплексно спряжені корені: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image114.gif" \* MERGEFORMATINET
            Загальний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET рівняння вільних коливань INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image115.gif" \* MERGEFORMATINET   або
                              INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image116.gif" \* MERGEFORMATINET                         (12.55)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image117.gif" \* MERGEFORMATINET
            Коливання, які описуються рівнянням (12.55), називаються гармонічними .
            Нехай права частина рівняння (12.54) має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image118.gif" \* MERGEFORMATINET
що часто зустрічається на практиці. У разі, коли частота зовнішньої сили INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image088.gif" \* MERGEFORMATINET збігається з частотою вільних коливань INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image119.gif" \* MERGEFORMATINET , має місце резонанс. Справді, в цьому разі частинний розв’язок рівняння (12.54) слід шукати у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image120.gif" \* MERGEFORMATINET
де сталі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image121.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image122.gif" \* MERGEFORMATINET знаходяться методом невизначених коефіцієнтів. Тоді загальний розв’язок рівняння вимушених коливань (12.54)
            INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image123.gif" \* MERGEFORMATINET
або
                INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image124.gif" \* MERGEFORMATINET               (12.56)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET
            Звідси випливає, що при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image126.gif" \* MERGEFORMATINET другий доданок справа у рівності (12.56) необмежений ( тобто амплітуда коливань необмежено зростає), - а це і є явище резонансу, про руйнівну силу якого вже згадувалось.
            Резонанс може приносити й користь. Він використовується при створенні вібраційних приладів, в телекомунікаціях, автоматиці. При настроюванні радіоприймача на задану частоту саме завдяки резонансові ми чуємо звук.
            Зауваження 4.   У розглянутому прикладі при запису рівняння руху не враховувалась сила опору INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image127.gif" \* MERGEFORMATINET , де стала INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image128.gif" \* MERGEFORMATINET амортизатор. Якщо враховувати опір, замість рівняння (12.54) отримують диференціальне рівняння
                          INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image129.gif" \* MERGEFORMATINET                         (12.57)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image130.gif" \* MERGEFORMATINET
            Згідно з викладеним, рівняння (12.57) розв’язується або методом варіації довільних сталих, або (в деяких частинних випадках) методом добору, розглянутим раніше.
            До рівняння типу (12.57) зводиться вивчення інших процесів. Так, при дослідженні віброактивності механізмів просування тканини швидкісних промислових швейних машин приходять до вивчення закону руху, що описується рівнянням
                          INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image131.gif" \* MERGEFORMATINET           (12.58)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET кут повороту, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image133.gif" \* MERGEFORMATINET момент інерції, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image134.gif" \* MERGEFORMATINET коефіцієнт сил тертя й в’язкого опору, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image135.gif" \* MERGEFORMATINET коефіцієнт кутової жорсткості пружини регулятора, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image136.gif" \* MERGEFORMATINET - момент рушійних сил.
Дослідження розв’язків цього рівняння, впливу на них моменту інерції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image137.gif" \* MERGEFORMATINET дало можливість майже повністю усунути вібрацію й западання рукоятки важеля регулятора довжини стібка, небажані коливання рейки при малих довжинах стібка в швейних машинах нового конструктивно-уніфікованого ряду.
До рівняння типу (12.57) зводиться рівняння для електричного кола, що складається з ємності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image138.gif" \* MERGEFORMATINET опору INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image139.gif" \* MERGEFORMATINET та індуктивності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\55_files\\image140.gif" \* MERGEFORMATINET . рівняння теплового об’єкта тощо.