Лінійна алгебра. Визначники
Означення. Визначником (детермінантом) матриці другого порядку
EMBED Equation.3називається число EMBED Equation.3.
Означення. Визначником (детермінантом) матриці третього порядку
EMBED Equation.3   називається  число D(A)= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Приклади:
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3.
Означення. Визначником квадратної матриці A розміру n×n називається число
EMBED Equation.3 (1.4)
Сума обчислюється за всіма перестановками (i1,…,in). Величина inv(i1,…,in) це кількість інверсій перестановки (i1,…,in), тобто кількість пар (ik,im) таких, що ik>im , проте ik розташоване лівіше від im .
Легко перевірити, що означення визначника другого та третього порядку задовольняє загальне означення.
Множина визначників задовольняє такі властивості:
У разі транспонування матриці значення визначника не змінюється:
EMBED Equation.3.
У випадку перестановки двох довільних рядків (або двох довільних стовпців) знак визначника змінюється на протилежний:
EMBED Equation.3.
Якщо всі елементи одного рядка (стовпця) матриці є пропорційними до елементів другого рядка (стовпця) цієї матриці, то її визначник дорівнює нулю:
EMBED Equation.3, оскільки елементи третього рядка
є вдвічі більшими від елементів першого.
Якщо всі елементи рядка (стовпця) помножити на якесь число, то визначник теж помножиться на це ж число:
EMBED Equation.3.
Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільне число, то значення визначника не зміниться:
EMBED Equation.3.
Означення. Мінором Mij елемента aij визначника EMBED Equation.3 називається визначник розміру (n-1)×(n-1) , який утворюється з визначника EMBED Equation.3 викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.
Приклад. У визначнику EMBED Equation.3 визначники другого порядку EMBED Equation.3 є відповідно мінорами елементів a1, b1 та c1.
Означення. Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij називається його мінор, узятий зі знаком (+) або (-) так:
якщо сума (i+j) номерів рядка i та стовпця j є парною, то потрібно взяти знак (+), якщо ж ця сума непарна – то знак (-).
Для визначника довільного порядку виконується така
Теорема. Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів.
Зокрема,
EMBED Equation.3= a11A11+a12A12+…+a1nA1n. (1.5)
Приклад. Обчислити визначник EMBED Equation.3 .
Згідно з означенням ?=2?8?5+5?0?1+3?3?(-2)-1?8?(-2)-5?3?5-2?0?3=3.
За теоремою (розкладаємо визначник за елементами другого рядка) отримуємо той самий результат:
? = a21A21+a22A22+a23A23 = a21(-M21)+a22M22+a23(-M23) =
=EMBED Equation.3 =(-3)?31+8?12+(-0)?1 = 3
Таким способом обчислення визначників високих порядків можна послідовно зводити до відшукання визначників щораз менших порядків.
Зазначимо також, що функція MDETERM системи EXCEL дає змогу автоматизувати обчислення визначників досить високих порядків.
Розглянемо довільну (не обов’язково квадратну) матрицю A . Рангом r(A) цієї матриці називається найвищий порядок її мінора, що не дорівнює нулю.
Приклад. Матриця EMBED Equation.3 має три мінори третього поряду (всі з яких дорівнюють нулю), дев’ять мінорів другого порядку (з яких деякі дорівнюють нулю, а деякі – ні) та 12 мінорів першого порядку. Отже, для цієї матриці ранг r(A)=2.
Розглянемо систему векторів EMBED Equation.3 у n-вимірному просторі. Ця система називається лінійно залежною, якщо існують такі числа k1,…km (не всі з яких одночасно дорівнюють нулю: k12+k22+…+km2>0), що
EMBED Equation.3.
Якщо ж із рівності EMBED Equation.3 випливає той факт, що k1=k2=…=km=0, то система називається лінійно незалежною.
Приклад. Система векторів EMBED Equation.3 є лінійно залежною, бо існують числа k1=1, k2=1/2, k3=1 такі, що k12+k22+…+km2 = 1+1/4+1 > 0 і одночасно EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Приклад. Система векторів EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 є лінійно незалежною, бо рівність EMBED Equation.3, тобто
EMBED Equation.3 ,
виконується тільки при k1 = k2 = 0 .
Легко бачити, що при m > n система векторів завжди є лінійно залежною.
Приклад. Нехай EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3. Тоді для довільного вектора EMBED Equation.3 завжди знайдуться числа k1 та k2 такі, що EMBED Equation.3(рис. 1.2):
y
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
x
Рис. 1.2
Пропорційні вектори завжди лінійно залежні.
Приклад. Нехай EMBED Equation.3. Тоді при k1=3 та k2= -1
EMBED Equation.3 .
Нехай задана деяка система векторів EMBED Equation.3. Підсистема EMBED Equation.3 цієї системи називається базою (базисом), якщо
ця підсистема лінійно незалежна;
кількість елементів k цієї підсистеми є максимально можливою.
Приклад. Базисом системи EMBED Equation.3 є, наприклад, підсистема EMBED Equation.3 .
Приклад. Базисом тривимірного простору R3 є система векторів {(1;0;0;), (0;1;0), (0;0;1)} .
Означення. Нехай EMBED Equation.3 - квадратна матриця. Власними значеннями (власними числами, характеристичними числами) цієї матриці називаються такі значення параметра ? , які задовольняють рівняння |A??E| =0 , тобто рівняння
EMBED Equation.3 (1.6)
Приклад. Обчислити власні значення матриці EMBED Equation.3 .
Будуємо рівняння для відшукання власних чисел: EMBED Equation.3 .
Розв’язуємо це рівняння:
(1-?)?(4-?)-(-1)?2 = 0;
?2 -5?+6=0;
?1 = 2; ?2 = 3.
Означення. Квадратна матриця називається додатно визначеною, якщо всі її власні числа є додатними.
Теорема. Квадратна матриця EMBED Equation.3 є додатньо визначеною тоді і тільки тоді, коли кожен з її діагональних мінорів є додатнім:
a11 > 0;
EMBED Equation.3;
. . . . . . . . .
EMBED Equation.3.
Приклад. Матриця EMBED Equation.3 є додатно визначеною, оскільки обидва її власні значення ?1 =2 та ?2 =3 є додатними. Додатну визначеність цієї матриці можна з’ясуватити також за допомогою обчислення мінорів:
a11 = 1 > 0;
EMBED Equation.3.
Означення. Власним (характеристичним) вектором матриці A називається вектор EMBED Equation.3 такий, що A?EMBED Equation.3 = ??EMBED Equation.3, де ? - власне число матриці A.
Приклад. Вектори EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 є власними векторами (що відповідають власним числам ?1 =2 та ?2 =3) матриці EMBED Equation.3, оскільки
EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 .