Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
Загальний вигляд лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь наступний
EMBED Equation.3.
1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних рівнянь. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння
Властивість 1. Якщо EMBED Equation.3 - розв’язок лінійного однорідного рівняння, EMBED Equation.3- розв’язок неоднорідного рівняння, то EMBED Equation.3 буде розв’язком лінійного неоднорідного диференціального рівняння.
Дійсно, нехай EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 - розв’язки відповідно однорідного і неоднорідного рівнянь, тобто
EMBED Equation.3
Тоді
EMBED Equation.3
тобто EMBED Equation.3 - розв’язок неоднорідного диференціального рівняння.
Властивість 2 (принцип суперпозиції). Якщо EMBED Equation.3- розв’язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3,
то EMBED Equation.3 з довільними сталими EMBED Equation.3 буде розв’язком лінійного неоднорідного рівняння
EMBED Equation.3
Дійсно, нехай EMBED Equation.3- розв’язки відповідних неоднорідних рівнянь, тобто
EMBED Equation.3
Склавши лінійну комбінацію з рівнянь і їхніх правих частин з коефіцієнтами EMBED Equation.3 одержимо
EMBED Equation.3
або, перегрупувавши, запишемо
EMBED Equation.3
що і було потрібно довести.
Властивість 3. Якщо комплексна функція EMBED Equation.3 з дійсними елементами є розв’язком лінійного неоднорідного рівняння з комплексною правою частиною EMBED Equation.3, то дійсна частина EMBED Equation.3 є розв’язком рівняння з правою частиною EMBED Equation.3, а уявна EMBED Equation.3 є розв’язком рівняння з правою частиною EMBED Equation.3.
Дійсно, як випливає з умови,
EMBED Equation.3
Розкривши дужки, одержимо
EMBED Equation.3
А комплексні вирази дорівнюють між собою тоді і тільки тоді, коли дорівнюють окремо дійсні та уявні частини, тобто
EMBED Equation.3
що і було потрібно довести.
Теорема. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння складається з загального розв’язку лінійного однорідного рівняння і частинного розв’язку неоднорідного рівняння.
Доведення. Нехай EMBED Equation.3 - загальний розв’язок однорідного рівняння, а EMBED Equation.3 частинний розв’язок неоднорідного рівняння.
Тоді, як випливає з властивості I розв’язків неоднорідних рівнянь, EMBED Equation.3, буде розв’язком неоднорідного рівняння. Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто вибором коефіцієнтів EMBED Equation.3 можна розв’язати довільну задачу Коші EMBED Equation.3
Дійсно, оскільки EMBED Equation.3 загальний розв’язок однорідного рівняння, то EMBED Equation.3 лінійно незалежні, а отже визначник Вронського EMBED Equation.3. Звідси, неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь
EMBED Equation.3
має єдиний розв’язок для довільних наперед обраних значень EMBED Equation.3. Нехай розв’язком системи буде EMBED Equation.3. Тоді, як випливає з вигляду системи, функція EMBED Equation.3 є розв’язком поставленому задачі Коші.
Як випливає з теореми для знаходження загального розв’язку лінійного неоднорідного рівняння треба шукати загальний розв’язок однорідного рівняння, тобто будь-які EMBED Equation.3 - лінійно незалежні розв’язкі і якийсь частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Розглянемо три методи побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння.