Лінійна алгебра.
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими
EMBED Equation.3.
Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через EMBED Equation.3, а розширену матрицю через EMBED Equation.3.
Можливі три такі випадки:
- ранг матриці r(A)=2. Вектори (a1;b1;c1) та (a2;b2;c2), отже, є лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x0;y0). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;
- ранг розширеної матриці r(B)=2, а ранг основної r(A)=1. Вектори (a1;b1;c1) та (a2;b2;c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1;b1) та (a2;b2) – лінійно залежними. Рівняння системи це дві паралельні прямі., Отже, система не має розв’язків;
- ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r(A)=r(B)=1. Вектори (a1;b1;c1) та (a2;b2;c2) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв’язків.
Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими
EMBED Equation.3.
Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.
Можливі такі випадки:
усі три площини перетинаються в одній точці (x0;y0;z0). Ранг r(A)=3. Система має єдиний розв’язок (x0;y0;z0);
усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r(A)<3 та ранг r(B)<3. Система має безліч розв’язків;
хоча б дві площини є паралельними між собою (r(A)<3 та r(B)=3). Система розв’язків не має.
Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими
EMBED Equation.3
Можливі лише такі випадки:
дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r(A)=1, а ранг розширеної – r(B)=2. Система розв’язків не має;
обидві площини співпадають. Вектори (a1;b1;c1;d1) та (a2;b2;c2;d2) лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;
площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r(A)=r(B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв’язків.
Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в третьому – пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома невідомими  означає описати аналітично множину всіх розв’язків.
Приклад. Розв’язати систему EMBED Equation.3
Перенесемо змінну x у праву частину: EMBED Equation.3 .
Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:
4z = -28
Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:
-8y = 32-4x
Розв’язуючи отриману систему EMBED Equation.3, знаходимо:
y = (1/2)x-4 ; z = -7.
Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд
{(x; -4+0,5x;7)|x?R}. Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел
(1; -3,5; -7), при x=0 – (0; -4; -7) , а при x=5 – (10; 1; -7). Трійку чисел (2; 2; 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв’язком системи вона не є.
Розглянемо методи розв’язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими
EMBED Equation.3.
Одним із способів є використання оберненої матриці:
EMBED Equation.3 .
Розглянемо також правило Крамера.
Нехай ?  визначник матриці EMBED Equation.3 .
Введемо позначення
EMBED Equation.3 (i=1,…,n).
Виконується така теорема: Якщо ??0, то система
EMBED Equation.3 має єдиний розв’язок, який знаходиться за такими формулами (формулами Крамера):
EMBED Equation.3 . (1.7)
Якщо ?=0 і в множині {?1,…,?n} є ненульові елементи, то система рівнянь розв’язків не має. Якщо ж ?=?1=…?n=0 , то система має безліч розв’язків.
Приклад.
EMBED Equation.3 .
Тут EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Отже, x1=81/27=3; x2=(-108)/27=-4; x3=(-27)/27=-1; x4=27/27=1.
У шкільному курсі математики вивчають метод послідовного вилучення невідомих (метод Гауса). Ми наведемо модифікований метод вилучення невідомих – так званий метод Жордана-Гауса.
Розглянемо схему Жордана-Гауса на прикладі розв’язування конкретної системи EMBED Equation.3 ,
яку у матричному вигляді записують так: EMBED Equation.3 .
Початкова таблиця має такий вигляд:
EMBED Equation.3 .
Числа -2 та -3  це елементи другого та третього рядка (взяті з протилежним знаком), які розташовані в тому стовпці, де в першому рядку є число 1.
Множимо перший рядок на числа -2 та -3 й отримуємо, відповідно, вектори (-2; -4; 6; 12) та (-3; -6; 9; 18). Додаємо ці вектори до другого і третього рядків:
EMBED Equation.3.
Ділимо всі елементи другого рядка на -5, роблячи діагональний елемент таблиці одиничним:
EMBED Equation.3.
Розпочинаємо наступний етап методу. Множимо другий рядок на -2 та на 4 й отримуємо вектори (0; -2; 14/5; 22/5) і (0; 4;-28/5;-44/5). Додаємо ці вектори до першого та третього рядків:
EMBED Equation.3,
і робимо ще один діагональний елемент одиницею (ділимо на 22/5):
EMBED Equation.3.
На останньому кроці множимо третій рядок на 1/5 та 1/7 і додаємо утворені вектори (0;0;1/5;3/5) і (0;0;7/5;21/5) до першого та другого рядка:
EMBED Equation.3 , тобто отримуємо систему рівнянь
EMBED Equation.3 , розв’язками якої є числа x1= -1; x2=2; x3=3.
Якщо під час обчислень у схемі Жордана-Гауса деякий рядок повністю стає нульовим ( 0 0 0 | 0 ), то це є ознакою того факту, що система має безліч розв’язків.
Якщо ж цей рядок стає нульовим за винятком вільного члена
( 0 0 0 | bi?0 ), то система розв’язків не має.
Приклад. Модель міжгалузевого балансу Леонтьєва.
Нехай у деякій державі є три галузі господарства: промисловість, сільське господарство та виготовлення ЕОМ. Нехай x1, x2, x3  обсяги виробництва у цих галузях. Нехай також y1, y2 y3  обсяги кінцевого виробництва (виробництва на продаж, виробництва без внутрішнього споживання) цих галузей (рис. 1.3).
a11x1 a22x2
a12x2
1 2 y2
Промисловість с/г
y1 x1 x2
a21x1
a31x1 a13x3 a23x3 a32x2
3
Виготовлення
ЕОМ
x3 y3
a33x3
Рис. 1.3.
Нехай aij  кількість одиниць продукції i-ої галузі, яка йде на виробництво однієї одиниці продукції j-ої галузі. Зокрема, кожна одиниця продукції сільськогосподарської галузі (галузі номер 2) використовує a12 одиниць продукції промисловості (галузі номер 1) та a32 одиниць продукції галузі, яка виготовляє комп’ютери.
Тоді сільське господарство в цілому використовує для випуску своєї продукції a12x2 одиниць продукції промисловості та a32x2 одиниць продукції комп’ютерної галузі. Крім того, сільське господарство витрачає a22x2 одиниць власної продукції (наприклад, відгодівля худоби потребує певних затрат кормів).
Отже, для другої галузі маємо таке рівняння балансу:
x1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 + y1
Записавши аналогічні рівняння для кожної із галузей, отримуємо систему лінійних рівнянь:
EMBED Equation.3 .
Цю систему для випадку n змінних записують також у вигляді
EMBED Equation.3
та в матричному вигляді
EMBED Equation.3 (1.8)
Побудована система міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва) дає змогу за обсягами виробництва в окремих галузях контролювати їхній кінцевий продукт та навпаки.
Із формули (1.8) випливає, що вектор кінцевої продукції в моделі Леонтьєва визначається формулою
EMBED Equation.3 , (1.9)
а вектор загального випуску –
EMBED Equation.3 . (1.10)