Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами
Побудова загального розв’язку лінійного однорідного рівняння.
Розглянемо лінійне Д.Р. EMBED Equation.3-го порядку зі сталими коефіцієнтами
EMBED Equation.3 (5.26)
де EMBED Equation.3 – постійні дійсні числа, EMBED Equation.3 – неперервна функція на EMBED Equation.3.
Разом з неоднорідним Д.Р. (5.26) будемо розглядати однорідне Д.Р.
EMBED Equation.3 (5.27)
Для побудови загального розв’язку Д.Р. (5.27) необхідно знайти хоч одну фундаментальну систему розв’язків. Виявляється, що фундаментальну систему розв’язків Д.Р. (5.27) можна побудувати з едементарних функцій. Наприклад, при EMBED Equation.3 Д.Р. EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3 – дійсне число, частинним розв’язком буде функйія EMBED Equation.3.
Дотримуюись ідеї Ейлера, частинні розв’язки Д.Р. (5.27) шукаємо в вигляді
EMBED Equation.3 (5.28)
де EMBED Equation.3 – деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні). Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо
EMBED Equation.3 (5.29)
З (5.29) випливає, що EMBED Equation.3 являється розв'язком Д.Р. (5.27) тоді і тільки тоді, коли EMBED Equation.3, тобто
EMBED Equation.3 (5.30)
Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені характеристичимичислами Д.Р. (5.27).
Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв'язків.
а) Корені характеристичного рівняння EMBED Equation.3 дійсні і різні.
Тоді EMBED Equation.3 дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формулє
EMBED Equation.3
Ці розв'язки являються лінійно незалежними. Дійсно
EMBED Equation.3
так як останній визначник є визначник Вандермонда, який не дорівнює нулю, коли всі числа EMBED Equation.3- різні.
В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд
EMBED Equation.3 (5.31)
в області
EMBED Equation.3 (5.32)
де EMBED Equation.3 – довільні сталі.
б) Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є комплексні.
Нехай EMBED Equation.3 – пара комплексноспряжених коренів. Два дійсних, лінійно не залежних розв’язків будуються таким чином: кореню EMBED Equation.3 відповідає комплексний розв’язок EMBED Equation.3. Згідно доведеному вище, функції EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 також являються розв’язками Д.Р. (5.27), які являються незалежними в інтервалі EMBED Equation.3. Аналогічно кореню EMBED Equation.3 відповідають два дійсних, лінійно незалежних розв’язки EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків. Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних частинних розв’язків.
Таким чином, кожній парі комплексно спряжених коренів відповідає два дійсних лінійно незалежних розв’язків виду, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, які разом з розв’язком EMBED Equation.3(EMBED Equation.3 – дійсні числа) утворюють фундаментальну систему розв’язків на інтервалі EMBED Equation.3.
Приклад 5.6.
Знайти загальні розв’язки
EMBED Equation.3
Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
Тоді
EMBED Equation.3
загальний розв’язок.
Приклад 5.7.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Приклад 5.8.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
в) Випадок наявності кратних коренів характеристичного рівняння.
Припустимо, що EMBED Equation.3 -кратний корінь характеристичного рівяння (5.30), так що
EMBED Equation.3 , але EMBED Equation.3 (5.33)
Щоб знайти розв’язки, які відповідають характеристичному числу EMBED Equation.3 , продиференціюємо тотожність
EMBED Equation.3 (5.34)
EMBED Equation.3 раз ро EMBED Equation.3 , використовуючи при цьому формулу
EMBED Equation.3
Для знаходження похідної від добутку функції використовуємо формулу Лейбніца.
EMBED Equation.3
де
EMBED Equation.3 .
Маємо
EMBED Equation.3
Використовуючи (5.33) запишемо
EMBED Equation.3
тобто функції
EMBED Equation.3 (5.35)
являються розв’язками Д.Р. (5.27). Ці функції лінійно незалежні на EMBED Equation.3 .
Таким чином EMBED Equation.3 дійсному кореню EMBED Equation.3 кратності EMBED Equation.3 відповідає EMBED Equation.3 дійсних лінійно незалежних розв’язків виду (5.35)
Якщо характеристичне рівняння має комплексні корені EMBED Equation.3 кратності EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 лінійно незалежних розв’язків будуть мати вигляд
EMBED Equation.3 (5.36)
Розв’язки (5.36) лінійно незалежні на інтервалі EMBED Equation.3
Приклад 5.9.
Розв’язати Д.Р.
EMBED Equation.3
Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
Тоді
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
загальний розв’язок.
Приклад 5.10.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
Приклад 5.11.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3,
EMBED Equation.3
5.3. Знаходження частинного розв’язку лінійно незалежного Д.Р. методом невизначених коефіцієнтів.
Для деяких частинних випадків функції EMBED Equation.3 можна знайти частинні розв’язкі Д.Р. (5.26) без квадратур.
Розглянемо Д.Р. з правою частиною
EMBED Equation.3 (5.37)
де EMBED Equation.3 поліном з дійсними чи комплексними коефіцієнтами, EMBED Equation.3 -постійне дійсне чи комплексне число.
Розглянемо два випадки.
Випадок 1. Число EMBED Equation.3 не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок Д.Р. (5.37) шукають в вигляді
EMBED Equation.3 (5.38)
де
EMBED Equation.3 (5.39)
поліном EMBED Equation.3 -ої степені з невизначеними коефіцієнтами. Тобто в цьому випадку частинний розв’язок має туже аналітичну структуру, що і права частина Д.Р. (5.37)
Коефіцієнти EMBED Equation.3 знаходяться шляхом підстановки (5.38) в (5.37) і прирівнювання коефіцієнтів при однакових степенях EMBED Equation.3 .
Переконаємося, що шукані коефіцієнти визначаються однозначно. Підставимо (5.38) в (5.37), отримаємо
EMBED Equation.3
Використовуючи вищенаведені формули, знищуємо
EMBED Equation.3
на основі них маємо
EMBED Equation.3
Скорочуємо на EMBED Equation.3 і прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступінях
EMBED Equation.3 (5.40)
Так як EMBED Equation.3 , то з (5.40) послідовно визначаються всі коефіцієнти EMBED Equation.3 .
Випадок 2. Параметр EMBED Equation.3 являється EMBED Equation.3 -кратним коренем характеристичного рівняння EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 (5.41)
В цьому віпадку частинний розв’язок не можна побудувати в вигляді (5.38), так як EMBED Equation.3 . Його шукаємо в вигляді
EMBED Equation.3 (5.42)
де EMBED Equation.3 – поліном вигляду (5.39).
Координати полінома визначаються шляхом підстановки (5.42) в (5.37).
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
звідки
EMBED Equation.3
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях
EMBED Equation.3 (5.43)
З (5.53) послідовно однозначно визначаються EMBED Equation.3 , так як EMBED Equation.3 .
Пипустимо, що права частина Д.Р. (5.26) має вигляд
EMBED Equation.3 (5.44)
де EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 – відомі поліноми степені EMBED Equation.3 . (хочаб один має степінь EMBED Equation.3 ).
Використовуючи формули Ейлера, обчислимо
EMBED Equation.3
і перепишемо функцію EMBED Equation.3 таким чином
EMBED Equation.3
де EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 – поліноми степені EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 є сума двох функцій, які розглянуті вище.
Випадок 1. Число EMBED Equation.3 не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок шукаємо в вигляді
EMBED Equation.3 (5.45)
де EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 – поліноми EMBED Equation.3 -ої степені з невизначеними коефіцієнтами.
Випадок 2. Якщо EMBED Equation.3 – EMBED Equation.3 -кратний корінь характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукаємо в вигляді
EMBED Equation.3 (5.46)
Приводячи (5.45) і (5.46) до дійсного вигляду, сформулюємо слідуюче правило знаходження частинного розв’язку для вигладу (5.44).
Випадок 1. Якщо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 не являється коренем характеристичного рівняння,то
EMBED Equation.3 (5.47)
Випадок 2. Якщо EMBED Equation.3 – EMBED Equation.3 -кратний корінь характеристичного рівняння EMBED Equation.3 то
EMBED Equation.3 (5.48)
Тут EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 – поліноми EMBED Equation.3 -ої степені з невизначеними коефіцієнтами.
Приклад 5.12.
Знайти загальний розв’язок Д.Р. методом невизначених коефіцієнтів
EMBED Equation.3
Запишемо розв’язкі однорідного Д.Р.
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Знаходимо розв’язки неоднорідного Д.Р.
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Отже
EMBED Equation.3
загальний розв’язок.
Приклад 5.13.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Так як EMBED Equation.3 – корінь катності EMBED Equation.3 ,то
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
загальний розв’язок.
Приклад 5.14.
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Поскільки EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 , отримаємо
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
загальний розв’язок.